Advanced Counting Techniques

ความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relations) นิยาม 1 ความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relation) สําหรับลําดับ (sequence) {an} คือสมการที่แสดงความสัมพันธระหวาง an กับพจนที่มากอน คือ a0, a1, ., an-1 เมื่อ n  n0 และ n0 เปน จํานวนเต็มที่มากกวาหรือเทากับ 0 an = f(a0, a1, ., an-1 ) บางครั้งเราเรียกว่า difference equation.

ความสัมพันธเวียนเกิด ตัวอย่าง n ! = n (n–1)! for n ≥1. Fibonacci sequence an = an-1+ an-2 for n ≥3. Pascal's recursion for the binomial coefficient is a two variable recurrence equation: C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k -1)

ความสัมพันธเวียนเกิด ลำดับ { an}จะเป็นผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิด ถ้าแต่ละพจน์ของลำดับสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดนั้น ปกติจะมีลำดับมากมายที่สอดคล้องกับสมการของความสัมพันธ์เวียนเกิด ในการหาความสัมพันธ์เวียนเกิดนั้นจะต้องกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น(initial conditions)เสมอเช่น In factorial recurrence we must specify 0! = 1. In the Fibonacci recurrence we must specify a0and a1. In Pascal's identity we must specify C(1,0) and C(1,1).

ความสัมพันธเวียนเกิด จงพิจารณาว่าจากความสัมพันธ์เวียนเกิด an = 2an−1 − an−2 (n ≥2). ข้อใดต่อไปนี้เป็นผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น an = 3n an = 2n an = 5 Yes No Yes

ความสัมพันธเวียนเกิด ลำดับที่เขียนเป็นสูตรได้ชัดแจ้งสามารถเขียนแทนด้วยความสัมพันธเวียนเกิดเช่น ตัวอย่าง {an}เป็นลำดับที่มี an = f(n) = 3 n ดังนั้นจะนิยาม recursive ได้ดังนี้ เงื่อนไขเริ่มต้น f(0) = 3 0 = 1 ความสัมพันธเวียนเกิด f(n+ 1) = 3(n+1) = 3(3 n ) = 3 f(n) ดังนั้น f(n+1) = 3 f(n)

Modeling with Recurrence Relations วิธีทํา กําหนดให an เปนจํ านวนของบักเตรีเมื่อสิ้นสุดชั่วโมงที่ n ซึ่งจะเปน 2 เทาของจํานวนบักเตรีใน 1 ชั่วโมงกอนหนานั้น (an-1) ดังนั้น an = 2 an-1 ........ (1) = 2 (2 an-2) = 22 an-2 = 22 (2 an-3)) = 23 an-3 . = 2 (2 (2 . 2 a0)) = 2n a0

ในที่นี้ a0 คือจํานวนบักเตรีเมื่อเริ่มตนทดลอง ซึ่งมีคาดังนี้ ดังนั้น an = 2n ✕ 5 .......... (3) สมการ (1) เปนตัวอยางของความสัมพันธเวียนเกิด(Recurrence Relation) สมการ (2) จะเรียกวา เงื่อนไขเริ่มตน สมการ (3) จะเรียกวา คําตอบเฉพาะที่ใชคํานวณหา คําตอบเมื่อแทนคา n และเงื่อนไขเริ่มตน

ตัวอยางที่ 3 นายอภิกุลนําเงิน 10,000 บาทไปฝากธนาคารแบบประจําไดดอกเบี้ย 11% (ดอกเบี้ยทบตน) อยากทราบวาเมื่อครบ 30 ป นายอภิกุลจะมีเงินในบัญชีกี่ บาท สมมตินายอภิกุลไมไดถอนเงินจากบัญชีนี้เลย วิธีทํา กําหนดให Pn เปนจํ านวนเงินในบัญชี เมื่อฝากครบ n ป เนื่องจากธนาคารใหดอกเบี้ย 11% ทุก ๆ ปของเงินตนของปกอนหนานั้น นั่นคือ Pn = Pn-1 + (0.11 ✕ Pn-1) = (1.11) Pn-1 = (1.11)(1.11 Pn-2)=(1.11)2 Pn-2 . = (1.11)nPn-n = (1.11)nP0

