งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

1 Advanced Counting Techniques 2 ความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relations) นิยาม 1 ความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relation) สําหรับลําดับ (sequence)

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "1 Advanced Counting Techniques 2 ความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relations) นิยาม 1 ความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relation) สําหรับลําดับ (sequence)"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1

2 1 Advanced Counting Techniques

3 2 ความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relations) นิยาม 1 ความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relation) สําหรับลําดับ (sequence) {a n } คือสมการที่แสดง ความสัมพันธระหวาง a n กับพจนที่มากอน คือ a 0, a 1,., a n-1 เมื่อ n  n 0 และ n 0 เปน จํานวนเต็มที่ มากกวาหรือเทากับ 0 a n = f(a 0, a 1,., a n-1 ) บางครั้งเราเรียกว่า difference equation.

4 3 ความสัมพันธเวียนเกิด ตัวอย่าง n ! = n (n–1)! for n ≥1. Fibonacci sequence a n = a n-1 + a n-2 for n ≥3. Pascal's recursion for the binomial coefficient is a two variable recurrence equation: C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k -1)

5 4 ความสัมพันธเวียนเกิด ลำดับ { a n }จะเป็นผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียน เกิด ถ้าแต่ละพจน์ของลำดับสอดคล้องกับ ความสัมพันธ์เวียนเกิดนั้น  ปกติจะมีลำดับมากมายที่สอดคล้องกับสมการของ ความสัมพันธ์เวียนเกิด  ในการหาความสัมพันธ์เวียนเกิดนั้นจะต้องกำหนด เงื่อนไขเริ่มต้น(initial conditions)เสมอเช่น In factorial recurrence we must specify 0! = 1. In the Fibonacci recurrence we must specify a0and a1. In Pascal's identity we must specify C(1,0) and C(1,1).

6 5 ความสัมพันธเวียนเกิด จงพิจารณาว่าจากความสัมพันธ์เวียนเกิด a n = 2a n−1 − a n−2 (n ≥2). ข้อใดต่อไปนี้เป็นผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียน เกิดข้างต้น a n = 3n a n = 2 n a n = 5 Yes No

7 6 ความสัมพันธเวียนเกิด ลำดับที่เขียนเป็นสูตรได้ชัดแจ้งสามารถเขียนแทน ด้วยความสัมพันธเวียนเกิดเช่น ตัวอย่าง {a n }เป็นลำดับที่มี a n = f(n) = 3 n ดังนั้นจะ นิยาม recursive ได้ดังนี้  เงื่อนไขเริ่มต้น f(0) = 3 0 = 1  ความสัมพันธเวียนเกิด f(n+ 1) = 3 (n+1) = 3(3 n ) = 3 f(n) ดังนั้น f(n+1) = 3 f(n)

8 7 Modeling with Recurrence Relations ตัวอยางที่ 1 ในหองทดลองทางชีววิทยาแหงหนึ่งพบวา จํานวน บักเตรีจะเพิ่มเปน 2 เทาในทุก ๆ ชั่วโมง สมมติวาเมื่อเริ่มตน ทดลองมีบักเตรี 5 ตัว อยากทราบวา จะมีบักเตรีทั้งหมดกี่ตัว หลังจากเวลาผานไปทั้งหมด n ชั่วโมง วิธีทํา กําหนดให an เปนจํ านวนของบักเตรีเมื่อสิ้นสุดชั่วโมงที่ n ซึ่ง จะเปน 2 เทาของจํานวนบักเตรีใน 1 ชั่วโมงกอนหนานั้น (a n-1 ) ดังนั้น a n = 2 a n (1) = 2 (2 a n-2 ) = 2 2 a n-2 = 2 2 (2 a n-3 )) = 2 3 a n-3. = 2 (2 (2. 2 a 0 )) = 2 n a 0

9 8 ในที่นี้ a 0 คือจํานวนบักเตรีเมื่อเริ่มตนทดลอง ซึ่ง มีคาดังนี้ a 0 = (2) ดังนั้น a n = 2 n ✕ (3)  สมการ (1) เปนตัวอยางของความสัมพันธเวียนเกิด (Recurrence Relation)  สมการ (2) จะเรียกวา เงื่อนไขเริ่มตน  สมการ (3) จะเรียกวา คําตอบเฉพาะที่ใชคํานวณหา คําตอบเมื่อแทนคา n และเงื่อนไขเริ่มตน

