คะแนนมาตรฐาน และ โค้งปกติ คะแนนมาตรฐาน ( Standard score ) หมายถึงการที่เรากำหนดให้คะแนนในมาตราหรือหน่วยใดหน่วยหนึ่งเป็นหน่วยกลาง ที่สามารถแปลงคะแนนในหน่วยอื่น ๆ มาเป็นคะแนนมาตรฐานได้เสมอ ประโยชน์ของคะแนนมาตรฐานใช้เพื่อเป็นหน่วยกลางที่ให้คะแนนจากหน่วยอื่นแปลงมาเป็นหน่วยมาตรฐาน เพื่อใช้เปรียบเทียบกันได้

ตัวอย่างคะแนนมาตรฐาน ตัวอย่าง เงินดอลลาร์สหรัฐอเมริกา ( US Dollar หรือ $ Dallar ) เป็นหน่วยของเงินตรามาตรฐานของโลก ที่จะใช้เปรียบเทียบเงินตราของประเทศต่าง ๆ ในโลก เช่น อยากทราบว่า เงินไทย ๒๕๐๐ บาท กับ เงินของประเทศตองโกยาจำนวน ๓๐๐๐๐ ซู่ซ่า จำนวนไหนมากกว่ากัน วิธีการต้องแปลงเงินไทยและเงินตองโกยา เป็นเงินดอลลาร์สหรัฐก่อน แล้วจะสามารถเปรียบเทียบกันได้

การแปลงคะแนนทั่วไปเป็นคะแนนมาตรฐาน z = x – x SD เมื่อ Z เป็นสัญลักษณ์แทนคะแนนมาตรฐาน x เป็นคะแนนแต่ละตัว x เป็นค่าเฉลี่ยของคะแนนกลุ่มนั้น SD เป็นค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนกลุ่มนั้น

คะแนนมาตรฐาน จาก z = x – x SD ค่าเฉลี่ยของ z = 0 ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 1

โค้งรูประฆังคว่ำ

โค้งรูประฆังคว่ำ

โค้งรูประฆังคว่ำ

โค้งปกติ

โค้งปกติ (Normal Curve)

คุณสมบัติของโค้งปกติ 1. ค่าของคะแนนเฉลี่ย ฐานนิยม และมัธยฐาน จะเท่ากัน ซึ่งเป็นจุดบนแกน X ที่เกิดจากการลากเส้นตั้งฉาก จากจุดที่โค้งสูงที่สุดมายังแกน X

ลักษณะของโค้งปกติ 2. ลักษณะของโค้งเป็นระฆังคว่ำ (bell shaped) 3. เส้นแบ่งครึ่งโค้งอยู่ที่จุดที่เป็นค่าเฉลี่ยของข้อมูล และเส้นนี้ทำให้เส้นโค้งที่อยู่สองข้างมีลักษณะ สมมาตร (symmetry) .

ลักษณะของโค้งปกติ . 4. เส้นปลายทั้งสองข้างของเส้นโค้งจะค่อย ๆ ต่ำลง แต่จะไม่จรดกับแกนนอน 5. พื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1  

ลักษณะของโค้งปกติ . 5. พื้นที่ใต้โค้งเป็นดังนี้ ประมาณ 68.26% อยู่ระหว่าง -1S ถึง +1S ประมาณ 95.44% อยู่ระหว่าง -2S ถึง +2S และ ประมาณ 99.72% อยู่ระหว่าง -3S ถึง +3S  

ลักษณะของโค้งปกติ . การหาพื้นที่ใต้โค้งปกติ ดูการหาพื้นที่ใต้โค้งในตารางที่ 2 หน้าที่ 285  

การแปลงข้อมูลเป็นคะแนน z ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงปกติ และทราบค่า µ และ σ สามารถเปลี่ยนโดยใช้สูตร z = x – µ σ

การแปลงข้อมูลเป็นคะแนน z ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงไม่ปกติ จะแปลงทันทีไม่ได้ เพราะถ้าแปลงแล้วก็ไม่ใช่การแจกแจงปกติ ก็นำไปใช้ไม่ได้อยู่ดี กรณีนี้เราจะใช้ทฤษฎีลิมิตสู่ส่วนกลางประยุกต์ใช้ ( Central limit Theorem )

ทฤษฎีลิมิตสู่ส่วนกลาง ถ้าสุ่มตัวอย่างขนาด n ( x1,x2,x3,…xn ) จากประชากรใด ๆ ที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ µ และค่าความ แปรปรวนเท่ากับ σ² แล้ว ถ้าตัวอย่างมีขนาดใหญ่แล้ว ค่าเฉลี่ย x จะมีการแจกแจงเข้าสู่การแจกแจงแบบปกติ ที่มีค่าเฉลี่ย µ ค่าแปรปรวน σ²/n หรือ ( x - µ ) มีการแจกแจงโดยประมาณแบบปกติ σ/√n มาตรฐาน

ดังนั้น ดังนั้น z = ( x - µ ) มีการแจกแจง σ/√n แบบปกติ เราสามารถหาพื้นที่ใต้โค้งได้ และ นำไปทดสอบสมมุติฐานทางสถิติได้ ในกรณี ที่มีการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยระหว่างหนึ่งกลุ่ม หรือสองกลุ่มเท่านั้น

การวิเคราะห์ตัวแปร ๑ ตัว ตัวแปร ๑ ตัว หมายถึงประชากรที่เราศึกษานั้น เราสนใจที่จะศึกษาตัวแปรเพียงหนึ่งตัว ตัวแปรตัวเดียวนั้นอาจจะมีมาตราวัดเป็นแบบ นามบัญญัติ แบบอันดับ แบบช่วง หรือแบบอัตราส่วน ตัวแปรที่มีมาตราวัดต่างกัน จะใช้สถิติวิเคราะห์ที่ ต่างกัน

การทดสอบสมมุติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยตัวแปรเชิงปริมาณ ๑ ตัว ตัวแปรเชิงปริมาณ ข้อมูลที่ศึกษาจะมาตราวัดจะเป็น แบบช่วงหรือแบบอัตราส่วน การที่มีตัวแปรเพียงหนึ่งตัว โดยปกติเราต้องมีการศึกษา เปรียบเทียบกับค่ามาตรฐานหรือค่าใดค่าหนึ่งที่เราต้องการ ค่ามาตรฐานคือค่าเฉลี่ยของประชากรนั่นเอง

ขอขอบคุณ