สมบัติของเลขยกกำลัง จัดทำโดย นางเพ็ญประภา รัตนะเดชะ

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง 1. คูณและหารจำนวนที่เขียนอยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม โดยใช้บทนิยามและสมบัติของเลขยกกำลังและนำไปใช้แก้ปัญหาได้ คำนวณและใช้เลขยกกำลังในการเขียนแสดงจำนวนที่มีค่า น้อยๆ หรือมากๆในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้ 3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคำตอบที่ได้

สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง สาระการเรียนรู้ สมบัติของเลขยกกำลัง การดำเนินการของเลขยกกำลัง สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง

สมบัติของเลขยกกำลัง สมบัติของการคูณเลขยกกำลัง สมบัติของการหารเลขยกกำลัง การเขียนจำนวนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ แบบฝึกหัด 1.1

2. = 1 เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่าง = 1 1 = 3. = เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n แทนจำนวนเต็มบวก ตัวอย่าง = =

สมบัติ ของการคูณเลขยกกำลัง เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ m และ n แทนจำนวนเต็มบวก = เนื่องจาก = = =

ตัวอย่าง จงทำให้เป็นผลสำเร็จ 1. = = = = 2. = = 3. =

สมบัติของการหารเลขยกกำลัง = เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m , n เป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่าง จงทำให้เป็นผลสำเร็จ = 1. = 2. = = = = = 3. =

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ วิธีทำ = = = = = = ตอบ

เมื่อ n แทนจำนวนเต็มบวก ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ เมื่อ n แทนจำนวนเต็มบวก วิธีทำ = = = = = = 1 ตอบ 1

การเขียนจำนวนในรูปรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ จำนวนบวกที่มีค่ามาก ๆ หรือมีค่าน้อย ๆ ในทางวิทยาศาสตร์ นิยมเขียนจำนวนดังกล่าวในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ซึ่งมีรูปทั่วไปเป็น เมื่อ และ n แทนจำนวนเต็ม เช่น 12,500,000,000,000 เขียนแทนด้วย 1.25 1013 0.0000000037 เขียนแทนด้วย 3.7 10-9

กิโลเมตรต่อวินาที จงหาอัตราเร็วต่อชั่วโมง ตัวอย่าง โลกหมุนรอบดวงอาทิตย์ในอัตราเร็วประมาณ กิโลเมตรต่อวินาที จงหาอัตราเร็วต่อชั่วโมง วิธีทำ เวลา 1 ชั่วโมง มี วินาที โลกหมุนรอบดวงอาทิตย์ในอัตราเร็วประมาณ กิโลเมตรต่อชั่วโมง ดังนั้น โลกหมุนรอบดวงอาทิตย์ในอัตราเร็วประมาณ กิโลเมตรต่อชั่วโมง = กิโลเมตรต่อชั่วโมง = กิโลเมตรต่อชั่วโมง = = กิโลเมตรต่อชั่วโมง = กิโลเมตรต่อชั่วโมง ตอบ กิโลเมตรต่อชั่วโมง

แบบฝึกหัด 1.1 1. จงหาผลลัพธ์ในรูปเลขยกกำลัง

3. = วิธีทำ = = = 3 5 - 4 = 3 1 = 3 ตอบ 3

4. [ ] วิธีทำ [ ] = = = = 1 ตอบ 1

5. วิธีทำ = = = = 6.7 = ตอบ 6.7

6. วิธีทำ = = = = = = ตอบ = 0.0007

7. วิธีทำ = = = ตอบ = 4,000

8. วิธีทำ = = = = = = 30 ตอบ 30

9. เมื่อ วิธีทำ = = = = = ตอบ

10. เมื่อ และ วิธีทำ = = = = ตอบ

11. เมื่อ แทนจำนวนเต็มบวก วิธีทำ = = = = = ตอบ

12. วิธีทำ = = = = = ตอบ

3. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 3. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 1) 290,000,000,000 = = = 2) 0.0000000073 = 3) 0.0000000125 = = 4) = = 4.251 104

