ภาควิชาวิศวกรรมอุตสาหการ คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2104227 Automation โดย อ. ภูมิ เหลืองจามีกร ภาควิชาวิศวกรรมอุตสาหการ คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

การแปลง Laplace นิยามของการแปลงและแปลงกลับ Laplace

นิยามของการแปลงและแปลงกลับ Laplace

ผลการแปลง Laplace ของฟังก์ชันพื้นฐาน ฟังก์ชัน Unit step

ผลการแปลง Laplace ของฟังก์ชันพื้นฐาน (ต่อ) ฟังก์ชัน Decaying Exponential

ผลการแปลง Laplace ของฟังก์ชันพื้นฐาน (ต่อ) ฟังก์ชัน Unit ramp

ตารางสรุปผลการแปลง Laplace ของฟังก์ชันพื้นฐาน

ตารางสรุปผลการแปลง Laplace ของฟังก์ชันพื้นฐาน (ต่อ)

ทฤษฎีบทพื้นฐานของผลการแปลง Laplace 1. ผลการแปลง Laplace มีสมบัติสภาพเชิงเส้น (Linearity) 2. สมบัติการเปลี่ยนสเกล

Example: สมบัติสภาพเชิงเส้น จงหาผลการแปลงของ Solution Ans

Example: สมบัติการเปลี่ยนสเกล กำหนดให้ จงหาผลการแปลงของ Solution จากโจทย์ เพราะว่า ดังนั้นเมื่อคูณตลอดด้วย b จะได้ว่า Ans

ทฤษฎีบทพื้นฐานของผลการแปลง Laplace (ต่อ)

ทฤษฎีบทพื้นฐานของผลการแปลง Laplace (ต่อ)

Example: การแปลงอนุพันธ์และอินทิกรัล จงหานิพจน์ของ y(t) จากการแก้ระบบสมการต่อไปนี้ คือ และ กำหนดให้

Example: การแปลงอนุพันธ์และอินทิกรัล (ต่อ) Solution เมื่อแทนค่า และจัดรูปใหม่จะได้

Example: การแปลงอนุพันธ์และอินทิกรัล (ต่อ) เมื่อแก้ 2 สมการสุดท้ายดังกล่าว เราจะได้ โดยการแตกเศษส่วนย่อยซึ่งจะกล่าวถึงภายหลัง ดังนั้น เมื่อหาผลการแปลงกลับ Laplace ของ Y(s) จะได้ผลดังนี้ Ans

ทฤษฎีบทพื้นฐานของผลการแปลง Laplace (ต่อ) 5. สมบัติการเลื่อนแบบที่ 1 (First Shifting Property) 6. สมบัติการเลื่อนแบบที่ 2 (Second Shifting Property)

Example: สมบัติการเลื่อนแบบที่ 1 จงหาค่าของ Solution จะได้ จาก Ans

ทฤษฎีบทพื้นฐานของผลการแปลง Laplace (ต่อ) 7. ทฤษฎีค่าแรกเริ่ม (Initial Value Theorem) 8. ทฤษฎีค่าสุดท้าย (Final Value Theorem)

ทฤษฎีบทพื้นฐานของผลการแปลง Laplace (ต่อ) 9. ผลการแปลง Laplace ของฟังก์ชันผลการประสาน (Convolution)

Example: Convolution ถ้า จงหา Solution

Example: Convolution (ต่อ) เมื่อใช้สูตร จะได้ว่า

Example: Convolution (ต่อ) Ans

ทฤษฎีบทพื้นฐานของผลการแปลง Laplace (ต่อ) 10. ทฤษฎีบทอื่นๆ เช่น

ขั้นตอนการแปลงกลับ Laplace 1) จัด F(s) ให้อยู่ในรูปเศษส่วนย่อยซึ่งบวกหรือลบกันอยู่ ซึ่งแบ่งออกเป็น 3 กรณีดังนี้ Simple Real Roots Complex Conjugate and Simple Real Roots Repeated Real Roots 2) เปิดตารางคู่การแปลง Laplace เพื่อหา f(t)

กรณีที่ 1: Simple Real Roots

Example : Simple Real Roots

กรณีที่ 2: Complex Conjugate and Simple Real Roots

กรณีที่ 2: Complex Conjugate and Simple Real Roots (ต่อ)

Example : Complex Conjugate and Simple Real Roots

กรณีที่ 3: Repeated Real Roots

กรณีที่ 3: Repeated Real Roots (ต่อ) Inverse Transform

Example : Repeated Real Roots

Example : Repeated Real Roots (ต่อ)