10 9 ตัวอยางที่ 3 นายอภิกุลนําเงิน 10,000 บาทไปฝากธนาคารแบบประจําไดดอกเบี้ย 11% (ดอกเบี้ยทบตน) อยากทราบวาเมื่อครบ 30 ป นายอภิกุลจะมีเงินในบัญชีกี่ บาท สมมตินายอภิกุลไมไดถอนเงินจากบัญชีนี้เลย วิธีทํา กําหนดให Pn เปนจํ านวนเงินในบัญชี เมื่อฝากครบ n ป เนื่องจาก ธนาคารใหดอกเบี้ย 11% ทุก ๆ ปของเงินตนของปกอนหนานั้น นั่นคือ P n = P n-1 + (0.11 ✕ P n-1 ) = (1.11) P n-1 = (1.11)(1.11 P n-2 )=(1.11) 2 P n-2. = (1.11) n P n-n = (1.11) n P 0

11 10 แต P 0 = 10,000 บาท ดังนั้น P 30 = (1.11) 30 ✕ 10,000 = 228, บาท

12 11 ตัวอยางที่ 4 ความสัมพันธเวียนเกิดที่เปนที่รูจักกันดีอันหนึ่งในกลุม นัก คณิตศาสตร็ คือ ปญหาของ Leonard diPisa. ซึ่งรูจักกัน ในนาม Fibonacci. Fibonacci ไดตั้งปญหาในหนังสือ Liber abaci. ราว ๆ คริสศตวรรษที่13 ดังนี้ กระตายแรกเกิดเพศผูและเพศเมียคูหนึ่งถูกนําไปปลอยไวที่ เกาะแหงหนึ่ง อยากทราบวาจะมีกระตายทั้งหมดกี่คูเมื่อ เวลาผานไป n เดือน โดยมีขอสมมติวา เมื่อกระตายทั้งสอง มีอายุครบ 2 เดือนจึงจะสามารถให้กําเนิดกระตายเพศผู และเพศเมียอีก 1 คู และเมื่อจุดเริ่มตนบนเกาะนั้นไมมี กระตายอยูเลย

13 12 กระตายที่เกิดใหม กระตายที่มีอยูเดิม

14 13 วิธีทํ า กําหนดให f n เปนจํ านวนคูของกระตาย เมื่อตอนตนเดือนที่ n สังเกตจากภาพที่ 1 จะเห็นวา จํานวนกระตายเมื่อตนเดือนที่ 3 เทากับจํานวนกระตายเมื่อตนเดือนที่ 2บวกกับจํานวนกระตาย เมื่อตนเดือนที่ 1 และจํานวนกระตายเมื่อตนเดือนที่ 4 เทากับ จํานวนกระตายเมื่อตนเดือนที่ 3 บวกกับจํานวนกระตายเมื่อ ตนเดือนที่ 2 เปนเชนนี้เรื่อย ๆ ไป ดังนั้น f n = f n-1 + f n (4) ถาเรากํ าหนด f 0 = 1 แลวสมการ (4) จะเปนไปไดสําหรับ n  2 และเราทราบวา f 1 = 1 ดังนั้น f 2 = f 1 + f 0 = 2 f 3 = f 2 + f 1 = 3 f 4 = f 3 + f 2 = 5 f 5 = f 4 + f 3 = 8

15 14 ตัวอย่างที่5 หอคอยแหงฮานอย โจทยปญหาที่โดงดังอีกปัญหา หนึ่งในปลายคริสศตวรรษที่ 18 คือ หอคอยแหงฮานอย ซึ่ง ตั้งคําถามวา จงหาจํานวนวิธี ในการเคลื่อนยายแผนไมจาก เสาที่ 1 ซึ่งวางเรียงซอนกัน จากแผน ใหญสุดไปยัง แผนที่ เล็กที่สุด ดังภาพ ไปยังเสาตน อื่นภายใต ขอตกลงดังตอไปนี้

16 15 ขอตกลงดังตอไปนี้ 1. สามารถเคลื่อนยายแผนไมไดทีละ 1 แผนเทานั้น 2. แผนไมที่ถูกเคลื่อนยายจะนําไปไวที่เสาใดก็ได แต มีเงื่อนไขวาแผนไมที่มีขนาดใหญจะวางซอนบน แผนไมที่มีขนาดเล็กกวา ไมได

