คณิตศาสตร์ 1 รหัสวิชา 3000-1520

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

หัวข้อเรื่อง

ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใด อย่างหนึ่งเท่านั้นโดยที่ประโยคคำถาม ขอร้อง อุทาน และคำสั่งไม่ถือว่าเป็นประพจน์ ดังตัวอย่าง 5 เป็นจำนวนจริง เป็นประพจน์ (ประโยคบอกเล่า) 3 + 1 มากกว่า 2 เป็นประพจน์ (ประโยคบอกเล่า) นกเป็นสัตว์ที่มี 2 ขา ประพจน์ (ประโยคบอกเล่า) อย่าเสียใจไปเลย ไม่เป็นประพจน์ (ห้าม) กรุณาอย่าส่งเสียงดัง ไม่เป็นประพจน์ (ขอร้อง ทำไมเค้าถึงสอบได้คะแนนดี ไม่เป็นประพจน์ (คำถาม)

ค่าของประพจน์แทนด้วย T ย่อยมาจาก True แทนค่าความจริงของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง F ย่อยมาจาก False แทนค่าความจริงของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ด้วยกันทั้งหมด 4 ตัว คือ 1. “และ” แทนด้วย สัญญาลักษณ์นี้  2. “หรือ” แทนด้วย สัญญาลักษณ์  3. “ถ้า...แล้ว...” แทนด้วย สัญญาลักษณ์  4. “...ก็ต่อเมื่อ...” แทนด้วย สัญญาลักษณ์ 

จงเขียนให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ ถ้าให้ P เป็นประพจน์ P คือ นิเสธของประพจน์ P ซึ่งจะเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์ P P P T F P แทนประพจน์ “4 เป็นจำนวนเต็มบวก” Q แทนประพจน์ “4 เป็นจำนวนจริง” R แทนประพจน์ “4 หาร 8 ลงตัว” ตัวอย่าง กำหนดให้ P ก) 4 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก ข) 4 เป็นจำนวนจริง และ 4 หาร 8 ลงตัว ค) 4 เป็นจำนวนเต็มบวก หรือ 4 เป็นจำนวนจริง ง) ถ้า 4 เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว 4 หาร 8 ลงตัว จ) 4 เป็นจำนวนเต็มบวกก็ต่อเมื่อ 4 เป็นจำนวนจริง QR จงเขียนให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ PQ PR PQ

ตัวอย่าง จงสร้างตารางแสดงค่าความจริงของ (PQ)P ในการพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ ที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์ของประพจน์ย่อยหลายประพจน์ อาจทำได้โดยการสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์นั้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง จงสร้างตารางแสดงค่าความจริงของ (PQ)P P T F Q T F P F T PQ T F (PQ)P T F

ขั้นที่ 1 กำหนดค่าความจริงของ P และ Q ให้ครบทุกกรณีที่เป็นไปได้ (ซึ่งมี 4 กรณี) ขั้นที่ 2 หาค่าความจริงของ P ซึ่งตรงกันข้ามกับค่าความจริงของ P ขั้นที่ 3 หาค่าความจริงของประพจน์ PQ โดยนำค่าความจริงในสดมภ์ของ P กับสดมภ์ของ Q มาพิจารณาหาค่าความจริง โดยใช้ตัวเชื่อม “หรือ” โดยพิจารณาทีละกรณี ขั้นที่ 4 หาค่าความจริงของประพจน์ (PQ)  P โดยนำค่าความจริงของสดมภ์ PQ กับสดมภ์ของ P มาพิจารณาหาค่าความจริงโดยใช้ตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” โดยพิจารณาทีละกรณี

หัวข้อเรื่อง

สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า (pq)  p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ p q pq (pq)  p T F จากตารางแสดงค่าความจริงจะเห็นว่า (pq)  p มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ดังนั้นจึงเป็น สัจนิรันดร์

ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกันเมื่อมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี และจะเป็นนิเสธกันเมื่อมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณี p q pq (pq) p q pq T F จะเห็นว่า (pq) มีค่าความจริงเหมือนกับ pq ทุกกรณี ดังนั้น (pq) สมมูลกับ pq เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (pq)  pq และ pq มีค่าความจริงตรงข้ามกับ pq ทุกกรณี ดังนั้น pq เป็นนิเสธของ pq

2) เขาเรียนอยู่ชั้น ปวส.1 ประโยคเปิด (Open Sentence) คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปรและไม่ใช่ประพจน์ แต่เมื่อแทนตัวแปรนั้นด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะเป็นประพจน์ เช่น 1) 2x + 6 = 0 2) เขาเรียนอยู่ชั้น ปวส.1

แทนตัวบ่งปริมาณ “สำหรับทุกๆ...” หรือ “สำหรับแต่ละ” ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) มีอยู่ 2 แบบ คือ แทนตัวบ่งปริมาณ “สำหรับทุกๆ...” หรือ “สำหรับแต่ละ” แทนตัวบ่งปริมาณ “สำหรับบางส่วน...” หรือ “จะมีบางค่าของ” ตัวอย่าง จงเขียนข้อความต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ เมื่อเอกภาพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง ก) สำหรับ x ทุกตัว 5x + 2x = 7x ข) มีจำนวน x ซึ่ง 7x – 5x = x ค) สำหรับ x แต่ละตัว ถ้า x เป็นจำนวนนับ และ x เป็นจำนวนตรรกยะ

หัวข้อเรื่อง

ให้ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ สิ่งสำคัญที่ควรทราบมีดังนี้ 1. x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ P(x) เป็นจริงสำหรับทุกๆ ค่า ของ x  U 2. x [P(x)] มีความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี x  U อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ 3. x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี x  U อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง 4. x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ ทุกๆ ค่า x  U ทำให้ P(x) เป็นเท็จทั้งหมด

ถ้า เหตุ p, q, r นำมาสรุปเป็นผล s ได้ นั่นคือ สมเหตุสมผล การอ้างเหตุผล (Argument) คือ การที่จะตรวจสอบว่า จากเหตุหรือสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้ เราสามารถนำมาสรุปเป็นผลอย่างใดอย่างหนึ่งได้หรือไม่ เช่น ถ้ามีเหตุ p, q, r และผลที่ต้องการคือ s เราจะสามารถเขียนข้อมูลดังกล่าวได้ในรูป เหตุ 1. p 2. q 3. r ผล s ถ้า เหตุ p, q, r นำมาสรุปเป็นผล s ได้ นั่นคือ สมเหตุสมผล