ทรานสโพสเมตริกซ์ (Transpose of Matrix) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเมตริกซ์ การดำเนินการกับเมตริกซ์ ทรานสโพสเมตริกซ์ (Transpose of Matrix) ดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) อินเวอร์สเมตริกซ์ (Inverse Matrix) การแก้สมการเชิงเส้นด้วยเมตริกซ์

Matrix เมตริกซ์ คือชุดข้อมูลที่จัดเก็บตามแนว แถว (Row) และแนวหลัก (Column) ตัวอย่างเช่น มิติ (Dimension) ของเมตริกซ์ คือจำนวนแถว และหลักทั้งหมดของเมตริกซ์ เช่น 2x3, 1x3 เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix) เมตริกซ์ที่มี มิติจำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลัก n x n

การดำเนินการกับเมตริกซ์ การคูณเมตริกซ์ด้วยค่าคงที่ การบวกและการลบของเมตริกซ์

การดำเนินการกับเมตริกซ์ (ต่อ) การคูณเมตริกซ์

การดำเนินการกับเมตริกซ์ (ต่อ) การคูณเมตริกซ์

การดำเนินการกับเมตริกซ์ (ต่อ) การคูณเมตริกซ์

การดำเนินการกับเมตริกซ์ (ต่อ) การคูณเมตริกซ์

การทรานสโพสของเมตริกซ์ (Transpose of Matrix) ทรานสโพสของเมตริกซ์ A เขียนแทนด้วย At เป็นนำค่าในแนวแถวไปอยู่ที่คอลัมน์ ตัวอย่าง เช่น เมตริกซ์สมมาตร คือเมตริกซ์ที่ At = A เช่น

การทรานสโพสของเมตริกซ์ (Transpose of Matrix) ทรานสโพสของเมตริกซ์ A เขียนแทนด้วย At เป็นนำค่าในแนวแถวไปอยู่ที่คอลัมน์ ตัวอย่าง เช่น เมตริกซ์สมมาตร คือเมตริกซ์ที่ At = A เช่น

ดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ A คือ det(A) หรือ | A | ต้องเป็นจัตุรัสเมตริกซ์เท่านั้นจึงหา det(A) ได้ ถ้าเมตริกซ์ A มี det(A) = 0 เรียกว่าเมตริกซ์เอกฐาน (Singular Matrix) ถ้าเมตริกซ์ A มี det(A)  0 เรียกว่าเมตริกซ์ไม่เอกฐาน (Non-singular Matrix) เมตริกซ์มิติ 1 x 1 ถ้า A = [a] , a เป็นจานวนจริง แล้ว det(A) = a เมตริกซ์มิติ 2 x 2 ถ้า A = โดย a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง แล้ว det(A) = ad – bc

ดีเทอร์มิแนนท์ (ต่อ) เมตริกซ์มิติ n x n เช่น 3 x 3 วิธีการเติมหลัก ตัวอย่าง A = เติม 2 หลักแรกดังนี้ : det(A) = 1(5)(9) + 2(6)(7) + 3(4)(8) - 7(5)(3) - 8(6)(1) - 9(4)(2) det(A) = 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 0

ดีเทอร์มิแนนท์ (ต่อ) เมตริกซ์มิติ n x n เช่น 3 x 3 วิธีการเติมหลัก ตัวอย่าง A = เติม 2 หลักแรกดังนี้ : det(A) = 1(5)(9) + 2(6)(7) + 3(4)(8) - 7(5)(3) - 8(6)(1) - 9(4)(2) det(A) = 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 0

ดีเทอร์มิแนนท์ (ต่อ) 2. วิธีโคแฟคเตอร์ 2. วิธีโคแฟคเตอร์ -ไมเนอร์ (Minor) ค่าของสมาชิกที่แถว i หลัก j ซึ่งเท่ากับดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ที่เกิดจากการตัดแถว i และหลัก j - โคแฟกเตอร์ (Cofactor) เครื่องหมาย +/-ว่าของไมเนอร์ หาจาก (-1)i+j ตัวอย่าง A =

ดีเทอร์มิแนนท์ (ต่อ) การหาค่า det(A) ได้ดังนี้ det(A) = c11a11 + c12a12 + c13a13 det(A) = (–3)1 + (6)2 + (–3)3 = –3 + 12 – 9 = 0 หรือ det(A) = c21a21 + c22a22 + c23a23 = (6)4 + (–12)5 + (6)6 = 24 – 60 + 36 = 0 หรือ det(A) = c31a31 + c32a32 + c33a33 = (–3)7 + (6)8 + (–3)9 = –21 + 48 – 27 = 0 det(A) นั้น ไม่ว่าจะใช้โคแฟคเตอร์จากแถวใดหรือหลักใดจะได้ค่าเท่ากัน

อินเวอร์สของเมตริกซ์ (Inverse Matrix) ตัวผกผันการคูณของเมตริกซ์ A คือ A-1 A A-1 = I = A-1A , I เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) - อินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 1 x 1 A = [3] จะได้ A-1 = อินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 2 x 2 A = แล้ว A-1 =

อินเวอร์สของเมตริกซ์ (ต่อ) - อินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ n x n (n  3) หาอินเวอร์สโดยใช้แอดจอนท์เมตริกซ์ (Adj : Adjoint Matrix) กำหนดให้ cij เป็นโคแฟกเตอร์ที่ i และ j จะได้ Adj (A) = [cij]tn x n อินเวอร์สของเมตริกซ์ A-1 =

อินเวอร์สของเมตริกซ์ (ต่อ) กำหนดให้ A = หาโคแฟกเตอร์ทุกค่า หา det (A) = 1 (2) + 2 (2) + 3 (– 3) = 2 + 4 – 9 = – 3 เมตริกซ์ของโคแฟกเตอร์ =

อินเวอร์สของเมตริกซ์ (ต่อ) แอดจอยท์เมตริกซ์ = ดังนั้น A-1 = ** การหาอินเวอร์สเมตริกซ์ ยังมีอีกหลายวิธีสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จาก seashore.buu.ac.th/~phong

การแก้สมการเชิงเส้นด้วยเมตริกซ์ จากระบบสมการ 2x – y + z = 3 x + y + z = 6 3x + 2y – 2z = 1 เขียนเป็นระบบเมตริกซ์ได้ดังนี้ : เมตริกซ์สัมประสิทธิ์ : A = เมตริกซ์ของตัวแปร : X = เมตริกซ์ของค่าคงที่ : B =

การแก้สมการเชิงเส้นด้วยเมตริกซ์(ต่อ) จากระบบสมการของเมตริกซ์ AX = B หาอิน เวอร์ส A-1 แล้วนำมาคูณตลอดจะได้ A-1(AX) = A-1B นั่นคือ (A-1A)X = A-1B IX = A-1B หรือ X = A-1B ซึ่งก็คือคำตอบ

การแก้สมการเชิงเส้นด้วยเมตริกซ์(ต่อ) การบ้าน กำหนดให้ A เป็นเมตริกซ์ดังตัวอย่างข้างต้น และสามารถหา A-1 = จงหาค่าของ x, y, z

THE END phong@buu.ac.th