17 16 วิธีทํ า กําหนดให H n เปนจํ านวนครั้งของการยายแผนไมจาก เสาตนที่ 1 ไปยังเสาตนอื่น ถาเราเริ่มตนจากมีแผนไม n แผนบนเสาที่ 1 เรา สามารถยายแผนไม n-1 แผนตามขอตกลงไปไวที่เสาที่ 3 ดังในภาพที่ 3 โดยใชจํานวนครั้งในการยาย แผนไม ทั้งหมด H n-1 ครั้ง หลังจากนั้นยาย แผนไมที่ใหญ ที่สุดไปไวที่เสาที่สองแลวเราก็ ยายแผนไม n-1 แผ นจากเสาที่ 3 ไปยังเสาที่ 2 โดยใชจํานวน ครั้งที่ยายเปน H n-1 ครั้ง

18 17

19 18 หอคอยแหงฮานอย ปัญหา:ต้องการย้ายแผ่นไม้จากเสาที่ 1 ไปไว้เสาที่2 กฏ:  (a) สามารถเคลื่อนยายแผนไมไดทีละ 1 แผน เทานั้น  (b) แผนไมที่ถูกเคลื่อนยายจะนําไปไวที่เสาใดก็ได แตมี เงื่อนไขวาแผนไมที่มีขนาดใหญจะวางซอนบน แผนไมที่มี ขนาดเล็กกวาไมได Peg #1Peg #2Peg #3

20 19 ดังนั้นจํ านวนครั้งของการยายแผนไมทั้งหมด n แผน คือ H n = 2 H n โดยที่ H 1 = 1 เพราะวาเราสามารถยายแผนไม 1 แผนจากเสาที่ 1 ไปยัง เสาที่ 2 ไดโดยจํานวนครั้งที่นอยที่สุดเปน 1 ครั้ง ถาเราใชวิธีการแทนคาดวยเทอมที่อยูกอนหนานั้นเสมอจะไดวา H n = 2 H n = 2 (2 H n-2 + 1) + 1 = 2 2 H n = 2 2 (2H n-3 + 1) = 2 3 H n = 2 n-1 H n n = 2 n n = 2 n – (5)

21 20 นิยายปรัมปราเกี่ยวกับหอคอยแหงฮานอยเลาวาพระที่ประจํา อยูในหอคอยแหงฮานอยประกาศวา ถาทานจะยายแผนทอง คําจํานวน 64 แผน โดยในการยาย แผนทองคํา 1 แผน ใช เวลา 1 วินาทีเทานั้น แลว เมื่อทานยายแผนทองคําจากเสาตนที่ 1 ไปยังเสา ตนอื่นเสร็จสิ้น โลกก็จะแตกสลายไปแลว จากสมการ (5) จะไดวา จํานวนครั้งของการยาย H 64 = = 18,446,774,073,709,551,615 ซึ่งถายาย 1 แผนใชเวลา 1 วินาที แลวจะใชเวลาทั้งหมด มากกวา 500 พันลานปทีเดียว

22 21 การแกสมการความสัมพันธเวียนเกิด ความสัมพันธเวียนเกิดมีรูปแบบตาง ๆ กัน บางแบบ สามารถหาคําตอบไดงายโดยการแทนคาไป เรื่อย ๆ ก็จะไดเทอม a n อยูในรูปของเงื่อนไขเริ่มตน (a 0, a 1 หรือ a 2 ) ดังในตัวอยางที่ 1, 3 และตัวอยางที่ 5 ที่ผานมาซึ่งเราเรียกวา การทําซํ้ า (Iteration) และอีกวิธีหนึ่งที่จะกลาวถึงตอไปนี้เปนวิธีเฉพาะที่ใช กับสมการความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสน (Linear recurrence Relations)

23 22 ความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสน นิยาม ความสัมพันธเวียนเกิดในรูป a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 +. c k a n-k......(6) โดยที่ c i เปนคาคงที่ (i = 1, 2,., k) ถา c k ≠ 0 แลวเราเรียกความสัมพันธนี้วา ความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสนลําดับที่ k

24 23 ความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสน ตัวอย่างความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสน  a n = (1.11) a n-1 : of degree one.  a n = a n-1 + a n-2 : of degree two.  a n = a n-5 : of degree five. ตัวอย่างที่ไม่ใช่ความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสน  a n = a n-1 + (a n-2 ) 2 : is not linear.  a n = 2a n-1 + 1: is not homogeneous.  a n = na n-1 : does not have constant coefficients.

