Set Operations การกระทำระหว่างเซต พิศิษฐ์ นาคใจ

ถากำหนดเอกภพสัมพัทธ์ U และกำหนดเซต A และ B และเราสามารถนำเซต A , B และ U มาสร้างให้เกิดเซตใหม่ ได้ โดยใช้การดำเนินการเบื้องต้น ดังนี้ การกระทำของเซต มี 4 ชนิด คือ 1. ยูเนียน (Union) 2. อินเตอร์เซกชั่น (Intersection) 3. ผลต่าง (Difference) 4. คอมพลีเมนต์

ยูเนียน นิยามบท ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ ยูเนียน (Union) ของ A กับ B เขียนแทนด้วย A  B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ใน A หรืออยู่ใน B นั่นคือ A  B = {x | x  A v x  B}

แผนภาพ U B A A B U B A C U จากภาพ แสดง การยูเนียนของ set A และ set B ซึ่งจะทำการถูกลงสีภายในวงกลมของ A หรือวงกลม B พื้นที่ที่ถูกลงสีคือผลของการยูเนียน A และ B

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = {a, b, c, e, f } และ B = { b, d, r, s } จงหา A  B กำหนดให้ A = {1, 3, 5} , B = {1, 2, 3} และ C = {1, 2, 3, 5} จงหา A  B  C กำหนดให้ A = {x | x  จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว} , B = {x | x  จำนวนที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัว} จงหา A  B

อินเตอร์เซกชั่น นิยามบท ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ อินเตอร์เซกซั่น (Intersection) ของ A กับ B เขียนแทนด้วย A  B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ทั้งใน A และ B นั่นคือ A  B = {x | x  A ^ x  B}

แผนภาพ U B A C จากภาพ แสดง การอินเตอร์เซกชั่นของ set A และ set B ซึ่งพื้นที่ที่จะทำการถูกลงสีเมื่อสมาชิกอยู่ทั้งวงกลมของ A และวงกลม B พื้นที่ที่ถูกลงสีคือผลของการอินเตอร์เซกชั่น A และ B

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = {a, b, c, e, f } และ B = { b, d, r, s } จงหา A  B กำหนดให้ A = {1, 3, 5} , B = {1, 2, 3} และ C = {1, 2, 3, 5} จงหา A  B  C กำหนดให้ A = {x | x  จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว} , B = {x | x  จำนวนที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัว} จงหา A  B

ตัวอย่างต่อ กำหนดให้ A = {0,1,2,3}, B = {0,1,2,3,4} และ C ={0} จงหา A  B , A  C , B  C กำหนดให้ A = {2,3,5,7} และ B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,…} จงหา A B กำหนดให้ A = {0,1,2,3} และ B={4,5} จงหา A B

ผลต่าง (Difference) นิยามบท ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ ผลต่างของ A และ B เขียนแทนด้วย A- Bคือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ใน A แต่ไม่อยู่ใน B นั่นคือ A- B = {x | x  A และ x  B}

แผนภาพ U A B จากภาพ แสดงการหาผลต่างของ set A และ set B ซึ่งพื้นที่ที่จะทำการถูกลงสีเมื่อสมาชิกอยู่วงกลมของ A แต่ไม่อยู่ในวงกลม B พื้นที่ที่ถูกลงสีคือผลของการหาผลต่างของ set A และ set B

ตัวอย่าง กำหนดให้ U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k } A = {a, b, c, e, f } และ B = { b, e, d, r, s } จงหา A’ , A – B , B - A

คอมพลีเมนต์ นิยามบท ให้ A เป็นเซตใด ๆ คอมพลีเมนต์ ของเซต A (Complement of A) เขียนแทนด้วย A' หรือ A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ U แต่ไม่อยู่ใน A นั่นคือ A = {x | x  U และ x  A} หรือ A = {x | x  A}

แผนภาพ U A B จากภาพ แสดงการคอมพลีเมนต์ของ set A ซึ่งพื้นที่ที่จะทำการถูกลงสีคือพื้นที่ที่ไม่ได้อยู่ทั้งวงกลมของ A พื้นที่ที่ถูกลงสีคือผลของการคอมพลีเมนต์ของ A

ตัวอย่าง ให้ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0,2} จงหา A’ ให้ U = {0, 1, 2, 3, 4} , A={0, 2, 4} และ B = {3, 4} จงหา (A  B)’ ให้ U = {x | x  จำนวนจริง} C={x | x  จำนวนจริง และ x เป็นจำนวนคู่} จงหา C’

คุณสมบัติอื่นๆ ของ set เมื่อ Set มีการถูกกระทำด้วย Operation ต่างๆ แล้วทำให้เกิด คุณบัติอื่นๆ ของ set ตามมาดังนี้ 1. Disjoint 2. symmetric difference

