การวิเคราะห์ความแปรปรวน

การวิเคราะห์ความแปรปรวน หลักการวิเคราะห์ความแปรปรวน โดยพิจารณาความแปรปรวนของกลุ่มรวมหรือความแปรปรวนทั้งหมด ซึ่งมีผลมาจากปัจจัย 2 ประการ คือ 1. ค่าเฉลี่ยของกลุ่มย่อย (between group variance) 2. ความแปรปรวนภายในกลุ่ม(within group variance) การวิเคราะห์ความแปรปรวน เป็นการพยายามเปรียบเทียบความแปรปรวนอันเกิดมาจากความแตกต่างของค่าเฉลี่ยระหว่างกลุ่มกับความแปรปรวนภายในกลุ่ม หรือความคลาดเคลื่อนว่าตัวใดมีค่ามากกว่ากัน

การเขียนสมมุติฐานทางสถิติจึงเขียนได้ 2 ลักษณะ คือ 1. เขียนในรูปของผลการจัดกระทำ H0 : = = …= = 0 H1 : อย่างน้อยมีผลที่เกิดจากการจัดกระทำของประชากรหนึ่งกลุ่มมีค่า ไม่เท่ากับศูนย์ 2. เขียนในลักษณะของค่าเฉลี่ยประชากร H0 : = =…= H1 : มีค่าเฉลี่ยอย่างน้อย 1 คู่ที่แตกต่างกัน

การจะยอมรับหรือปฏิเสธ H0 พิจารณาค่า 2 ค่าดังนี้ 1. F ที่เป็นค่าวิกฤต(เปิดได้จากตาราง) 2. F ที่เกิดจากการคำนวณอัตราส่วนจากสูตร (8.1) กรณี 1 ถ้า F ที่คำนวณได้มีค่ามากกว่า F ที่เป็นค่าวิกฤตจะปฏิเสธ H0 กรณี 2 ถ้า F ที่คำนวณได้มีค่าน้อยกว่า F ที่เป็นค่าวิกฤตจะยอมรับ H0

การวิเคราะห์ความแปรปรวนเบื้องต้น ข้อตกลงเบื้องต้น 1. กลุ่มตัวอย่างเป็นกลุ่มตัวอย่างที่ได้รับการสุ่มมาจากกลุ่มประชากรที่มีการแจกแจงเป็นโค้งปกติ 2. ค่าความแปรปรวนของกลุ่มประชากรทุกกลุ่มมีค่าเท่ากัน นั่นคือ ความแปรปรวนของกลุ่มย่อยต้องเป็นเอกพันธุ์ (homogenelity variance) 3. กลุ่มตัวอย่างทุกกลุ่มจะต้องเป็นอิสระจากกัน 1. การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียวเป็นการวิเคราะห์ความแปรปรวนที่มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว แต่แบ่งออกเป็นหลายประเภทหรือหลายระดับ เพื่อเปรียบเทียบว่าแต่ละประเภทนั้นส่งผลให้เกิดความแตกต่างกันหรือไม่

วิธีคำนวณหาค่าเริ่มต้นจากการคำนวณหาค่าผลรวมของความเบี่ยงเบนกำลังสอง(sum of squares) จากแหล่งต่าง ๆ ดังนี้ 1. ค่าผลรวมของความเบี่ยงเบนกำลังสองของกลุ่มรวม (sum of squares total :SSt ) เมื่อกำหนดให้ แทน ผลรวมของคะแนนแต่ละตัวยกกำลังสอง คำนวณจากทุก ๆ ค่าในทุกกลุ่มตัวอย่าง nj แทน จำนวนตัวอย่างแต่ละกลุ่ม k แทน จำนวนกลุ่ม N แทน จำนวนตัวอย่างทั้งหมด T แทน ผลรวมของคะแนนทั้งหมด

ถ้าพิจารณาหาค่า SSt จากทุกแหล่ง จะเห็นว่า 2. หาค่าผลรวมของความเบี่ยงเบนกำลังสองระหว่างกลุ่ม (sum of squares between : SSb) เมื่อกำหนดให้ T j แทน ผลรวมของคะแนน n ค่าในแต่ละกลุ่ม nj แทน จำนวนคะแนนในกลุ่มที่ j 3. หาค่าผลรวมของความเบี่ยงเบนกำลังสองภายในกลุ่ม (sum of squares within group : SSW) ถ้าพิจารณาหาค่า SSt จากทุกแหล่ง จะเห็นว่า SSt = SSb + SSW

