บทที่ 3 การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ บทที่ 3 การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ 3.1 ตำแหน่งและการกระจัด ตำแหน่ง (position) คือ การบอกให้ทราบว่า วัตถุหรือสิ่งของที่เราพิจารณาอยู่ที่ใด เทียบกับจุดอ้างอิง วัตถุอยู่ที่ตำแหน่ง x = x1 ที่เวลา t1 หมายถึง วัตถุอยู่ที่ระยะทาง x1 จากจุด O (จุดอ้างอิง) ที่เวลา t1 ถ้าวัตถุเลื่อนที่ไปอยู่ที่ x2 ที่เวลา t2 แสดงว่า วัตถุได้มีการเคลื่อนที่ไประหว่างเวลา t1 และ t2 -X +X x1 x2 O

การกระจัด (displacement) การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุจาก x = x1 ไปเป็น x = x2 หรือ x2 – x 1 การกระจัด หมายถึง การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุไปจากตำแหน่งปกติ (สมดุล) 2.2 ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ย ความเร็ว (velocity) คือ การกระจัดต่อเวลา ความเร็วเฉลี่ย (average velocity) คือ การกระจัดหารด้วยช่วงเวลา

อัตราเร็ว (speed) เป็นปริมาณสเกลาร์ หมายถึง ระยะทางของการเคลื่อนที่ทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงทิศทางหารด้วยเวลา อัตราเร็วเฉลี่ย (average speed) คือ ระยะทางทั้งหมดที่เคลื่อนที่หารด้วยเวลา พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุจาก x1 ไป x3 และจาก x3 กลับมา x2 ใช้เวลาทั้งหมด (t2 – t1) -X +X x1 x2 x3 O อัตราเร็วเฉลี่ย = (x3 – x1) + (x3 – x2) / (t2 – t1) ความเร็วเฉลี่ย = (x2 – x1) / (t2 – t1)

ตัวอย่าง โยนลูกบอลขึ้นในแนวดิ่ง ลูกบอลลอยขึ้นไปได้สูง 5 เมตร แล้วตกกลับมายังมือในเวลา 2 วินาที อัตราเร็วเฉลี่ย = ระยะทางทั้งหมดที่เคลื่อนที่ / เวลา = (5 เมตร + 5 เมตร) / 2 วินาที = 5 เมตรต่อวินาที ความเร็วเฉลี่ย = การกระจัดทั้งหมด / เวลา = 0 / 2 = 0 เมตรต่อวินาที (การกระจัดเป็นศูนย์เพราะ ลูกบอลกลับมาที่เดิม)

2.3 ความเร็วและอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous velocity) คือ ความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาสั้นมากขณะผ่านจุดจุดหนึ่งหรือที่เวลาใดเวลาหนึ่ง X x2 Q ความชันเป็นความเร็วที่ผ่าน Q ความชันเป็นความเร็วเฉลี่ย x1 P O t t1 t2 O

ความเร็วเฉลี่ย ความชันของเส้นตรงที่ลากผ่าน PQ คือ (x2 – x1) / (t2 – t1) ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ความเร็วของวัตถุที่ Q เป็นความเร็วขณะใดขณะหนึ่งที่เวลา t2 หรือ ที่จุด Q หาได้จากลิมิตของความชัน ตัวอย่าง ความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งกับเวลาเป็นไปตามสมการ x = 5t2 เมตร ให้ Q เป็นตำแหน่งที่ 2.00 วินาที ค่าของตำแหน่ง P ที่เวลาต่างๆ ใกล้ Q และค่าของความชันของเส้น PQ ดังตาราง ลิมิตของความชันที่ Q เป็น 20.00 เมตรต่อวินาที

ตารางแสดงค่า x ของ P และ Q ที่เวลาต่างๆ และค่าความชันของเส้น PQ t (s) P (m) Q(m) ความชันของ PQ (m/s) 1.50 11.25 20.00 17.50 1.80 16.20 19.00 1.90 18.05 19.50 1.98 19.602 19.90 1.99 19.8005 19.95 1.995 19.9001 19.98 1.999 19.9800 1.9999 19.9980 จากตาราง แสดงว่าความชันไม่เปลี่ยนเมื่อ t เข้าใกล้ 2.00 วินาทีมาก