คุณสมบัติอื่นๆ ของ set Disjoint หมายถึงการที่ set A และ B ทำการ Intersection กันแล้วเกิด Set ว่างเราจะเรียก setA และ B เป็น Disjoint set กัน symmetric difference หมายถึงเซตของสมาชิกทั้งหมดของ A หรือ B แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A และ B เขียนแทนด้วย เขียนแทนด้วย A  B A B U

เอกลักษณ์ ของ Set Identity Name A   = A A  U = A Identity Laws A  U= U A   =  Domination Laws A  A = A A  A = A Idempotent laws (A’’) = A Complementation laws A  B = B  A A  B = B  A Commutative laws

เอกลักษณ์ ของ Set Identity Name A  (B  C) = A  (B  C) Associative laws A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Distributive laws A  B = B  A A  B = B  A De Morgan’s laws

Proof De Morgan’s laws A  B = B  A จงพิสูจน์ กำหนดให้ x  A  B ……

ตัวอย่าง จงพิสูจน์ A  B  C = (C  B)  A Solution A  B  C = A  (B  C) = A  (B  C) = (B  C)  A = (C  B)  A

การหาจำนวนสมาชิกของเซตโดยหลักการรวม (The Addition Principle) ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดใน U ซึ่ง A และ B ไม่มีส่วนร่วมกัน (disjoint set) จำนวนสมาชิก AB คือ |AB| = |A| + |B| ถ้า A และ B มีสมาชิกร่วมกันดังภาพ AB ผลรวมของสมาชิก |A|+|B| จะเป็นการนับสมาชิกที่เหมือนกันรวมเข้าไปด้วย ดังนั้นจึงต้องทำการลบ |AB| เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง ทฤษฎีนี้เรียกว่าหลักการรวม หรือ หลักการรวม - หลักการแยก A B U 1 2 3

ทฤษฎีบท 1 ดังนั้น ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัด ดังนั้น AB และ AB เป็นเซตจำกัด แล้ว กำหนดให้ A = { a, b, c, d, e } และ B = { c, e, f, h, k, m } จะได้ว่า วิธีทำ AB = { a, b, c, d, e, f, h, k, m } AB = { c, e } ดังนั้น |A| = 5 , |B| = 6 , |AB| = 9 และ |AB| = 2 ซึ่ง |AB| = |A| + |B| - |AB| = 5 + 6 - 2 = 9 ตามทฤษฎีบท |A  B| = |A| + |B| - |A  B|

ตัวอย่างที่ จากผลการสอบของนักเรียนห้องหนึ่งมีจำนวน 57 คน พบว่ามีนักเรียนสอบคณิตศาสตร์ได้ 32 คน มีนักเรียนสอบภาษาอังกฤษได้ 35 คน และมีนักเรียนสอบได้ทั้งสองวิชา 10 คน จง จำนวนนักเรียนที่สอบคณิตศาสตร์ได้ แต่สอบภาษอังกฤษตก จำนวนนักเรียนที่สอบภาษาอังกฤษได้ แต่คณิตศาสตร์ตก จำนวนนักเรียนที่สอบตกทั้งสองวิชา

|A  B  C| = |A| + |B| + |C| - |AB| - |AC| - |BC| + |ABC| ทฤษฎีบท 2 ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัด ดังนั้น ABC เป็นเซตจำกัด แล้ว |A  B  C| = |A| + |B| + |C| - |AB| - |AC| - |BC| + |ABC|

ตัวอย่าง จากการสำรวจการใช้ผงซักฟอกของแม่บ้านพวว่า แม้บ้านที่ใช้ผงซักฟอกยี่ห้อ A,B,C จำนวน 30% 40% และ 50% ตามลำดับ โดยที่แม่บ้านที่ใช้ผงซักฟอกยี่ห้อ A และ B 10% ใช้ยี่ห้อ A และ C 15% ใช้ยี่ห้อ B และ C 20% ใช้ทั้ง A,B,C มี 3 % อยากทราบว่า แม่บ้านที่ใช้ผงซักฟอก A,B หรือ C อย่างน้อย 1 ยี่ห้อมีกี่เปอร์เซ็นต์ แม่บ้านที่ใช้ผงซักฟอกยี่ห้ออื่นที่ไม่ใช่ A,B หรือ C มีกี่เปอร์เซ็น

Quiz ข้อใดต่อไปนี้กล่าวถูกต้อง A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  B = {x | x  A หรือ x  B} A = {x | x  A} U   =  A  B และ B  A แล้ว A-B = B-A