25 24 การแกสมการความสัมพันธเวียนเกิด คําตอบทั่วไป (general solution) ของสมการ (6) จะอยูในรูป ผลบวกของคําตอบพื้นฐาน (basic solution) ซึ่งมีวิธีการหาดังนี้ ให้ a n = r n เมื่อ r เปนคาคงที่ เป็นคำตอบทั่วไป และเมื่อแทนคา a n = r n ลงในสมการ (6) จะได r n = c 1 r n-1 + c 2 r n c k r n-k เมื่อหารทั้งสองขางดวย r n-k แลวจะได r k = c 1 r k-1 + c 2 r k c k หรือ r k - c 1 r k-1 - c 2 r k c k = (7) เราเรียกสมการ (7) นี้วา สมการลักษณะ (characteristic equation)

26 25 การแกสมการความสัมพันธเวียนเกิด เนื่องจากสมการ (7) เปนสมการที่อยูในรูปนิพจนพหุ นาม (Polynomial) ลําดับที่ k ดังนั้นจะมีคําตอบ สําหรับ r ทั้งหมด k คําตอบ กําหนดให r i (i = 1, 2,.,k) เปนคําตอบทั้ง k คําตอบ ดังนั้น a n = r i n จึงเปนคําตอบพื้นฐานคําตอบ หนึ่งของความสัมพันธเวียนเกิดนั่นคือ คําตอบทั่วไป จะอยูในรูป a n = A 1 r 1 n + A 2 r 2 n A k r k n (8) โดยที่ A i (i = 1, 2,..., k) เปนคาคงที่ ที่คาของมัน ขึ้นอยูกับเงื่อนไขเริ่มตน

27 26 ทฤษฎีบท 1 ให้c 1, c 2,..., c k เป็นจำนวนจริง สมการลักษณะ r k - c 1 r k-1 - c 2 r k c k = 0 มีรากลักษณะที่แตกต่างกัน k รากคือ r 1, r 2,..., r k แล้วลำดับ {a n } เป็นผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียน เกิด a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 +. c k a n-k ก็ต่อเมื่อ a n = A 1 r 1 n + A 2 r 2 n A k r k n สำหรับ n= 1,2,…เมื่อ A 1, A 2,..., A k เป็น จำนวนจริง

28 27 ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิด a n = a n a n-2 เมื่อ a 0 = 2 และ a 1 = 7 วิธีทํ า จากสมการพื้นฐาน a n = r n จะไดสมการลักษณะดังนี้ r n = r n r n-2 หรือ r 2 - r - 2 = 0 (r - 2) (r + 1) = 0 r = 2, -1

29 28 ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิดa n = a n a n-2 เมื่อ a 0 = 2 และ a 1 = 7 ดังนั้นคํ าตอบทั่วไปคือ a n = A 1 2 n + A 2 (-1) n เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มตน a 0 และ a 1 จะได a 0 = 2 = A A 2 (-1) 0 2 = A 1 + A (a) a 1 = 7 = A A 2 (-1) 1 7 = 2A 1 - A (b) แกสมการ (a) กับ (b) จะได A 1 = 3, A 2 = -1 ดังนั้นคํ าตอบของความสัมพันธเวียนเกิดคือ a n = 3.2 n + (-1)(-1) n a n = 3.2 n - (-1) n

30 29 ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิด a n = 6a n a n a n-3 เมื่อ a 0 = 2, a 1 = 2 และ a 2 = 15 วิธีทํ า จากสมการพื้นฐาน a n = r n จะไดสมการลักษณะดังนี้ r n = 6r n r n r n-3 หรือ r 3 - 6r r - 6 = 0 (r - 1) (r - 2) (r - 3) = 0 r = 1, 2, 3