2.4 ความเร่ง ความเร่ง (acceleration) หมายถึง การเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อเวลา ถ้าที่เวลา t2 วัตถุมีความเร็ว v2 และที่เวลาก่อนนั้นคือ t1 วัตถุมีความเร็ว v1 ความเร่งเฉลี่ย = ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง = กราฟของความเร็วกับเวลา ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดต่างๆ คือ ความเร่งของวัตถุที่จุดนั้นๆ อัตราเร่ง เป็นปริมาณสเกลาร์ ไม่คิดทิศทางเช่นเดียวกับอัตราเร็ว

กราฟระหว่างการกระจัดกับเวลา (x-t) ความเร็วที่ตำแหน่ง x0 = ความชันของเส้นสัมผัสเส้นกราฟ ณ ตำแหน่ง (0, x0) การกระจัด (x) T1 ความชันของ T1 = v(t) = v x (t, x) x0 ความชันของ T0 = v0 T0 (0, x0) t (วินาที) O t  ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง = ความชันของเส้นสัมผัสเส้นกราฟ

กราฟระหว่างความเร็วกับเวลา (v – t) ความชันของเส้นกราฟ = (v – v0) / (t – 0) a = (v – v0) / (t – 0)  v = v0 + at ระยะทาง x หาได้จาก x = พื้นที่สี่เหลี่ยม + พื้นที่สามเหลี่ยม v at v0 v0 t O t ความเร่ง = ความชันของเส้นกราฟระหว่าง v กับ t ขณะเวลา t ใดๆ

กราฟระหว่างความเร่งกับเวลา (a – t) วัตถุที่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างสม่ำเสมอ v a ความเร็วเพิ่มขึ้น a a = v / t vav = a t หาความเร็วเฉลี่ย ได้จาก พื้นที่ใต้กราฟ a - t t O t O t v a ความเร็วลดลง t O t -a t O

สมการการเคลื่อนที่กรณีความเร่งเป็นค่าคงตัว ความเร็ว วัตถุที่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วแบบเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างสม่ำเสมอ กราฟความเร็วกับเวลาเป็นกราฟเส้นตรง ความชันทุกจุดบนเส้นตรงเท่ากัน v v0 ความชัน = มีค่าเท่ากับความเร่ง ( a0 ) เวลา (t) O t ................สมการ (1.1)

ความเร็ว การหาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ พิจารณาจากกราฟ ช่วงเวลา t สั้นๆ วัตถุมีความเร็ว v ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในช่วงเวลา t คือ v t ระยะทางของการเคลื่อนที่ทั้งหมด ได้จากการรวม vt ทั้งหมด โดยเริ่มจาก t = 0 จนถึง t = t1 ระยะทางทั้งหมดสมมติว่าเป็น (x1 – x0) v1 v v0 เวลา O t1 t ................สมการ (1.2)

ความเร็ว จากกราฟ vt เป็นพื้นที่ใต้กราฟ การรวมพื้นที่ vt ทั้งหมดจะได้พื้นที่ใต้กราฟทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีค่าเท่ากับ (1/2)(v0+v1)(t1-0) v1 v v0 เวลา ระยะทางทั้งหมด O t1 t ........สมการ (1.3) แทนค่า v จากสมการ (1.1) จะได้ ........สมการ (1.4)

v – v0 = a0t ดังนั้น t = (v – v0)/a0 ........สมการ (1.5) สรุปเป็นสูตร สูตรทั้ง 4 สูตรนี้ใช้ได้ถูกต้องเฉพาะกรณีที่ a มีค่าคงตัวเท่านั้น

ตัวอย่าง ถ้าการเคลื่อนที่ของก้อนหินในแนวดิ่ง เกิดจากการโยนขึ้นด้วยความเร็วต้น 5.0 เมตรต่อวินาที ซึ่งจะมีความเร่งคงตัวในทิศลงมีค่า 10 เมตรต่อ (วินาที)2 ก้อนหินจะใช้เวลาเท่าใดจะถึงจุดสูงสุด และใช้เวลาอีกเท่าใดจึงจะกลับถึงจุดที่โยน ความเร็วเฉลี่ยของช่วงขาขึ้นเป็นเท่าใด และระยะทางถึงจุดสูงสุดเป็นเท่าใด กราฟของความเร็วสำหรับช่วงเวลาทั้งขึ้นและลงจะเป็นอย่างไร วิธีทำ กำหนดให้ x เป็น การกระจัดในทิศขึ้น v เป็น ความเร็วในทิศขึ้น a เป็น ความเร่งในทิศขึ้น (a = -10 m/s2) จากสมการ v = u + at ความเร็วที่จุดยอดจะเป็น 0 และความเร็วต้น 5.0 m/s จะได้ 0 = 5.0 + (-10 )t t = 0.50 s  ก้อนหินใช้เวลา 0.50 วินาที จะถึงจุดสูงสุด ANS1