4. หาค่าระดับขั้นความเสรี (degree of freedom) dft = N – 1 dfb = k – 1 dfw = N – k ซึ่ง dft = dfb - dfw เมื่อ N แทน จำนวนคะแนนทั้งหมด k แทน จำนวนกลุ่ม 5. หาค่าความแปรปรวนหรือค่าเฉลี่ยของผลรวมของความเบี่ยงเบนกำลังสอง (MS) ระหว่างกลุ่ม (MSb) และภายในกลุ่ม(MSw) โดย 6. หาค่าเอฟ โดย

จากวิธีการข้างต้นสรุปสูตรที่ใช้ในการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียว ดังนี้

ตัวอย่าง นิสิตปริญญาโท ทำการทดลองสอนนักเรียนด้วยวิธีสอน 3 วิธี คือ แบบบรรยาย ใช้สไลด์ และคอมพิวเตอร์ช่วยสอน โดยสุ่มนักเรียนที่มีความสามารถใกล้เคียงกัน มาจำนวน 18 คน โดยมีคะแนนผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนจากคะแนนเต็ม 10 คะแนน ดังนี้ กลุ่มที่ 1 สอนแบบบรรยาย 2 3 1 3 2 5 กลุ่มที่ 2 ใช้สไลด์ 4 3 2 4 2 กลุ่มที่ 3 คอมพิวเตอร์ช่วยสอน 9 8 6 8 7 6 5 จงทดสอบดูว่า วิธีสอนต่างกันทำให้นักเรียนมีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนแตกต่างกันหรือไม่ ( = .05)

วิธีทำ 1. กำหนดสมมุติฐานทางสถิติ H0 : H1 : อย่างน้อยมีค่าเฉลี่ย 1 คู่ที่แตกต่างกัน 2. กำหนดระดับนัยสำคัญ = .05 3. เลือกสถิติที่ใช้ในการทดสอบ F-test แบบทางเดียว (one-way ANOVA) 4. หาจุดวิกฤต หาค่าเอฟจากตาราง 2 ในภาคผนวก ที่ = .05 dfb = k-1 = 3-1 = 2 dfw = N-k = 18-3 = 15 เปิดตาราง F.05(2,15) = 3.68

5. คำนวณค่าสถิติทดสอบ

ขั้นตอนที่ 1 หาค่า C.M. (correction for mean) = 355.56 ขั้นตอนที่ 2 แทนค่าในสูตร SSb = (42.6+45+343) – 355.56 = 75.04

ขั้นตอนที่ 3 แทนค่าในสูตร SSw = (22+ 32 +12 +32+22+52+42+32+22+42+22+92+82+62+82+72+62+52) – 355.56 = 100.44 ขั้นตอนที่ 4 หาค่า SSw SSw = SSt - SSb SSw = 100.44 - 75.04 = 25.40 ขั้นตอนที่ 5 แทนค่าในสูตร MSb

ขั้นตอนที่ 6 แทนค่าในสูตร MSw ขั้นตอนที่ 7 แทนค่าในสูตร F = 22.20

สรุปในตารางความแปรปรวนได้ดังนี้ (นำค่าที่คำนวณได้ข้างต้นมาใส่ในตาราง) 6.สรุปหรือตัดสินใจ ค่า F ที่คำนวณได้ (F=22.20) มีค่ามากกว่า F จากตาราง (F=3.68) ค่า F จึงตกอยู่ในเขตวิกฤต ดังนั้นจึงปฏิเสธสมมุติฐานว่าง นั่นคือ อย่างน้อยมีค่าเฉลี่ย 1 คู่ที่แตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญทางสถิติที่ระดับ .05

