บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส กิจกรรม ลองทำดู คำสั่ง : กำหนดให้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งใน แต่ละข้อได้กำหนดความยาวไว้ดังรูป ให้นักเรียนทำกิจกรรมต่อไปนี้และเขียน คำตอบเติมลงในตาราง 1) หาค่า a2, b2 และ c2 และพิจารณาว่าในแต่ละข้อข้อใดมีความสัมพันธ์ที่เป็น a2 + b2 = c2 2) วัดขนาดของมุม ACB และพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมในข้อใดเป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก

            ข้อที่ a b c a2 + b2 c2 a2 + b2 = c2 หรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ข้อที่ a b c a2 + b2 c2 a2 + b2 = c2 หรือไม่ ∆ABC เป็น ∆ มุมฉากหรือไม่ เท่า ไม่เท่า เป็น ไม่เป็น 1 6 8 10   2 12 13 3 9 15 4 16 20 5 7 14 6.5 8.5  100  100    180  169    225  225    400  400    218  196    58.25  72.25  

บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส 1. รูปสามเหลี่ยมทุกรูปที่มีความสัมพันธ์ของความยาวของด้านเป็น c2 = a2 + b2 เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใช่หรือไม่ ใช่ ......................................................................................................................... 2. รูปสามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธ์ของความยาวของด้านเป็น c2 = a2 + b2 มีด้านใดยาวที่สุด ด้าน c ......................................................................................................................... 3. จากกิจกรรมข้างต้น นักเรียนสามารถบอกได้หรือไม่ว่าด้านทั้งสามของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีความสัมพันธ์กันอย่างไร ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านยาว a, b และ c หน่วย ......................................................................................................................... แล้ว c2 = a2 + b2 จะได้ว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ......................................................................................................................... โดยมีด้านที่ยาวที่สุดเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ..........................................................................................................................

A c b c2 = a2 + b2 C a B ผลที่ได้ในกิจกรรมข้างต้น บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ผลที่ได้ในกิจกรรมข้างต้น สำหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้ากำลังสองของความยาวของด้านด้านหนึ่ง เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านอีกสองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สรุปได้ว่า A c b c2 = a2 + b2 C a B ซึ่งเรียกว่า บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

c2 = a2 + b2 A c b C a B ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัส A B C a c b สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก c2 = a2 + b2

ซึ่งเรียกว่า บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส A B C a c b สำหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้ากำลังสองของความยาวของด้านด้านหนึ่ง เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านอีกสองด้าน c2 = a2 + b2 แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเรียกว่า บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส เช่น กำหนดความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมต่างๆ มาให้จงหาว่ารูปสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ 1 6, 8, 10 2 4, 6, 8 102 = 62 + 82 82 ≠ 42 + 62 100 = 36 + 64 64 ≠ 16 + 36 100 = 100 64 ≠ 52 รูปสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมนี้ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

Exercise 3 Converse Pythagoras’Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส P. 112 Exercise 3 Converse Pythagoras’Theorem Determine whether the following sets of three numbers are Pythagorean Triples. Show your work and write yes or no for each set of numbers. a) b) 8, 15, 17 15, 20, 25 172 = 82 + 152 252 = 152 + 202 289 = 64 + 225 625 = 225 + 400 289 = 289 625 = 625 yes yes

Exercise 3 Converse Pythagoras’Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส P. 112 Exercise 3 Converse Pythagoras’Theorem Determine whether the following sets of three numbers are Pythagorean Triples. Show your work and write yes or no for each set of numbers. c) d) 20, 48, 52 2, 9, 11 522 = 202 + 482 112 ≠ 22 + 92 2,704 = 400 + 2,304 121 ≠ 4 + 81 2,704 = 2,704 121 ≠ 85 yes no

Exercise 3 Converse Pythagoras’Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส P. 112 Exercise 3 Converse Pythagoras’Theorem Determine whether the following sets of three numbers are Pythagorean Triples. Show your work and write yes or no for each set of numbers. e) f) 7, 24, 25 12, 35, 37 252 = 72 + 242 372 = 122 + 352 625 = 49 + 576 1,369 = 144 + 1,225 625 = 625 1,369 = 1,369 yes yes

Exercise 3 Converse Pythagoras’Theorem บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส P. 112 Exercise 3 Converse Pythagoras’Theorem Determine whether the following sets of three numbers are Pythagorean Triples. Show your work and write yes or no for each set of numbers. g) 13, 84, 85 852 = 132 + 842 7,225 = 169 + 7,056 7,225 = 7,225 yes

จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ 1 752 = 212 + 722 A B   C 75 72 21 5,625 = 441 + 5,184 5,625 = 5,625 ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ 2 9 A 12   16 B C D BC2 = 122 + 162 = 144 + 256 20   = 400 BC = 20 25  

จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ 2 9 A 12   16 B C D AC2 = 92 + 122 = 81 + 144 20   15   = 225 AC = 15 25  

จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ 2 9 A 12   16 B C D 252 = 152 + 202 625 = 225 + 400 20   15   625 = 625 ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 25  

จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ 3 36 A 48   64 B C D BC2 = 482 + 642 = 2,304 + 4,096 80   = 6,400 BC = 80 100

จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ 3 36 A 48   64 B C D AC2 = 362 + 482 = 1,296 + 2,304 80   60   = 3,600 AC = 60 100

จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ 3 36 A 48   64 B C D 1002 = 602 + 802 80   10,000 = 3,600 + 6,400 60   10,000 = 10,000 ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 100

จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ B A C D 20 33 56 4 BC2 = 202 + 332 = 400 + 1,089 = 1,489 BC = 76

จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ B A C D 20 33 56 4 AC2 = 332 + 562 = 1,089 + 3,136 65 = 4,225 AC = 65 76

จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จงแสดงว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ B A C D 20 33 56 4 762 = + 652 5,776 = 1,489 + 4,225 65 5,776 = 5,714 ∆ABC ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 76