เวลาในช่วงขาลง = เวลาในช่วงขาขึ้น เท่ากับ 0 เวลาในช่วงขาลง = เวลาในช่วงขาขึ้น เท่ากับ 0.50 วินาที เพราะการเคลื่อนที่ของก้อนหินเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอย่างเดิมในระยะทางเท่ากันกับขาขึ้น  ก้อนหินใช้เวลาอีก 0.50 วินาทีจึงจะกลับถึงจุดที่โยน ANS2 ความเร็วเฉลี่ยของช่วงขาขึ้น (v + v0) / 2 = (0 + 5.0)/2 = 2.5 m/s ANS3 ระยะทางถึงจุดสูงสุด = ความเร็วเฉลี่ย  เวลา = 2.5  0.5 = 1.25 m ANS4

v(m/s) และกราฟของความเร็วกับเวลาจะเป็นดังรูป 5.0 อาจตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบได้จากสมการ t(s) O 0.5 1.0 -5.0 ใช้ค่าเวลาของคำตอบ 1 แทนค่าจะได้ x = 5.0  0.5 + (1/2) (-10 )  (0.50 )2 m = 1.25 m ตรงกับคำตอบที่ 4 หากใช้สูตรระยะทางนี้ หาเวลาการเคลื่อนที่ขาลง ซึ่งการกระจัดขาลงเป็น -0.125 เมตร เพราะ การกระจัดมีทิศลง ใช้ความเร็วต้นเป็นศูนย์ (จากจุดยอด) แทนค่าจะได้ -0.125 = 0 – (1/2)(-10) t2 t = +0.5 , -0.5 s ตรงกับคำตอบที่ 1 และ 2

ตัวอย่างที่ 1 วัตถุก้อนหนึ่งมีการกระจัดเป็นไปตามสมการ x = 10t2 + 5 เมตร จงคำนวณหาค่า ก. ความเร็วที่เวลา t = 2 วินาที ข. ความเร่งที่เวลา t = 3 วินาที วิธีทำ ก. ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง = dx = d (10t2+5) dt dt v(t) = 20 t เมตรต่อวินาที t = 2 วินาที , v = 20 x 2 = 40 เมตรต่อวินาที ข. ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง = dv = d (20t) dt dt a(t) = 20 เมตรต่อวินาที 2 t = 3 วินาที , a = 20 เมตรต่อวินาที 2

ตัวอย่างที่ 2 อนุภาคอันหนึ่งเดิมอยู่นิ่ง แล้วทำให้เกิดความเร่ง = 3t เมตรต่อวินาที 2 วิธีทำ ก. ความเร่ง a = 3t = 3x5 = 15 m/s2 ข. ความเร็ว เมื่อ t0 = 0 , t = 5 s และ a = 3t จะได้ ค. การกระจัด เมื่อ t0 = 0 , t = 5 s และ v = 3t2 / 2 จะได้

ตัวอย่างที่ 3 รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ได้ 30 กิโลเมตร ในครึ่งชั่วโมงแรก และเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 50 กิโลเมตร ในครึ่งชั่วโมงต่อมา อัตราเร็วเฉลี่ยใน 1 ชั่วโมงมีค่าเท่าใด วิธีทำ อัตราเร็วเฉลี่ย = ระยะทาง เวลา = 30 กิโลเมตร + 50 กิโลเมตร 1/2 ชั่วโมง + 1/2 ชั่วโมง = 80 กิโลเมตร/ชั่วโมง คำตอบ อัตราเร็วเฉลี่ย 80 กิโลเมตร/ชั่วโมง

ตัวอย่างที่ 4 ก้อนหินตกแบบเสรีจากที่สูงแห่งหนึ่ง จะใช้เวลานานเท่าใด ความเร็วของก้อนหินจะเป็น 4 เท่าของความเร็ว เมื่อสิ้นวินาทีที่ 1 ของการเคลื่อนที่ วิธีทำ หาความเร็วของก้อนหินเมื่อสิ้นวินาทีที่ 1 จาก v = u + at v = 0 + (-10) x 1 v = -10 เมตร/วินาที หาเวลาที่ก้อนหินมีความเร็ว 40 m/s จาก v = u + at -40 เมตร/วินาที = 0 + (-10) x t t = 4 วินาที คำตอบ ก้อนหินตกลงมาใช้เวลา 4 วินาที