แต P0 = 10,000 บาท ดังนั้น P30 = (1.11)30 ✕ 10,000 = 228,992.97 บาท

ตัวอยางที่ 4 ความสัมพันธเวียนเกิดที่เปนที่รูจักกันดีอันหนึ่งในกลุม นักคณิตศาสตร็ คือ ปญหาของ Leonard diPisa. ซึ่งรูจักกันในนาม Fibonacci. Fibonacci ไดตั้งปญหาในหนังสือ Liber abaci. ราว ๆ คริสศตวรรษที่13 ดังนี้ กระตายแรกเกิดเพศผูและเพศเมียคูหนึ่งถูกนําไปปลอยไวที่เกาะแหงหนึ่ง อยากทราบวาจะมีกระตายทั้งหมดกี่คูเมื่อเวลาผานไป n เดือน โดยมีขอสมมติวา เมื่อกระตายทั้งสองมีอายุครบ 2 เดือนจึงจะสามารถให้กําเนิดกระตายเพศผูและเพศเมียอีก 1 คู และเมื่อจุดเริ่มตนบนเกาะนั้นไมมี กระตายอยูเลย

กระตายที่เกิดใหม กระตายที่มีอยูเดิม

วิธีทํ า กําหนดให fn เปนจํ านวนคูของกระตาย เมื่อตอนตนเดือนที่ n สังเกตจากภาพที่ 1 จะเห็นวา จํานวนกระตายเมื่อตนเดือนที่ 3 เทากับจํานวนกระตายเมื่อตนเดือนที่ 2บวกกับจํานวนกระตาย เมื่อตนเดือนที่ 1 และจํานวนกระตายเมื่อตนเดือนที่ 4 เทากับ จํานวนกระตายเมื่อตนเดือนที่ 3 บวกกับจํานวนกระตายเมื่อ ตนเดือนที่ 2 เปนเชนนี้เรื่อย ๆ ไป ดังนั้น fn = fn-1 + fn-2 ..... (4) ถาเรากํ าหนด f0 = 1 แลวสมการ (4) จะเปนไปไดสําหรับ n  2 และเราทราบวา f1 = 1 ดังนั้น f2 = f1 + f0 = 2 f3 = f2 + f1 = 3 f4 = f3 + f2 = 5 f5 = f4 + f3 = 8

ตัวอย่างที่5 หอคอยแหงฮานอย โจทยปญหาที่โดงดังอีกปัญหาหนึ่งในปลายคริสศตวรรษที่ 18 คือ หอคอยแหงฮานอย ซึ่งตั้งคําถามวา จงหาจํานวนวิธีในการเคลื่อนยายแผนไมจากเสาที่ 1 ซึ่งวางเรียงซอนกันจากแผน ใหญสุดไปยัง แผนที่เล็กที่สุด ดังภาพ ไปยังเสาตน อื่นภายใต ขอตกลงดังตอไปนี้

ขอตกลงดังตอไปนี้ 1. สามารถเคลื่อนยายแผนไมไดทีละ 1 แผนเทานั้น 2. แผนไมที่ถูกเคลื่อนยายจะนําไปไวที่เสาใดก็ได แตมีเงื่อนไขวาแผนไมที่มีขนาดใหญจะวางซอนบน แผนไมที่มีขนาดเล็กกวา ไมได

วิธีทํ า กําหนดให Hn เปนจํ านวนครั้งของการยายแผนไมจากเสาตนที่ 1 ไปยังเสาตนอื่น ถาเราเริ่มตนจากมีแผนไม n แผนบนเสาที่ 1 เราสามารถยายแผนไม n-1 แผนตามขอตกลงไปไวที่เสาที่ 3 ดังในภาพที่ 3 โดยใชจํานวนครั้งในการยาย แผนไมทั้งหมด Hn-1 ครั้ง หลังจากนั้นยาย แผนไมที่ใหญที่สุดไปไวที่เสาที่สองแลวเราก็ ยายแผนไม n-1 แผนจากเสาที่ 3 ไปยังเสาที่ 2 โดยใชจํานวน ครั้งที่ยายเปน Hn-1 ครั้ง

หอคอยแหงฮานอย ปัญหา:ต้องการย้ายแผ่นไม้จากเสาที่ 1 ไปไว้เสาที่2 กฏ: (a) สามารถเคลื่อนยายแผนไมไดทีละ 1 แผน เทานั้น (b) แผนไมที่ถูกเคลื่อนยายจะนําไปไวที่เสาใดก็ได แตมีเงื่อนไขวาแผนไมที่มีขนาดใหญจะวางซอนบน แผนไมที่มีขนาดเล็กกวาไมได Instructor can solve the puzzle interactively by dragging the disks around. Peg #1 Peg #2 Peg #3

