คณิตศาสตร์พื้นฐาน ค 33101 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 โดย ครูชำนาญ ยันต์ทอง โรงเรียนวังไกลกังวล ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ค 33101 คณิตศาสตร์พื้นฐาน

2.4) ความน่าจะเป็นกับการตัดสินใจ หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ความน่าจะเป็น 2.4) ความน่าจะเป็นกับการตัดสินใจ

แม้ว่าความน่าจะเป็น จะช่วยให้เรารู้ว่าเหตุการณ์ที่พิจารณาอยู่นั้น มีโอกาสเกิดขึ้น มากน้อยเพียงใด แต่บางเหตุการณ์ ความรู้เรื่องความน่าจะเป็นเพียงอย่างเดียวอาจไม่เพียงพอ ที่จะช่วยเราตัดสินใจได้ จำเป็นจะต้องหาองค์ประกอบอื่นมาช่วยในการตัดสินใจด้วย

ซึ่งองค์ประกอบหนึ่ง คือ ผลตอบแทน ของการเกิดเหตุการณ์ นั้น ในทางสถิติได้นำ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์นั้น มาพิจารณาประกอบกันเป็น ค่าคาดหมาย ซึ่งหาได้จาก

ค่าคาดหมาย = นั่นคือ ค่าคาดหมาย = ผลรวมของผลคูณระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กับผลตอบแทนของเหตุการณ์ ค่าคาดหมาย = นั่นคือ (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่ได้ × ผลตอบแทนที่ได้) + (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เสีย × ผลตอบแทนที่เสีย) ค่าคาดหมาย =

หมายเหตุ ผลตอบแทนของเหตุการณ์ มี 2 อย่าง คือ 1) ผลตอบแทนที่ได้ 2) ผลตอบแทนที่เสีย ตัวอย่าง เช่น ในการเล่นแทงหัว, ก้อย ถ้าออกหัวอ้อจะได้เงิน 1 บาท

แต่ถ้าออกก้อย อ้อจะต้องเสียเงิน 2 บาท เงิน 1 บาท ที่อ้อจะได้รับเป็นผลตอบแทน ที่ได้ ซึ่งแทนด้วย +1 และเงิน 2 บาท ที่อ้อจะต้องเสียเป็นผลตอบแทนที่เสีย ซึ่งแทนด้วย -2

ให้นักเรียนพิจารณาการหาค่าคาดหมายของการพนันโยนเหรียญ ต่อไปนี้ นาย ก และ นาย ข เล่นพนันโยนเหรียญกัน โดยมีกติกาว่า ให้นาย ข โยนเหรียญ 2 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง

ถ้าเหรียญที่โยนออกหัวทั้งคู่แล้ว นาย ก จะจ่ายเงินให้ นาย ข 2 บาท แต่ถ้าเหรียญออกเป็นอย่างอื่น นาย ข ต้องจ่ายเงินให้ นาย ก 1 บาท ถ้ามีการพนันโยนเหรียญกันแบบนี้ไปเรื่อย ๆ หลาย ๆ ครั้ง นักเรียนคิดว่า นาย ก หรือ นาย ข จะได้เงินมากกว่ากัน จงอธิบาย

ในการตอบคำถามข้างต้น เราอาจใช้ ค่าคาดหมายมาช่วยในการพิจารณา ดังนี้ ในการโยนเหรียญบาทที่เที่ยงตรง 2 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้น มี 4 แบบ คือ HH, TT, HT และ TH

= = 1 4 3 4 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่เหรียญออกหัวทั้งคู่ ที่เหรียญไม่ออกหัวทั้งคู่ 3 4 =

เนื่องจาก ถ้าเหรียญออก HH (ออกหัวทั้งคู่) นาย ก จะต้องจ่ายเงินให้นาย ข 2 บาท ดังนั้น ผลตอบแทนของเหตุการณ์ที่ได้ คือ นาย ข ได้เงิน 2 บาท จึงแทนด้วย +2 และในการโยนแต่ละครั้ง ถ้าเหรียญไม่ออก HH นาย ข จะต้องจ่ายเงินให้ นาย ก 1 บาท

ดังนั้น ผลตอบแทนของเหตุการณ์ที่เสีย คือ นาย ข เสียเงิน 1 บาท จึงแทนด้วย -1 การพนันโยนเหรียญหนึ่งครั้ง ค่าคาดหมาย ที่ นาย ข จะได้เงินเป็นดังนี้

= ค่าคาดหมาย (ผลตอบแทนที่ได้ × ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์ที่ออกหัวทั้งคู่) + (ผลตอบแทนที่เสีย × ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์ที่ไม่ออกหัวทั้งคู่)

+2  1 4 - 1  3 4 = + ค่าคาดหมาย 1 2 1 2 - = + - 1 4 = - 0.25 =

นั่นคือ ค่าคาดหมาย ที่นาย ข จะได้เงิน เท่ากับ -0.25 บาท แสดงว่า ถ้ามีการพนันโยนเหรียญกันแบบนี้ไปเรื่อย ๆ หลาย ๆ ครั้ง โดยเฉลี่ย นาย ข จะเสียเงินครั้งละ 0.25 บาท กล่าวได้ว่า นาย ก จะได้เงินมากกว่า นาย ข

หมายเหตุ ถ้าเปลี่ยนกติกาใหม่ คือ ถ้าเหรียญที่โยนออกหัวทั้งคู่แล้ว นาย ก จะจ่ายเงินให้ นาย ข 3 บาท แต่ถ้าเหรียญออกเป็นอย่างอื่น นาย ข ต้องจ่ายเงินให้ นาย ก 1 บาท ในกรณีนี้ การพนันโยนเหรียญหนึ่งครั้ง ค่าคาดหมาย ที่ นาย ข จะได้เปลี่ยนแปลงไป

นาย ข จะได้ค่าคาดหมาย เป็นเงิน 0 บาท (การคำนวณหาค่าคาดหมายโดยวิธีเดียวกัน) แสดงว่า ถ้ามีการพนันโยนเหรียญกันแบบนี้ไปเรื่อย ๆ หลาย ๆ ครั้ง ทั้ง นาย ก และ นาย ข จะเสมอตัว ไม่มีใครได้เงินมากกว่ากัน