การหาผลคูณและผลหารของเลขยกกำลัง พิจารณาสมบัติการคูณและการหารเลขยกกำลังต่อไปนี้

พิจารณาการคูณเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียวกันต่อไปนี้ เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ m และ n แทนจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า am × an = am+n พิจารณาการคูณเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียวกันต่อไปนี้

1) 72×73 72×73 = (7×7) (7×7×7) = 75 ดังนั้น 72×73 = 72+3 = 75

2) 132×169 132×169 = (13×13) (13×13) = 134 ดังนั้น 132×169 = 134

3) (2.5)7×(-2.5)2 (2.5)7×(-2.5)2 = (2.5)7×(2.5)2 = (2.5)7+2 = (2.5)9 ดังนั้น (2.5)7×(-2.5)2 = (2.5)9

4) (0.5)2 (0.5)2 = (0.5)2×(0.5)3 = (0.5)2+3 = (0.5)5 (0.5)2 ดังนั้น = (0.5)5

สรุปสั้นได้ว่า เลขยกกลังที่มีฐานเหมือนกันให้เอาเลขชี้กำลังบวกกัน

เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ m และ n แทน จำนวนเต็มบวก จะได้ว่า (am)n = am×n การคูณเลขยกกำลังที่มีกำลังซ้อนกัน

พิจารณาการตัวอย่างต่อไปนี้ 1) (92)5 วิธีทำ (92)5 = 92×5 = 910 ดังนั้น (92)5 = 910

2) (36)3 วิธีทำ (36)3 = 36×3 = 318 ดังนั้น (36)3 = 318

สรุปสั้นได้ว่า เลขยกกลังที่มีเลขชี้กำลังซ้อนกันอยู่ให้เอาเลขชี้กำลังคูณกัน

ถ้า a และ b แทนจำนวนใด ๆ m เป็นจำนวน เต็มบวกแล้ว (a×b)m = am×bm พิจารณาการตัวอย่างต่อไปนี้

(9×2)5 = 95×25 (3×7)2 = 32×72 (8×5)7 = 87×57

สรุปได้ว่า จำนวนเต็มที่คูณกันในวงเล็บและมีเลขชี้กำลังอยู่นอกวงเล็บให้นำเลขชี้กำลังคูณเข้าไปในวงเล็บ

การหารเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม การหารเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียวกันและฐานไม่เท่ากับศูนย์มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกในรูปของ am÷an จะพิจารณาเป็น 3 กรณี คือ เมื่อ m > n , m = n , m < n ดังนี้

กรณีที่ 1 am ÷ an เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ m,n แทนจำนวนเต็มบวก และ m > n พิจารณาการหารเลขยกกำลัง ต่อไปนี้

1) = = 33 = 35-2 = 33

2) = = 82 = 89-7 = 82

จากการหารเลขยกกำลังข้างต้นจะเห็นว่า ผลหารเป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเต็มเลขชี้กำลังจะเท่ากับเลขชี้กำลังของตัวตั้ง ลบด้วยเลขชี้กำลังของตัวหาร ซึ่งเป็นไปตามสมบัติของการหารเลขยกกำลังดังนี้

เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ m , n จะได้ว่า am ÷ an = am - n

กรณีที่ 2 am ÷ an เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ m , n แทนจำนวนเต็มบวก และ m = n พิจารณาการหารเลขยกกำลัง ต่อไปนี้

ถ้าใช้บทนิยามของเลขยกกำลังจะได้ 1) 23 ÷ 23 ถ้าใช้บทนิยามของเลขยกกำลังจะได้ = = 1 = ถ้าลองใช้สมบัติของการหารเลขยกกำลัง 20 = = 23-3

ดังนั้น เพื่อให้สมบัติของการหารเลขยกกำลัง am ÷ an = am – n ใช้ได้ในกรณีที่ m = n ด้วยจึงต้องให้ 20 = 1 ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ a0 ดังนี้ บทนิยาม เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ a0 = 1 จะเห็นว่า am ÷ an = am – n , a ≠ 0 เป็นจริงในกรณีที่ m = n ด้วย

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ วิธีทำ = = = = = 1

กรณีที่ 3 am ÷ an เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ m,n แทนจำนวนเต็มบวก และ m < n พิจารณาการหารเลขยกกำลัง ต่อไปนี้

พิจารณา 48 ÷ 413 ถ้าใช้บทนิยามของเลขยกกำลัง = = =

ถ้าลองใช้สมบัติของการหารเลขยกกำลัง am ÷ an = am – n , a ≠ 0 ในกรณีที่ m < n จะได้ = 48-13 = 4-5 แต่จากการใช้บทนิยามของเลขยกกำลังข้างต้น เราได้ว่า 48 ÷ 413 =

บทนิยาม เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์และ n แทนจำนวนเต็มบวก a-n = ดังนั้น เพื่อให้สมบัติของการหารเลขยกกำลัง am ÷ an = am – n ใช้ได้ในกรณีที่ m < n ด้วยจึงต้องให้ 4-5 = ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ a-n ดังนี้ บทนิยาม เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์และ n แทนจำนวนเต็มบวก a-n =

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นบวก วิธีทำ

การเขียนเลขยกกำลังให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ = 32× 35-3 32× = 32× 32 = 32+2 = 34

= (74+2)÷ 75-2 = 76÷ 73 = 76-3 = 73 (74× 72) ÷

× (92×9) = (96×3)× 92+1 = 918× 93 = 918+3 = 921

= =

เขียนจำนวนมาก ๆ ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10 และ n เป็นจำนวนเต็ม

1≤ A< 10 A = 1 , 2 , 3, …, 9 (กรณี A เป็นจำนวนเต็ม) A = 1.2 A = 2.54 A = 5.823 A = 9.8765467

การเขียนจำนวนที่มีค่ามาก ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ มีรูปทั่วไปเป็น A × 10n เมื่อ พิจารณาการเขียนจำนวนที่มีค่ามาก ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ต่อไปนี้

60,000 = 6 × 10,000 = 6 × 104 A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10 800,000 = 8 × 100,000 = 8 × 105 A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10

63,000 = 63 × 1,000 = 63 × 103 = ×10 ×133 = 6.3 × 104 A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน 600,000,000 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 600,000,000 = 6 × 100,000,000 = 6 × 108 ตัวอย่างที่ 2 จงเขียน 73,200,000 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 73,200,000 = 732 × 100,000 = 7.32 × 100 × 100,000 = 7.32 × 102 × 105 = 7.32 × 107

เขียนจำนวนน้อย ๆ ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10 และ n เป็นจำนวนเต็ม

1≤ A< 10 A = 1 , 2 , 3, …, 9 (กรณี A เป็นจำนวนเต็ม) A = 1.2 A = 2.54 A = 5.823 A = 9.8765467

การเขียนจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ มีรูปทั่วไปเป็น A × 10n เมื่อ พิจารณาการเขียนจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ต่อไปนี้

0.0006 = = = 6×10-4 A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10

0.0098 = = = 9.8×10-3 A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10

0.0813 = = = 9.8×10-2 A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10

การบวกเลขยกกำลังที่อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

(3.2×104 ) + (4.3×104 ) = (3.2+4.3)×104 = 7.5×104 A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10

(5.2×104 ) + (7.3×105 ) = (0.52×105 ) + (7.3×105 ) = (0.52+7.3)×105 = 7.82×105 A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10

(76.1×105) + (11.1×106) = (7.61×106) + (11.1×106) = (7.61+11.1)×106 = 18.71×106 1.871×107 = A × 10n เมื่อ 1≤ A< 10

สวัสดี