5) = = = ตอบ = 6) = = ตอบ =

7) = = ตอบ = 8) = = = ตอบ =

9) 516 ล้าน 5.78 × 109 2.5 × 1013 10) 5.78 พันล้าน = 12) 25 ล้านล้าน = 9) 516 ล้าน = = = 10) 5.78 พันล้าน 5.78 × 109 = 11) 9.7 หมื่นล้าน = 12) 25 ล้านล้าน = = 2.5 × 1013

หนังสือพจนานุกรมเล่มหนึ่งวัดความยาวจากหน้า 1 ถึงหน้า 1,440 ได้ ประมาณ 5.4 เซนติเมตร จงหาว่ากระดาษหนึ่งแผ่นของพจนานุกรมเล่มนี้หนาประมาณกี่เซนติเมตร ให้เขียนคำตอบในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ วิธีทำ กระดาษ 1,440 หน้าคิดเป็น 720 แผ่น กระดาษ 720 แผ่น หนาประมาณ 5.4 เซนติเมตร กระดาษ 1 แผ่นหนาประมาณ เซนติเมตร = 0. 0075 เซนติเมตร เซนติเมตร = 7.5 × 10-3 ตอบ กระดาษแผ่นหนาประมาณ เซนติเมตร 7.5 × 10-3

กิโลกรัม กิโลกรัม กิโลกรัม 5. ดาวอังคารเป็นดาวเคราะห์ในระบบสุริยะเช่นเดียวกับโลก ดาวอังคารมีมวล ประมาณ 0.1074 เท่าของโลก ถ้าโลกมีมวลประมาณ 5.98 × 1024 กิโลกรัม จงหาว่าดาวอังคารมีมวลกี่กิโลกรัม ให้เขียนคำตอบในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ วิธีทำ โลกมีมวลประมาณ กิโลกรัม ดาวอังคารมีมวลประมาณ 0.1074 เท่าของโลก ดาวอังคารมีมวลประมาณ = (0.1074) × ( ) กิโลกรัม กิโลกรัม = ( 1. 074 × 10-1) × ( ) กิโลกรัม 101 = ( 1. 074 × 5 . 98) × 1024 = กิโลกรัม ตอบ กิโลกรัม

6. นักดาราศาสตร์นิยมวัดระยะทางระหว่างดวงดาวเป็นปีแสง ระยะ 1 ปี 6. นักดาราศาสตร์นิยมวัดระยะทางระหว่างดวงดาวเป็นปีแสง ระยะ 1 ปี แสง คือระยะที่แสงเคลื่อนที่ไปได้ในเวลา 1 ปี ถ้าอัตราเร็วของแสง ประมาณ 186,262 ไมล์ต่อวินาที จงหาว่า 1 ปีแสง เป็นระยะ ประมาณกี่กิโลเมตร ให้เขียนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ( กำหนดให้ 1 ไมล์เท่ากับ 1.609 กิโลเมตร ) วิธีทำ เวลา 1 ปี มี 365 วัน 1 วันมี 24 ชั่วโมง 1 ชั่วโมง มี 60 นาที 1 นาที มี 60 วินาที เวลา 1 ปีมี 365 × 24 × 60 × 60 = 31,536,000 วินาที วินาที = 3.1536 × 107 ในเวลา 1 วินาที แสงเคลื่อนที่ได้ 186,262 ไมล์ ไมล์ = ในเวลา วินาที แสงเคลื่อนที่ได้

กิโลเมตร กิโลเมตร กิโลเมตร กิโลเมตร = ไมล์ = ไมล์ กำหนดให้ 1 ไมล์เท่ากับ 1.609 กิโลเมตร ไมล์ ถ้า กิโลเมตร = = กิโลเมตร นั่นคือ 1 ปี แสงเป็นระยะประมาณ กิโลเมตร ตอบ กิโลเมตร