31 30 ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิด a n = 6a n a n a n-3 เมื่อ a 0 = 2, a 1 = 2 และ a 2 = 15 ดังนั้นคํ าตอบทั่วไปคือ a n = A 1 (1) n + A 2 (2) n +A 3 (3) n เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มตน a 0, a 1 และ a 2 จะได a 0 = 2 = A 1 (1) 0 + A 2 (2) 0 +A 3 (3) 0 2 = A 1 + A 2 + A (a) 5 = A 1 + 2A 2 + 3A (b) 15 = A 1 + 4A 2 + 9A (c) แกสมการ (a), (b),(c) จะได A 1 = 1, A 2 = -1, A 3 = 2 ดังนั้นคํ าตอบของความสัมพันธเวียนเกิดคือ a n = 1 (1) n - 1 (2) n +2(3) n a n = n n

32 31 ทฤษฎีบท 2 ให้c 1, c 2,..., c k เป็นจำนวนจริง สมการลักษณะ r k - c 1 r k-1 - c 2 r k c k = 0 มีรากลักษณะที่ซ้ำกัน k รากคือ r 1 = r 2 =...= r k แล้วลำดับ {a n } เป็นผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิด a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 +. c k a n-k ก็ต่อเมื่อ a n = (A 1 + A 2 n+ A 3 n A k n k-1 ) r 1 n สำหรับ n= 1,2,…เมื่อ A 1, A 2,..., A k เป็นจำนวนจริง

33 32 ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิด a n = 6a n a n-2 เมื่อ a 0 = a 1 = 1 วิธีทำ หาสมการลักษณะได้คือ r 2 - 6r + 9 =0 (r –3) 2 = 0 r1= r2= 3 คำตอบทั่วไปคือ a n = A 1 3 n + A 2 n3 n แทนค่าจากค่าเริ่มต้น a 0 = a 1 = 1 จะได้ค่า A 1 = 1, A 2 = -2/3 a n = 3 n - 2n(3 n-1 )

34 33 ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิด a n = - 3a n a n-2 - a n-3 เมื่อ a 0 =1, a 1 = -2, a 1 = -1 วิธีทำ จาก a n = -3a n a n-2 - a n-3 เมื่อ a 0 =1, a 1 = -2, a 1 = -1 เป็นความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเส้นเอกพันธ์อันดับ 3 หาสมการลักษณะได้คือ r 3 + 3r 2 + 3r + 1 =0 (r +1) 3 = 0 r= -1, -1, -1 คำตอบทั่วไปคือ a n = A 1 (-1) n + A 2 n (-1) n + A 3 n 2 (-1) n แทนค่าจากค่าเริ่มต้น a 0 =1, a 1 = -2, a 1 = -1 จะได้ค่า A 1 = (1) -A 1 - A 2 - A 3 = (2) A 1 + 2A 2 + 4A 3 = (3)

35 34 จากสมการ (1) –(3) จะได้ค่า A 1 = 1, A 2 = 3 และ A 3 = -2 ดังนั้นผลเฉลยคือ a n = (1 +3 n -2 n 2 ) (-1) n-1 เมื่อ n  3

36 35 ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating Functions) นิยาม ให้ a 0, a 1, a 2, … เป็นลำดับชุดหนึ่งของจำนวนจริง ฟังก์ชัน G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … หรือ จะเรียกว่าฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function)

37 36 ฟังก์ชันก่อกำเนิด ตัวอย่าง สมมติลำดับคือ 1, 1, 1,… ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับ ที่กำหนดคือ สมมติลำดับคือ 0, 1, 2,3,… ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับ ที่กำหนดคือ

38 37 ฟังก์ชันก่อกำเนิด ตัวอย่าง สมมติลำดับจำกัดคือ {1, 1, 1}และกำหนด S={1,1,1,0,0,0,…} ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับที่ กำหนดคือ

39 38 ฟังก์ชันก่อกำเนิด

40 39 ฟังก์ชันก่อกำเนิด สมมติลำดับ {2 0, 2 1, 2 2,…} ฟังก์ชันก่อกำเนิดจะ เป็น f(x) = x x 2 + … + 2 r x r + … เราสามารถเขียน f(x) ให้อยู่ในรูปที่สั้นกว่าได้โดย

41 40 ฟังก์ชันก่อกำเนิด ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามารถดำเนินการโดยใช้กฎพีชคณิตได้ ดังนี้ ให้ F(x) และ G(x) เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดดังนี้ จะได้ว่า


ดาวน์โหลด ppt 1 Advanced Counting Techniques 2 ความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relations) นิยาม 1 ความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relation) สําหรับลําดับ (sequence)

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google