ตัวอย่างที่ 5 วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวตรงด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที โดยมีความเร่ง 5 เมตร/วินาที 2 ขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 480 เมตร วัตถุเคลื่อนที่มาแล้วกี่วินาที วิธีทำ จากสูตร s = ut + ½ at 2 480 เมตร = 10 เมตร/วินาที . t + ½ x 5 เมตร/วินาที 2 . t2 960 = 20t + 5t2 (t - 12)(t + 16) = 0 t = 12 และ -16 วินาที แต่เวลาเป็นลบไม่มีความหมาย ดังนั้นวัตถุเคลื่อนที่มาแล้ว 12 วินาที คำตอบ วัตถุเคลื่อนที่มาแล้ว 12 วินาที

ตัวอย่างที่ 6 รถยนต์คันหนึ่งออกวิ่งจากจุดหยุดนิ่งไปตามถนนตรงด้วยขนาดความเร่งคงตัวและวิ่งไปได้ไกล 75 เมตร ภายในเวลา 5 วินาที ขนาดของความเร่งของรถยนต์เป็นท่าใด วิธีทำ จากสูตร s = ut + ½ x at2 75 เมตร = 0 + ½ a 25 วินาที 2 a = 6 เมตร/วินาที 2 คำตอบ ขนาดความเร่งของรถยนต์เป็น 6 เมตร/วินาที 2 ตัวอย่างที่ 7 โยนก้อนหินไปตามแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที ถามว่า ก. เมื่อใดก้อนหินมีความเร็วเป็นศูนย์ ข. ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุดเท่าใด ค. เป็นเวลานานเท่าใดก้อนหินจึงจะตกลงมาถึงตำแหน่งเริ่มต้น

วิธีทำ ก. จากสูตร v = u + at 0 = 10 เมตร/วินาที + (-10) เมตร/วินาที 2 x t t = 1 วินาที คำตอบ ก้อนหินมีอัตราเร็วเป็นศูนย์หลังจากโยนขึ้นไปนาน 1.0 วินาที ข. จากสูตร s = (u+v)t / 2 = (10 เมตร/วินาที + 0 ) × 1.0 วินาที 2 = 5.0 เมตร คำตอบ ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุดเป็นระยะ 5.0 เมตร

ค. เมื่อก้อนหินตกถึงพื้น s = 0 s = ut +1/2at2 s = 10t + ½ (-10) เมตร/วินาที 2 x t 0 = 10t – 5t2 0 = 5t(2 – t) t = 2.0 s คำตอบ จะต้องใช้เวลา 2.0 วินาที ก้อนหินจึงตกถึงพื้น ตัวอย่างที่ 8 อิเล็กตรอนตัวหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 1.0 x 10 4 เมตร/วินาที เข้าสู่บริเวณสนามไฟฟ้าและถูกเร่งโดยสนามไฟฟ้าเป็นระยะทาง 1.0 เซนติเมตร เมื่อออกจากสนามไฟฟ้า อิเล็กตรอนนั้นมีความเร็ว 4.0 x 106 เมตร/วินาที จงคำนวณหาความเร่ง

วิธีทำ จากสูตร v2 = u2 + 2 as (4.0 x 104 เมตร/วินาที) 2 = (1.0 x 104 เมตรต่อวินาที) 2 + 2a x 1.0 x 10-2 เมตร 16.0 x 1012 = 0.0001 x 1012 + 2a x 1.0 x 10-2 a = 8.0 x 1014 เมตร/วินาที 2 คำตอบ ความเร่งของอิเล็กตรอนมีค่าเท่ากับ 8.0 x 1014 เมตรต่อวินาที 2 ตัวอย่างที่ 9 โยนก้อนหินขึ้นไปในแนวดิ่งจากพื้นดิน ด้วยความเร็วต้น 20 เมตร/วินาที หลังจากโยนไปแล้วเป็นเวลาเท่าไร ก้อนหินจึงตกลงมาด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที วิธีทำ กำหนดให้ความเร็วในทิศขึ้นเป็น + จาก v = u + at ความเร็วขณะตก = 10 เมตร/วินาที -10 เมตร/วินาที = 20 เมตร/วินาที + (-10) x t t = 3 วินาที