ถ้าจำนวนที่ 1 คือ A × 10n และจำนวนที่ 2 คือ B × 10m 7. เมื่อมีจำนวนบวกสองจำนวนซึ่งแต่ละจำนวนอยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ นักเรียนจะทราบได้อย่างไรว่าจำนวนใดมากกว่า จงอธิบาย วิธีคิด ถ้าจำนวนที่ 1 คือ A × 10n และจำนวนที่ 2 คือ B × 10m วิธีการเปรียบเทียบทำได้โดยพิจารณา ดังนี้ กรณีที่ 1 ถ้า m = n แล้วให้เปรียบเทียบ A กับ B ถ้า A > B จะได้ A × 10n > B × 10m ถ้า A < B จะได้ A × 10n < B × 10m ถ้า A = B จะได้ A × 10n = B × 10m

กรณีที่ 2 ถ้า A = B แล้วเปรียบเทียบ n กับ m ถ้า n < m จะได้ A × 10n < B × 10m ถ้า n > m จะได้ A × 10n > B × 10m ถ้า n = m จะได้ A × 10n = B × 10m กรณีที่ 3 ถ้า A ≠ B และ m ≠ n แล้ว ให้พิจารณาที่เลขชี้ กำลัง คือ m กับ n ก่อน แล้วจึงพิจารณา A กับ B ตามลำดับ

การดำเนินการของเลขยกกำลัง การคูณเลขยกกำลัง แบบฝึกหัด 1.2ก การหารเลขยกกำลัง แบบฝึกหัดหน้า 17 – 18 (1.2ข)

การคูณเลขยกกำลัง m และ n แทนจำนวนเต็ม am × an = a m+n การดำเนินการของเลขยกกำลัง การคูณเลขยกกำลัง เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ m และ n แทนจำนวนเต็ม am × an = a m+n

ตัวอย่างที่ 1 ตัวอย่างที่ 2 ในรูปเลขยกกำลัง จงหาผลคูณ วิธีทำ ตอบ ตัวอย่างที่ 1 ในรูปเลขยกกำลัง จงหาผลคูณ วิธีทำ = = = ตอบ ตัวอย่างที่ 2 ในรูปเลขยกกำลัง จงหาผลคูณ วิธีทำ = (-5)-8 = 5-8 = 5(-8)+(-5) = ตอบ

= 2 แบบฝึกหัด 1.2 ก จงหาผลลัพธ์ในรูปเลขยกกำลัง 1. วิธีทำ = 2. วิธีทำ แบบฝึกหัด 1.2 ก จงหาผลลัพธ์ในรูปเลขยกกำลัง 1. วิธีทำ = = = ตอบ 2. = = วิธีทำ = = = 2 ตอบ 2

3. 4. วิธีทำ วิธีทำ = = = = = = = 1 ตอบ ตอบ 1

6. 5. วิธีทำ วิธีทำ = = = = = = ตอบ ตอบ 1

7. 8. วิธีทำ วิธีทำ = = = = = ตอบ หรือ ตอบ 1

9. × วิธีทำ × = = = (-7 )-2 = ตอบ (-7 )-2

2. จงหาผลลัพธ์ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

3. จงหาผลลัพธ์ในรูปอย่างง่าย

4. จงหาจำนวนมาแทน a แล้วทำให้ประโยคต่อไปนี้เป็นจริง

4 4

การหารเลขยกกำลัง = 27+2 = 5-2+4 เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m , n เป็นจำนวนเต็ม = 1. = 27+2 = 2. = 5-2+4 =

a- n = เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n แทนจำนวนเต็ม

แบบฝึกหัดหน้า 17 – 18 (1.2ข )

- + = ( - 10)4 = 104 104

- + 10-8 = 9 10-9 9 10-9

= - 0.3 125 = - 37.5 - 37.5

= 166.5 166.5 เมตร

= 20,477.8 20,478 20,477.8

สมบัติอื่น ๆ ของเลขยกกำลัง แบบฝึกหัด 1.3 เป็นจริงหรือไม่ ดอกเบี้ยทบต้น คิดเป็นล้านล้าน

สมบัติอื่น ๆ ของเลขยกกำลัง 1. เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ m และ n แทนจำนวนเต็ม เช่น (52)4 = 52 4 = 58 ตัวอย่าง จงหาผลคูณ ในรูปเลขยกกำลังที่มี 25 เป็นฐาน วิธีทำ = = = ตอบ

2. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณของจำนวนหลาย ๆ จำนวน 2. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณของจำนวนหลาย ๆ จำนวน เมื่อ a และ b แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n แทนจำนวนเต็ม ตัวอย่าง เป็นเลขยกกำลังที่มี เป็นฐาน และ 3 เป็นเลขชี้กำลัง = = ตอบ = ตัวอย่าง จงเขียน ในรูปการคูณของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเฉพาะ วิธีทำ = ตอบ =

3. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการหารของจำนวนหลาย ๆ จำนวน 3. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการหารของจำนวนหลาย ๆ จำนวน เมื่อ a และ b แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n แทนจำนวนเต็ม จงเขียน ในรูปเศษส่วนของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็น จำนวนเฉพาะ ตัวอย่าง วิธีทำ = ตอบ

Back Next จงหาผลลัพธ์ ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น จำนวนเต็มบวก วิธีทำ = = = = Back = Next = ตอบ

แบบฝึกหัด 1.3

= 44 104 = 404 404

(0.2)- 5 (0.2) 5 1

ดอกเบี้ยทบต้น ในการกู้ยืมเงิน ค่าตอบแทนที่ผู้กู้ตกลงให้แก่ผู้ให้กู้ เรียกว่า ดอกเบี้ย การจ่ายค่าดอกเบี้ยจะจ่ายเป็นเงินหรือทรัพย์อื่นก็ได้ แต่ส่วนใหญ่จะจ่ายเป็นเงิน ตามกฎหมายถ้าไม่ใช่เป็นการกู้ยืมกับธนาคารหรือสถาบันการเงินจะคิดดอกเบี้ยเกินร้อยละ 15 ต่อปีไม่ได้ ในกรณีที่ผู้กู้ค้างชำระดอกเบี้ย ผู้ให้กู้อาจเรียกเก็บดอกเบี้ยที่ค้างชำระได้อีกหนึ่ง ทำให้ต้องเสียดอกเบี้ยเพิ่มขึ้น ดอกเบี้ยที่คิดจากเงินต้นรวมกับดอกเบี้ยที่ค้างชำระ เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น ตามกฎหมายผู้ให้กู้จะคิดดอกเบี้ยทบต้นไม่ได้ ยกเว้นจะมีสัญญาตกลงกันเป็นหนังสือว่าให้คิดเบี้ยต้นได้

การฝากเงินไว้กับธนาคารประเภทฝากแบบประจำ ปกติจะมีการคิดดอกเบี้ยทบต้นในแต่ละช่วงเวลาที่ตกลงกันไว้ ในการคิดดอกเบี้ยเมื่อนำดอกเบี้ยที่คำนวณได้ตามเงื่อนไขของเวลาและอัตราดอกเบี้ยที่กำหนดรวมกับเงินต้น เรียกว่า เงินรวม เช่น ต้นปีฝากเงินไว้ 100 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ย 2% ต่อปี ดังนั้นเมื่อสิ้นปีที่ฝากจะได้ดอกเบี้ย = 2 บาท เมื่อนำเงินต้น 100 บาทรวมกับดอกเบี้ยที่ได้ 2 บาท จะได้เป็นเงินรวม 100 + 2 = 102 บาท

ดังนั้นสิ้นปีที่ 1 ได้เงินรวม ตัวอย่าง จงหาเงินรวมของเงินต้น 500 บาท ระยะเวลา 3 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้นปีละหนึ่งครั้ง อัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี เริ่มปีที่ 1 เงินต้น 500 บาท ดอกเบี้ย 6% สิ้นปีที่ 1 ได้ดอกเบี้ย หรือ บาท ใช้สมบัติการแจกแจง บาท จะได้เงินรวม บาท ดังนั้นสิ้นปีที่ 1 ได้เงินรวม

ดังนั้นสิ้นปีที่ 2 ได้เงินรวม บาท เริ่มปีที่ 2 เงินต้น บาท ดอกเบี้ย 6% สิ้นปีที่ 2 ได้ดอกเบี้ย บาท จะได้เงินรวม ใช้สมบัติการแจกแจง บาท ดังนั้นสิ้นปีที่ 2 ได้เงินรวม บาท