ดังนั้นจํ านวนครั้งของการยายแผนไมทั้งหมด n แผน คือ Hn = 2 Hn-1 + 1 โดยที่ H1 = 1 เพราะวาเราสามารถยายแผนไม 1 แผนจากเสาที่ 1 ไปยังเสาที่ 2 ไดโดยจํานวนครั้งที่นอยที่สุดเปน 1 ครั้ง ถาเราใชวิธีการแทนคาดวยเทอมที่อยูกอนหนานั้นเสมอจะไดวา = 2 (2 Hn-2 + 1) + 1 = 22Hn-2 + 2 + 1 = 22 (2Hn-3 + 1) + 2 + 1 = 23Hn-3 + 22 + 2 + 1 . = 2n-1Hn-1 + 2n-2+ ... + 2 + 1 = 2n-1 + 2n-2+ ... + 22 + 1 = 2n – 1 ............ (5)

นิยายปรัมปราเกี่ยวกับหอคอยแหงฮานอยเลาวาพระที่ประจําอยูในหอคอยแหงฮานอยประกาศวา ถาทานจะยายแผนทองคําจํานวน 64 แผน โดยในการยาย แผนทองคํา 1 แผน ใชเวลา 1 วินาทีเทานั้น แลว เมื่อทานยายแผนทองคําจากเสาตนที่ 1 ไปยังเสา ตนอื่นเสร็จสิ้น โลกก็จะแตกสลายไปแลว จากสมการ (5) จะไดวา จํานวนครั้งของการยาย H64 = 264- 1 = 18,446,774,073,709,551,615 ซึ่งถายาย 1 แผนใชเวลา 1 วินาที แลวจะใชเวลาทั้งหมด มากกวา 500 พันลานปทีเดียว

การแกสมการความสัมพันธเวียนเกิด ความสัมพันธเวียนเกิดมีรูปแบบตาง ๆ กัน บางแบบสามารถหาคําตอบไดงายโดยการแทนคาไป เรื่อย ๆ ก็จะไดเทอม an อยูในรูปของเงื่อนไขเริ่มตน (a0, a1 หรือ a2) ดังในตัวอยางที่ 1, 3 และตัวอยางที่ 5 ที่ผานมาซึ่งเราเรียกวา การทําซํ้ า (Iteration) และอีกวิธีหนึ่งที่จะกลาวถึงตอไปนี้เปนวิธีเฉพาะที่ใชกับสมการความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสน (Linear recurrence Relations)

ความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสน นิยาม ความสัมพันธเวียนเกิดในรูป an = c1an-1 + c2 an-2 +. ck an-k ......(6) โดยที่ ci เปนคาคงที่ (i = 1, 2, ., k) ถา ck ≠ 0 แลวเราเรียกความสัมพันธนี้วา ความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสนลําดับที่ k

ความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสน ตัวอย่างความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสน an= (1.11) an-1: of degree one. an= an-1+ an-2: of degree two. an= an-5: of degree five. ตัวอย่างที่ไม่ใช่ความสัมพันธเวียนเกิดเชิงเสน􀁺 an= an-1+ (an-2)2: is not linear. an= 2an-1+ 1: is not homogeneous. an= nan-1: does not have constant coefficients.

การแกสมการความสัมพันธเวียนเกิด คําตอบทั่วไป (general solution) ของสมการ (6) จะอยูในรูปผลบวกของคําตอบพื้นฐาน (basic solution) ซึ่งมีวิธีการหาดังนี้ ให้ an = rn เมื่อ r เปนคาคงที่ เป็นคำตอบทั่วไป และเมื่อแทนคา an = rn ลงในสมการ (6) จะได rn = c1 rn-1 + c2 rn-2 + ... + ck rn-k เมื่อหารทั้งสองขางดวย rn-k แลวจะได rk = c1 rk-1 + c2 rk-2 + ... + ck หรือ rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - ... - ck = 0 ....... (7) เราเรียกสมการ (7) นี้วา สมการลักษณะ (characteristic equation)

