Euclidean’s Geomery

Euclid’s Elements Book 1: รูปสามเหลี่ยม เส้นตั้งฉาก เส้นขนาน พื้นที่ของรูปเหลี่ยม ต่างๆ และทฤษฏีบทพีทากอรัส Book 2: การแปลงพื้นที่ พีชคณิตเชิงเรขาคณิต Book 3: วงกลม คอร์ด และเส้นสัมผัส Book 4: รูปหลายเหลี่ยม และวงกลม การสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ Book 5: สัดส่วน Book 6: การนำสัดส่วนมาประยุกต์ใช้ Book 7: ทฤษฏีจำนวน

Euclid’s Elements Book 8: สัดส่วนที่ต่อเนื่องกัน

Elementary’s Book 1 ระบบสัจพจน์ (Axiomatic Systems) บทนิยาม (Definitions) สัจพจน์ (Axioms or Postulates) สิ่งที่เห็นจริงแล้ว (Common Notions) ทฤษฎีบท (Theorem)

Axiomatic Systems Undefined term Defined term Axiom or postulate theorem

Postulate Properties Consistency Independent Completeness

Definitions

Definitions

Definitions

Definitions

Postulates

Common Notions

Theorem T-1: To construct an equilateral triangle on a given finite straight-line. พิสูจน์

Theorem T-2: To place a straight-line equal to a given straight-line at a given point (as an extremity). พิสูจน์

Theorem T-3: For two given unequal straight-lines, to cut off from the greater a straight-line equal to the lesser. พิสูจน์

Theorem T-4: If two triangles have two sides equal to two sides, respectively, and have the angle(s) enclosed by the equal straight-lines equal, then they will also have the base equal to the base, and the triangle will be equal to the triangle, and the remaining angles subtended by the equal sides will be equal to the corresponding remaining angles. พิสูจน์

กำหนดให้ ABC และ DEF เป็นสามเหลี่ยมสอง รูปซึ่ง AB = DE, AC = DF, BAC = EDF

ต้องการ พิสูจน์ว่า  ABC,  DEF เท่ากันทุกประการ พิสูจน์โดยการยก รูปทับกัน A D B C E F ต้องการ พิสูจน์ว่า  ABC,  DEF เท่ากันทุกประการ

พิสูจน์ ยก  ABC ทับ  DEF โดยให้จุด A ทับจุด D และ ให้แขนของมุม AB ทับไปตามแขนของมุม DE เพราะว่า AB = DE เพราะฉะนั้น จุด B ทับจุด E เพราะว่า AB ทับ DE และ BAC = EDF ดังนั้น AC จะทับไปตาม DF

แต่ เพราะว่า AC = DF เพราะฉะนั้น จุด C ทับจุด F เพราะว่า จุด B ทับจุด E และ จุด C ทับจุด F ดังนั้น จะได้ว่าด้าน BC ทับด้าน EF ดังนั้น  ABC ทับ  DEF สนิท จะได้  ABC เท่ากันทุกประการกับ  DEF  แทนด้วย  ABC   DEF

Theorem T-5: For isosceles triangles, the angles at the base are equal to one another, and if the equal sides are produced then the angles under the base will be equal to one another. พิสูจน์

ทฤษฎีบท มุมที่ฐานของสามเหลี่ยม หน้าจั่วเท่ากัน A พิสูจน์โดย พับรูป B C D

การสร้างเพื่อการพิสูจน์โดยการลาก เส้น AD นั้น เส้น AD ควรเป็น (1) เส้นตั้งฉาก หรือ (2) เส้นแบ่งครึ่งมุมยอด หรือ (3) เส้นแบ่งครึ่งฐาน คำตอบ คือ เส้นแบ่งครึ่งมุมยอด

กำหนดให้ กำหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้าน AB = AC ต้องการ พิสูจน์ว่า  ABC =  ACB พิสูจน์ ลาก AD แบ่งครึ่ง BACพบ BC ที่จุด D พับ  ABC ตามแนวเส้น AD เพราะว่า  BAD =  CAD ดังนั้น ด้าน AB ทับด้าน AC

A B C D

A B C D

แต่ AB = AC ดังนั้น จุด B ทับจุด C และผลตามมา คือ DB ทับ DC ดังนั้น จะได้ว่า ABD ทับ ACD นั่นคือ ABC = ACB

กำหนดให้ จากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC และ AB = AC ให้ BD และ CE เป็นส่วนของเส้นตรงที่ต่อไปจาก AB และ AC สิ่งที่จะต้องพิสูจน์ คือ m(ABC) = m(ACB) และ m(CBD) = m(BCE) สร้างเพื่อพิสูจน์ : ให้ F เป็นจุดใดๆ บน BD ตัด AE ที่จุด G ให้ได้ AG = AF ลาก FC และ GB

พิสูจน์

พิสูจน์ เพราะว่า AF = AG และ AB = AC และ FAC = GAB (จากสิ่งที่กำหนดให้ และการสร้าง) จะได้ FC = GB, ACF = ABG และ AFC = AGB (ทบ.4) เพราะ AF – AB = AG – AC (C-3) จะได้ว่า BF = CG เนื่องจาก BF = CG และ FC = GB และ BFC = CGB ดังนั้น BFC  CGB (ทบ.4) จะได้ FBC = GCB และ BCF = CBG (ทบ.4) และจะได้ ACF – BCF = ABG – CBG (C-3) นั่นคือ ABC = ACB

Theorem T-6: If a triangle has two angles equal to one another then the sides subtending the equal angles will also be equal to one another. พิสูจน์

กำหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยม ที่มี ABC = ACB D B C กำหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยม ที่มี ABC = ACB ต้องการ พิสูจน์ว่า AC = AB

พิสูจน์ สมมติ AC  AB ให้ AB ยาวกว่า AC ตัด AB ที่จุด D ทำให้ BD = AC ต่อ DC พิจารณา  DBC และ  ACB เพราะว่า (1) DB = AC (2) BC เป็นด้านร่วม (3) DBC = ACB จะได้ว่า  DBC   ACB

ดังนั้น  DBC และ  ACB มีพื้นที่เท่ากัน เกิดข้อขัดแย้ง เพราะว่า พื้นที่ส่วนหนึ่งของทั้งหมด  พื้นที่ทั้งหมด ดังนั้น AC = AB

Theorem T-7:On the same straight-line, two other straight-lines equal, respectively, to two (given) straight-lines (which meet) cannot be constructed (meeting) at a different point on the same side (of the straight-line), but having the same ends as the given straight-lines.

Theorem พิสูจน์

Theorem T-8:If two triangles have two sides equal to two sides, respectively, and also have the base equal to the base, then they will also have equal the angles encompassed by the equal straight-lines.

Theorem พิสูจน์

Theorem T-9: To cut a given rectilinear angle in half. พิสูจน์

Theorem T-10: To cut a given finite straight-line in half. พิสูจน์

Theorem T-11: To draw a straight-line at right-angles to a given straight-line from a given point on it. พิสูจน์

Theorem T-12: To draw a straight-line perpendicular to a given infinite straight-line from a given point which is not on it. พิสูจน์

Theorem T-13: If a straight-line stood on a(nother) straight-line makes angles, it will certainly either make two rightangles, or (angles whose sum is) equal to two rightangles.

Theorem พิสูจน์

Theorem T-14: If two straight-lines, not lying on the same side, make adjacent angles (whose sum is) equal to two right-angles with some straight-line, at a point on it, then the two straight-lines will be straight-on (with respect) to one another.

Theorem พิสูจน์

Theorem T-15: If two straight-lines cut one another then they make the vertically opposite angles equal to one another. พิสูจน์