ดังนั้นสิ้นปีที่ 3 ได้เงินรวม เริ่มปีที่ 3 เงินต้น บาท ดอกเบี้ย 6% ได้ดอกเบี้ย บาท สิ้นปีที่ 3 จะได้เงินรวม บาท ดังนั้นสิ้นปีที่ 3 ได้เงินรวม บาท

วิธีทำ จากโจทย์ P = 5,000 , r = 5 , t = 3 กำหนดเงินต้น 5,000 บาท อัตราดอกเบี้ย 5% ต่อปี คิดดอกเบี้ยทบต้น ปีละหนึ่งครั้ง จงหาดอกเบี้ยเมื่อสิ้นปีที่ 3 วิธีทำ จากโจทย์ P = 5,000 , r = 5 , t = 3 จากสูตร A = แทนค่า A = = (5,000)(1.05)3 = (5,000)(1.1576) = 5,788 บาท ดังนั้น ได้เงินรวมเมื่อสิ้นปีที่ 3 ประมาณ 5,788 บาท นั่นคือ ได้ดอกเบี้ยทบต้นเมื่อสิ้นปีที่ 3 ประมาณ 5,788 - 5,000 = 788 บาท ตอบ 788 บาท

ดังนั้นสิ้นปีที่ 2 จะได้เงินรวมประมาณ 8,324.80 บาท 2. กำหนดเงินต้น 8,000 บาท อัตราดอกเบี้ย 2% ต่อปี คิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 6 เดือน จงหาเงินรวมเมื่อสิ้นปีที่ 2 วิธีทำ เนื่องจากอัตราดอกเบี้ยเป็น 2% ต่อปี เมื่อคิดอัตราดอกเบี้ยต่อ 6 เดือน ระยะเวลา 2 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 6 เดือน ต้องคิด ดอกเบี้ยทบต้น 22 = 4 ครั้ง จากสูตร A = แทนค่า A = = (8,000)(1.01)4 = (8,000)(1.0406) = 8,324.80 บาท ดังนั้นสิ้นปีที่ 2 จะได้เงินรวมประมาณ 8,324.80 บาท ตอบ 8,324.80 บาท

คิดเป็นล้านล้าน ในทางคณิตศาสตร์ สามารถเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆ สามารถเขียน จำนวนเหล่านี้ในรูป A  10n เมื่อ n แทนจำนวนเต็มบวกได้ เช่น 9,300,000 = 9.3  106 5,000,000,000 = 5  109 เนื่องจาก 106 = 1,000,000 หรือ 1  106 หรือ หนึ่งล้าน เพื่อความสะดวก ในการเขียน การอ่าน และการนำไปใช้ เราอาจใช้หน่วย หมื่นล้าน แสนล้าน ล้านล้าน แทนรูป 10n ได้ เช่น 225  10n = 225  104 106 อ่านว่า สองร้อยยี่สิบห้าหมื่นล้าน 3 1011 = 3  105  106 อ่านว่า สามแสนล้าน 7.5  1012 = 7.5  106  106 อ่านว่า เจ็ดจุดห้าล้านล้าน

จงหาผลลัพธ์ 1) 2.5 หมื่นล้านบาท รวมกับ 4,200 ล้านบาท เท่ากับกี่ล้านบาท 1) 2.5 หมื่นล้านบาท รวมกับ 4,200 ล้านบาท เท่ากับกี่ล้านบาท วิธีทำ (2.5  1010) + (4,200  106) = (25  109)+(4.2  109) = (25+4.2)  109 = 29.2  109 = 10.92  103  106 = 29,200  106 ตอบ 29,200 ล้านบาท 2) 12.2 พันล้านบาท ต่างจาก 1,320 ล้านบาท เท่ากับกี่ล้านบาท วิธีทำ (12.2  109)+(1,320 106) = (12.2  109) - (1.32 109) = (12.2 - 1.32)  109 = 10.88 109 = 10.88  103  106 = 10,880  106 ตอบ 10,880 ล้านบาท