5. คำนวณค่าสถิติทดสอบ

2. การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบสองทาง การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบสองทางนี้ สำหรับการทำวิจัยที่มีตัวแปรอิสระพร้อมกัน 2 ตัว ซึ่งสามารถทดสอบความแตกต่างของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างที่จำแนกตามตัวแปรอิสระแต่ละตัว หรือแม้กระทั่งสามารถทดสอบผลที่เกิดร่วมกันของตัวแปรทั้ง 2 ซึ่งเรียกว่า ปฏิกิริยาร่วม(interaction) ลักษณะการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบสองทางมี 2 ลักษณะ คือ ลักษณะที่ 1 เรียกว่า การทดลองหรือการวัดผลครั้งเดียว ลักษณะที่ 2 เรียกว่า การทดลองหรือการวัดผลหลายครั้ง การทดสอบความแปรปรวนแบบสองทางจะทำการทดสอบสมมุติฐาน 3 ข้อ คือ 1. ทดสอบผลหลัก (main effect) ของการจัดกระทำว่าแตกต่างกันหรือไม่ 2. ทดสอบผลหลัก ของระดับ (level) ของการจัดกระทำว่าแตกต่างกันหรือไม่ 3. ทดสอบผลร่วมหรือปฏิกิริยาร่วม(interaction effect)ระหว่างตัวจัดกระทำและระดับ(treatment X level effect)

การเขียนสมมุติฐานทางสถิติจึงเขียนได้ดังนี้ คือ 1. ทดสอบผลหลักของการจัดกระทำ ( ) H0 : 0 สำหรับทุกค่าของ i H1 : 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าของ i หรือ H0 : ... H1 : มีค่าเฉลี่ยอย่างน้อย 1 คู่ที่แตกต่างกัน 2. ทดสอบผลหลักของระดับของการจัดกระทำ ( ) H0 : 0 สำหรับทุกค่าของ j H1 : 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าของ j หรือ H0 : ... H1 : มีค่าเฉลี่ยอย่างน้อย 1 คู่ที่แตกต่างกัน

3. ทดสอบผลร่วมหรือปฏิกิริยาร่วมระหว่างตัวจัดกระทำ และระดับ( ) H0 : 0 สำหรับทุกค่าของ i และ j H1 : 0 สำหรับทุกค่าของ i และ j หรือ H1 : มีค่าเฉลี่ยอย่างน้อย 1 คู่ที่แตกต่างกัน

1. ค่าเอฟสำหรับการทดสอบผลหลักของการจัดกระทำที่มีต่อตัวแปรตาม 2. ค่าเอฟสำหรับการทดสอบผลหลักของระดับที่แตกต่างกันที่มีต่อตัวแปรตาม 3. ค่าเอฟสำหรับผลร่วมหรือปฏิกิริยาร่วมระหว่างการจัดกระทำและระดับที่แตกต่างกันที่มีต่อตัวแปรตาม

1. หาค่า SSt ( sum of squares total )เป็นผลรวมของความเบี่ยงเบนกำลังสองของคะแนนแต่ละตัวจากทุกกลุ่มที่เบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยของกลุ่มรวม (grand mean) 2. หาค่า SSα ( sum of squares treatment effect) เป็นผลรวมของความเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าเฉลี่ยแต่ละกลุ่ม(ตามการจัดกระทำซึ่งมี c กลุ่ม)ที่เบี่ยงเบนออกจากค่าเฉลี่ยของกลุ่มรวม

3. หาค่า ( sum of squares level effect) 4. หาค่า ( sum of interaction effect)

5. หาค่า 6. หาค่าระดับขั้นความเสรี

7. หาค่าความแปรปรวนหรือค่าเฉลี่ยของผลรวมของความเบี่ยงเบนกำลังสอง (mean square : MS) 8. หาค่าอัตราส่วนเอฟ (F - ratio)

จากวิธีการข้างต้นสรุปสูตรที่ใช้ในการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียว ดังนี้

การพิจารณาความมีนัยสำคัญของความแตกต่างของค่าเฉลี่ยของการวิเคราะห์แบบนี้มีดังนี้ 1. ถ้าปฏิกิริยาร่วมไม่มีนัยสำคัญทางสถิติ หมายความว่า ลักษณะของความแตกต่างระหว่างทุกรายการในทุกระดับเป็นอย่างเดียวกัน และต่างมีลักษณะของความแตกต่างทำนองเดียวกันกับความแตกต่างในแถว หรือในสดมภ์โดยส่วนรวมตามที่ทดสอบได้ 2. ถ้าปฏิกิริยาร่วมมีนัยสำคัญทางสถิติ หมายความว่า ลักษณะของความแตกต่างของทุกระดับทั้งแนวสดมภ์และแนวแถวต่างไม่เหมือนกัน 3. ถ้าทดสอบได้ว่าความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยทุกค่าในแถวหรือในสดมภ์ไม่มีนัยสำคัญทางสถิติ(คือค่า ทุกค่าไม่แตกต่างกัน) และทดสอบได้ว่าไม่มีปฏิกิริยาร่วมแสดงว่าค่าเฉลี่ยทุกแถวหรือทุกสดมภ์ไม่แตกต่างกัน

