การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่สิ่งที่ไม่แตกต่างกัน ค32214 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 4
ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า ‘odd’ วิธีทำ เนื่องจาก ‘odd’ มีตัวอักษร d ซ้ำกัน 2 ตัว จึงจัดเรียง ได้ 3 แบบ ดังนี้ odd, dod, ddo _________(1) สมมติว่า ‘d’ ทั้งสองตัวนั้นต่างกัน โดยแทนด้วย d กับ D จะ สามารถจัดเรียงตัวอักษรได้ 6 แบบดังนี้ odD, doD, dDo, oDd, Dod, Ddo จะเห็นว่าวิธีที่ 1 เป็นครึ่งหนึ่งของวิธีที่ 2
วิธีเรียงสับเปลี่ยนของที่ไม่แตกต่างกัน ให้ S เป็นสิ่งของ k สิ่งแบ่งเป็นของที่ซ้ำกัน n ประเภท โดยที่ n1 เป็นจำนวนของสิ่งของที่ซ้ำกันประเภทที่ 1 n2 เป็นจำนวนของสิ่งของที่ซ้ำกันประเภทที่ 2 … nk เป็นจำนวนของสิ่งของที่ซ้ำกันประเภทที่ k จะได้จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนคือ n! n1!n2!...nk!
ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า ‘banana’ กลุ่มตัวอักษร c มี 2 ตัว จะได้จำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรทั้ง 6 ตัว คือ 6! = 6•5•4•3! = 6•5•4 = 60 วิธี 1!3!2! 1!3!2! 2
ตัวอย่าง มีเหรียญทั้งหมด 12 เหรียญ เป็นเหรียญสิบ 2 เหรียญ เหรียญห้า 3 เหรียญ เหรียญสอง1บาทเหรียญ และเหรียญ บาท6เหรียญ จงหาวิธีการเรียงเหรียญทั้ง 12 เหรียญ วิธีทำ จะได้จำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเหรียญทั้ง 12 เหรียญ คือ 12! = 12•11•10•9•8•7•6! 2!3!1!6! 2!3!1!6! = 12•11•10•9•8•7 = 55,440 วิธี 12
กฎการเลือกของ s ครั้งจาก t อย่าง C(s+t-1,s) หรือ (s+t-1)! (t-1)!s!
ตัวอย่าง ต้องการแคะเหรียญจากกระปุก 5 เหรียญโดยในกระปุกมี เหรียญ 3 ชนิดคือเหรียญบาท เหรียญห้าและเหรียญสิบ เหรียญแต่ละชนิดมีมากกว่า 5 เหรียญ จงหาวิธีเลือกเหรียญที่ แตกต่างกัน วิธีทำ ในที่นี้ s=5 และ t=3 จากหลักการเลือกของ = (s+t-1)! = (5+3-1)! (t-1)!s! 2!5! = 7! = 21 วิธี 2!5!
ตัวอย่าง ร้านขนมโรงเรียนมีคุ้กกี้ต่างกันอยู่ 4 ชนิด จงหาวิธีจัดคุ้กกี้ ต่างๆกัน 12 ชิ้น ลงในกล่อง วิธีทำ ในที่นี้ s=12 และ t=4 จากหลักการเลือกของ = (s+t-1)! = (12+4-1)! (t-1)!s! 3!12! = 15! = 455 วิธี 3!12!