บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
รูปใดบ้างเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปใดบ้างเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3 1 2 4 5 6
A C B ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านประกอบมุมฉาก ด้านประกอบมุมฉาก บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก A ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านประกอบมุมฉาก C B ด้านประกอบมุมฉาก
A c b C a B กิจกรรม เชื่อมความสัมพันธ์ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กิจกรรม เชื่อมความสัมพันธ์ คำสั่ง : กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC ต่อไปนี้มีด้านตรงข้ามมุม A ยาว a เซนติเมตร ด้านตรงข้ามมุม B ยาว b เซนติเมตร และด้านตรงข้ามมุม C ยาว c เซนติเมตร A c b จงวัดความยาวของด้านตรงข้ามมุม C เติมค่า c และค่าอื่นๆ ลงในตารางให้ สมบูรณ์ พร้อมตอบคำถาม C a B
ข้อที่ a b c a2 b2 c2 a2 + b2 c2 = a2 + b2 หรือไม่ ( = หรือ ≠ ) 1 2 5 บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อที่ a b c a2 b2 c2 a2 + b2 c2 = a2 + b2 หรือไม่ ( = หรือ ≠ ) 1 3 4 2 6 8 1.2 1.6 0.9 5 2.5 5 9 16 25 25 = 10 36 64 100 100 = 2 1.44 2.56 4 4 = 1.5 1.44 0.81 2.25 2.25 = 3.6 9 4 12.96 13 ≠ 3.2 4 6.25 10.24 10.25 ≠
1. 2. 3. รูปสามเหลี่ยม ABC ในข้อใดบ้าง ที่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 1. รูปสามเหลี่ยม ABC ในข้อใดบ้าง ที่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อ 1, 2, 3 และ 4 ......................................................................................................................... 2. รูปสามเหลี่ยม ABC ในข้อใดบ้าง ที่ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อ 5 และ 6 ......................................................................................................................... 3. จากกิจกรรมข้างต้น นักเรียนสามารถบอกได้หรือไม่ว่าด้านทั้งสามของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีความสัมพันธ์กันอย่างไร เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก c2 = a2 + b2 ......................................................................................................................... โดยที่ c แทน ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b แทน ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ......................................................................................................................... .........................................................................................................................
A c b C a B ผลที่ได้ในกิจกรรมข้างต้น บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลที่ได้ในกิจกรรมข้างต้น เมื่อกำหนดให้ สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม ACB เป็นมุมฉาก ดังรูป A c แทน ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b แทน ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก c b จะได้ c2 = a2 + b2 C a B
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากข้างต้น กล่าวได้ว่า A สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก c b c2 = a2 + b2 C a B ซึ่งเรียกว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และเชื่อกันว่านักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อพีทาโกรัสเป็นผู้พิสูจน์ได้เป็นคนแรก
c × c = c2 b × b = b2 c2 b2 a2 a × a = a2 c2 = a2 + b2 A C B b c a บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก c × c = c2 b × b = b2 A c2 b2 b c c2 = a2 + b2 a C B a2 a × a = a2
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่าง จงใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง ความยาวของด้านทั้งสาม e f d 4 c 36 1. 2. f2 = d2 + e2 c2 = 42 + 362
เฉลย 1. 2. a b c ก ข ค a2 + b2 ก2 + ข2 c2 = ………………………… ค2 = ………………………… บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย จงใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสาม 1. 2. a b c ก ข ค a2 + b2 ก2 + ข2 c2 = ………………………… ค2 = …………………………
เฉลย 3. n m a 4. d o g m2 = a2 + n2 d2 = o2 + g2 บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย จงใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสาม 3. n m a 4. d o g m2 = a2 + n2 d2 = o2 + g2
เฉลย 5. 6. y x z ด ร ก ก2 = ร2 + ด2 z2 = x2 + y2 บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย จงใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสาม 5. 6. y x z ด ร ก ก2 = ร2 + ด2 z2 = x2 + y2
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงหาค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า เมื่อกำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและความยาวของด้านมาให้ C 3 B c 4 A จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 1. จะได้ว่า c2 = 32 + 42 = 9 + 16 c2 = 25 c = 5 = ดังนั้น ด้าน c ยาว 5 หน่วย
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงหาค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า เมื่อกำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและความยาวของด้านมาให้ จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2. C a B 1 A จะได้ว่า = a2 + 12 = 2 - 1 a2 = 1 a = 1 a2 = - 12 = ดังนั้น ด้าน a ยาว 1 หน่วย
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงหาค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า เมื่อกำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและความยาวของด้านมาให้ จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3. A 5 C a 12 B จะได้ว่า a2 = 52 + 122 = 25 + 144 a2 = 169 a = 13 = ดังนั้น ด้าน a ยาว 13 หน่วย
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงหาค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า เมื่อกำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและความยาวของด้านมาให้ จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 4. จะได้ว่า 252 = c2 + 72 c2 = 252 – 72 = 625 - 49 = 576 c = 24 c 25 7 C A B = ดังนั้น ด้าน c ยาว 24 หน่วย
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 1. Find the lengths of the unknown sides in the following right-angled triangles. a) x2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41 x =
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 1. Find the lengths of the unknown sides in the following right-angled triangles. b) x2 = (3.5)2 + (6.4)2 = 12.25 + 40.96 = 53.21 x =
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 1. Find the lengths of the unknown sides in the following right-angled triangles. c) 72 = x2 + (2.2)2 x2 = 72 - (2.2)2 = 49 - 4.84 = 44.16 x =
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 1. Find the lengths of the unknown sides in the following right-angled triangles. d) x2 = 102 + 72 = 100 + 49 = 149 x =
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 1. Find the lengths of the unknown sides in the following right-angled triangles. e) 102 = x2 + 62 x2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64 x = x = 8
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 1. Find the lengths of the unknown sides in the following right-angled triangles. f) x2 = 52 + 32 = 25 + 9 = 34 x =
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 1. Find the lengths of the unknown sides in the following right-angled triangles. f) y2 = 92 + 52 = 81 + 25 = 106 y =
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 2. Find the length of the diagonal of the rectangle. x2 = 52 + 82 = 25 + 64 = 89 x =
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 3. Find the area of the isosceles triangle ABC. 192 = x2 + 82 x2 = 192 - 82 = 361 - 64 = 297 x =
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 3. Find the area of the isosceles triangle ABC. area = × 16 × area = 8 cm2
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 4. Find the diameter of the base of the cone below. 102 = x2 + 82 x2 = 102 - 82 = 100 - 64 = 36 x = x = 6 So, the diameter of the base of cone is 6 × 2 = 12 cm.
Exercise 1 Pythagorean Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เฉลย Exercise 1 Pythagorean Theorem 5. A 5 mater ladder is positioned 3.2 meters from a building, as shown in the diagram. Will the ladder reach a window which is 4 meters from the ground? 52 = x2 + (3.2)2 x2 = 52 - (3.2)2 = 25 - 10.24 = 14.76 x = x ≈ 3.84 No, the ladder will reach a window which is 3.8 meters from the ground.