4. ถ้าทดสอบได้ว่าความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยทุกค่าในแถว หรือในสดมภ์ไม่มีนัยสำคัญทางสถิติ และทดสอบได้ว่ามีปฏิกิริยาร่วมอย่างมีนัยสำคัญทางสถิติ ต้องทำการทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยในแถวของแต่ละสดมภ์ หรือในสดมภ์ของแต่ละแถวก่อนถ้าพบว่าค่าเฉลี่ยในแถวของสดมภ์ใด หรือในสดมภ์บางแถวใดมีความแตกต่างกัน ก็ทดสอบความแตกต่างค่าเฉลี่ยระหว่างคู่ของแถวหรือสดมภ์นั้นต่อไป 5. ถ้าทดสอบได้ว่าความแตกต่างของค่าเฉลี่ยทุกค่าในแถวหรือในสดมภ์ มีนัยสำคัญทางสถิติและทดสอบได้ว่ามีหรือไม่มีปฏิกิริยาร่วมก็ตาม ก็ต้องทำการทดสอบความแตกต่างของค่าเฉลี่ยระหว่างคู่

ตัวอย่าง ในการศึกษาวิธีสอนวิชาสถิติ 3 วิธี คือ สอนโดยครูเป็นศูนย์กลาง สอนโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยสอน และนักเรียนเป็นศูนย์กลางกับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ที่มีความคิดสร้างสรรค์สูง ปานกลาง และต่ำ หลังจากทำการทดลองแล้วนำข้อสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาสถิติสอบวัดกับกลุ่มตัวอย่างปรากฏผลดังนี้

จงทดสอบที่ระดับนัยสำคัญ .01 ตามหัวข้อต่อไปนี้ 1. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ที่ได้รับการสอนด้วยวิธีสอนต่างกัน มีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาสถิติต่างกันหรือไม่ 2. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ที่มีความคิดสร้างสรรค์ต่างกัน มีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาสถิติต่างกันหรือไม่ 3. มีปฏิกิริยาร่วมกันระหว่างวิธีสอนกับความคิดสร้างสรรค์ที่ส่งผลต่อผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาสถิติหรือไม่ วิธีทำ 1. กำหนดสมมุติฐานทางสถิติ 1.1 นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ที่ได้รับการสอนด้วยวิธีสอนต่างกัน มีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาสถิติต่างกันหรือไม่ H1 : อย่างน้อยมีค่าเฉลี่ย 1 คู่ที่แตกต่างกัน

1.2 นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ที่มีความคิดสร้างสรรค์ต่างกัน มีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาสถิติต่างกันหรือไม่ H1 : อย่างน้อยมีค่าเฉลี่ย 1 คู่ที่แตกต่างกัน 1.3 มีปฏิกิริยาร่วมกันระหว่างวิธีสอนกับความคิดสร้างสรรค์ที่ส่งผลต่อผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาสถิติหรือไม่ H1 : อย่างน้อยมีค่าเฉลี่ย 1 คู่ที่แตกต่างกัน 2. กำหนดระดับนัยสำคัญ 3. เลือกสถิติที่ใช้ในการทดสอบ F – test แบบสองทาง (two - way ANOVA)

4. หาจุดวิกฤต ทดสอบความแตกต่างระหว่างตัวแปรสดมภ์ ทดสอบความแตกต่างระหว่างตัวแปรแถว ทดสอบความแตกต่างระหว่างตัวแปรทั้งสดมภ์และแถว

5. คำนวณค่าสถิติทดสอบ 5.1 หาผลรวมของความเบี่ยงเบนกำลังสอง (SS) ของแหล่งต่าง ๆ = 1446.07 = 910.51

= 378.29

5.2 หาค่าระดับขั้นความเสรี N – 1 = 27 – 1 = 26 c – 1 = 3 – 1 = 2 r – 1 = 3 – 1 = 2 (c – 1)(r – 1) = 2 x 2 = 4 N – rc = 27 – 9 = 18

