พีชคณิตบูลีน Boolean Algebra

ทำไมต้องมีพีชคณิตบูลีน ?

Boolean Algebra พีชคณิตบูลลีน เป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ หลังจากถูกคิดค้นขึ้นโดย จอร์จ บูล (George Boole : 1815-1864) เกือบ 100 ปี จึงถูกนำมาใช้ โดยนักวิทยาศาสตร์ชื่อแชนนอน (Claude Shannan) ในปี ค.ศ. 1938 แชนนอน ได้นำหลักการนี้มาแก้ปัญหาในงานโทรศัพท์ที่ต้องใช้รีเลย์จำนวนมาก หลังจากนั้นได้มีการนำเอาหลักการทางพีชคณิตบูลลีนนี้ มาออกแบบวงจรคอมพิวเตอร์ซึ่งทำงานด้วยแรงดันเพียง 2 ระดับ

Boolean Algebra พีชคณิตทั่วไป พีชคณิตบูลีน แทนค่าด้วยเลข 0-9 (ฐานสิบ) หาผลลัพธ์โดยการบวก ลบ คูณ หาร แทนค่าด้วย 0 และ 1 (ฐานสอง) หาผลลัพธ์โดยตัวดำเนินการ AND, OR และ NOT ตัวแปรในพีชคณิตบูลลีน มักจะใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B,…. โดยค่าของตัวแปรแต่ละตัวอาจจะเป็น 0 หรือ 1 ก็ได้ ตัวแปรจะเป็นตัวถูกกระทำโดยตัวดำเนินการ

Boolean Algebra X = NOT A การดำเนินการแบบ NOT ในพีชคณิตบูลลีน จะเขียนเครื่องหมายขีดบนตัวอักษรเรียกว่า บาร์ (bar) แทนตัวดำเนินการ NOT ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ อ่านว่า “X เท่ากับนอต A” หรือ “X เท่ากับคอมพลีเมนต์ของ A”

X = A + B Boolean Algebra X = A OR B การดำเนินการแบบ OR ในพีชคณิตบูลลีนจะเรียกการออร์ (OR) ว่าเป็นการบวกแบบบูลลีน จึงใช้เครื่องหมาย + (บวก) แทนตัวดำเนินการ OR ดังนี้ X = A + B อ่านว่า “X เท่ากับ A ออร์ B” ผลลัพธ์ของเทอมบวกจะมีค่าเป็น 1 เมื่อตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปมีค่าเป็น 1

Boolean Algebra การดำเนินการแบบ AND X = A AND B X = A·B แต่การเขียนโดยทั่วไปจะไม่ใส่จุดเพราะเขียนง่าย สะดวกกว่าและถือเป็นรูปแบบมาตรฐานของนิพจน์การแอนด์ ดังนี้ X = AB

Boolean Theorems A1 = ? A+0 = ? AA = ? A+A = ? A0 = ? A+1 = ?

Boolean Theorems

Boolean Theorems

RULE 1

RULE 2

RULE 3

RULE 4

RULE 5

RULE 6

RULE 7

RULE 8

RULE 9

Practice จงลดรูปสมการต่อไปนี้โดยการใช้พีชคณิตบูลีน 1. Solution

Practice จงลดรูปสมการต่อไปนี้โดยการใช้พีชคณิตบูลีน 2. XZ Solution

การพิสูจน์ทฤษฎีพีชคณิตบูลีน การพิสูจน์ทฤษฎีพีชคณิตบูลี มีกระบวนการหลายวิธีดังเช่นการสร้างวงจรทางตรรกะ หรือการใช้ตารางความจริงพิสูจน์ การสร้างวงจรทางตรรกะเป็นการสร้างวงจรจริงในการตรวจหาคำตอบ ซึ่งจะกล่าวถึงในเนื้อหาส่วนถัดไป การพิสูจน์โดยใช้ตารางความจริง (Truth Table) ซึ่งเป็นวิธีการที่ง่ายในการตรวจสอบ การตรวจสอบจะใช้หลักการของวงจรตรรกะแต่ละตัว

จงใช้ตารางความจริงพิสูจน์ว่า A+AB=A

การเขียนวงจรตรรกะเบื้องต้น (Basic of Logic Circuit Design) ในการเขียนวงจรตรรกะเบื้องต้นจะเขียนตามการกระทำของวงจรตรรกะนั้น โดยเทอมที่คูณกันจะใช้ แอนด์เกต (AND Gate) เทอมที่ทำการบวกกันจะใช้ออร์เกต (OR Gate) เทอมที่อยู่ในวงเล็บเดียวกันจะใช้เกตตามชนิดของการกระทำในเทอมนั้น ในการเขียนวงจรตรรกะให้มีประสิทธิภาพนั้นหลักการคือเราจะต้องลดรูปโดยใช้ทฤษฎีของบูลีน ทั้งนี้ก็เพื่อให้วงจรตรรกะที่เราต้องการมีจำนวนเกตน้อยที่สุดหรือมีการลงทุนในการสร้างวงจรต่ำ นอกจากนี้ยังเป็นการลดเวลาในการทำงานของวงจร (Delay time) อีกด้วย