5.3 หาค่าความแปรปรวนจากแหล่งต่าง ๆ = 455.26 = 189.15 = 7.15

5.4 หาค่า F = 63.67 = 26.45 = 1.00

5.5 นำค่าตัวเลขต่าง ๆ มาใส่ในตารางวิเคราะห์ความแปรปรวน

6. สรุปหรือตัดสินใจ 6.1 ทดสอบความแตกต่างระหว่างตัวแปรสดมภ์ ค่า F คำนวณ (F=63.67) มีค่ามากกว่า ค่า F จากตาราง (F=6.01) ค่า F จึงตกอยู่ในบริเวณวิกฤต ดังนั้น จึงปฏิเสธสมมุติฐานว่าง 6.2 ทดสอบความแตกต่างระหว่างตัวแปรแถว ค่า F คำนวณ (F=26.45) มีค่ามากกว่า ค่า F จากตาราง (F=6.01) ค่า F จึงตกอยู่ในบริเวณวิกฤต ดังนั้น จึงปฏิเสธสมมุติฐานว่าง 6.3 ทดสอบความแตกต่างระหว่างตัวแปรทางสดมภ์และแถว ค่า F คำนวณ (F=1.000) มีค่าน้อยกว่า ค่า F จากตาราง (F=4.58) ค่า F จึงไม่ตกอยู่ในบริเวณวิกฤต ดังนั้น จึงยอมรับสมมุติฐานว่าง

ตัวอย่าง ในการสร้างเครื่องปั้นดินเผา 3 วิธี คือ เผาโดยเตาแก๊ส เผาโดยเตาถ่าน และเผาโดยแดด ที่อุณหภูมิออกซิเดชั่น และรีดักชั่น หลังจากทำการทดลองแล้วนำเครื่องปั้นดินเผามาตรวจคุณภาพ ปรากฏผลดังนี้

การเปรียบเทียบพหุคูณ จากการวิเคราะห์ความแปรปรวนแล้ว เมื่อปรากฏผลออกมาแล้วว่าปฏิเสธ นั่นคือ จะยอมรับ H1 ที่ว่าอย่างน้อยมีค่าเฉลี่ย 1 คู่ที่แตกต่าง 1. การทดสอบแบบ HSD ของทูกี้ (Tukey’s HSD test) ทูกี้ (Tukey) ได้เสนอวิธีการทดสอบที่เรียกว่า HSD ซึ่งย่อมาจาก Honestly Significant Difference การทดสอบแบบนี้ออกแบบไว้เพื่อการทดสอบการเปรียบเทียบระหว่างค่าเฉลี่ยทุกคู่ โดยมีข้อตกลงการใช้เหมือนกับการวิเคราะห์ความแปรปรวน และ n ในแต่ละกลุ่มจะต้องเท่ากันหรือใกล้เคียงกัน

2. การทดสอบแบบเชฟเฟ( Scheffe’s method) การทดสอบแบบเชฟเฟเป็นวิธีทดสอบแบบเปรียบเทียบพหุคูณแบบหนึ่ง เช่นเดียวกับการทดสอบแบบ HSD ของทูกี้ แต่ใช้ได้ทั้งกรณีที่จำนวนตัวอย่างในแต่ละกลุ่มจะเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้ซึ่งมีสูตรดังนี้ 3. การทดสอบแบบนิวแมน – คูลส์ (Newman-Keuls test) การทดสอบแบบนิวแมน-คูลส์ เป็นการทดสอบที่มีพื้นฐานมาจากการทดสอบนัยสำคัญด้วยวิธีจัดลำดับ โดยเรียงอันดับของค่าเฉลี่ยแล้วแบ่งผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยเป็นคู่ ๆ เช่น ผลต่างที่อันดับค่าเฉลี่ยห่างกัน 2 อันดับ 3 อันดับ 4 อันดับ เป็นต้น ดังนั้นค่าวิกฤตที่จะใช้ตัดสินผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของการทดสอบนี้จึงมีค่าต่าง ๆ กันขึ้นอยู่กับว่าค่าเฉลี่ยที่นำมาเปรียบเทียบกันนั้นอยู่ห่างกันกี่อันดับ สูตรที่ใช้คือ