การแกสมการความสัมพันธเวียนเกิด เนื่องจากสมการ (7) เปนสมการที่อยูในรูปนิพจนพหุนาม (Polynomial) ลําดับที่ k ดังนั้นจะมีคําตอบสําหรับ r ทั้งหมด k คําตอบ กําหนดให ri (i = 1, 2,.,k) เปนคําตอบทั้ง k คําตอบ ดังนั้น an = rin จึงเปนคําตอบพื้นฐานคําตอบหนึ่งของความสัมพันธเวียนเกิดนั่นคือ คําตอบทั่วไปจะอยูในรูป an = A1 r1n + A2 r2n + ... + Ak rkn ....... (8) โดยที่ Ai (i = 1, 2,..., k) เปนคาคงที่ ที่คาของมันขึ้นอยูกับเงื่อนไขเริ่มตน

ทฤษฎีบท 1 ให้c1 , c2 ,..., ck เป็นจำนวนจริง สมการลักษณะ rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - ... - ck = 0 มีรากลักษณะที่แตกต่างกัน k รากคือ r1 , r2 ,..., rk แล้วลำดับ {an } เป็นผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิด an = c1an-1 + c2 an-2 +. ck an-k ก็ต่อเมื่อ an = A1 r1n + A2 r2n + ... + Ak rkn สำหรับ n= 1,2,… เมื่อ A1 , A2 ,..., Ak เป็นจำนวนจริง

ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิด an = an-1 + 2 an-2 เมื่อ a0 = 2 และ a1 = 7 วิธีทํ า จากสมการพื้นฐาน an = rn จะไดสมการลักษณะดังนี้ rn = rn-1 + 2 rn-2 หรือ r2 - r - 2 = 0 (r - 2) (r + 1) = 0 r = 2, -1

ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิดan = an-1 + 2 an-2 เมื่อ a0 = 2 และ a1 = 7 ดังนั้นคํ าตอบทั่วไปคือ an = A1 2n + A2 (-1)n เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มตน a0 และ a1 จะได a0 = 2 = A1 20 + A2 (-1)0 2 = A1 + A2 ......... (a) a1 = 7 = A1 21 + A2 (-1)1 7 = 2A1 - A2 ......... (b) แกสมการ (a) กับ (b) จะได A1 = 3, A2 = -1 ดังนั้นคํ าตอบของความสัมพันธเวียนเกิดคือ an = 3.2n + (-1)(-1)n an = 3.2n - (-1)n

ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิด an = 6an-1 - 11 an-2 + 6 an-3 เมื่อ a0 = 2 , a1 = 2 และ a2 = 15 วิธีทํ า จากสมการพื้นฐาน an = rn จะไดสมการลักษณะดังนี้ rn = 6rn-1 - 11 rn-2 + 6 rn-3 หรือ r3 - 6r2 +11 r - 6 = 0 (r - 1) (r - 2) (r - 3) = 0 r = 1, 2, 3

ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิด an = 6an-1 - 11 an-2 + 6 an-3 เมื่อ a0 = 2 , a1 = 2 และ a2 = 15 ดังนั้นคํ าตอบทั่วไปคือ an = A1 (1)n + A2 (2)n +A3 (3)n เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มตน a0 , a1 และ a2 จะได a0 = 2 = A1 (1)0 + A2 (2)0 +A3 (3)0 2 = A1 + A2 + A3 ......... (a) 5 = A1 + 2A2 + 3A3 ......... (b) 15 = A1 + 4A2 + 9A3 ......... (c) แกสมการ (a) , (b),(c) จะได A1 = 1, A2 = -1 , A3 = 2 ดังนั้นคํ าตอบของความสัมพันธเวียนเกิดคือ an = 1 (1)n - 1 (2)n +2(3)n an = 1 - 2n + 2.3n

ทฤษฎีบท 2 ให้c1 , c2 ,..., ck เป็นจำนวนจริง สมการลักษณะ rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - ... - ck = 0 มีรากลักษณะที่ซ้ำกัน k รากคือ r1 = r2 =...= rk แล้วลำดับ {an } เป็นผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิด an = c1an-1 + c2 an-2 +. ck an-k ก็ต่อเมื่อ an = (A1 + A2 n+ A3 n2 + ... + Ak n k-1 ) r1n สำหรับ n= 1,2,… เมื่อ A1 , A2 ,..., Ak เป็นจำนวนจริง

ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิด an = 6an-1 - 9 an-2 เมื่อ a0 = a1 = 1 วิธีทำ หาสมการลักษณะได้คือ r 2- 6r + 9 =0 (r –3)2= 0 r1= r2= 3 คำตอบทั่วไปคือ an= A13n+ A2n3n แทนค่าจากค่าเริ่มต้น a0 = a1 = 1 จะได้ค่า A1= 1, A2= -2/3 an = 3n - 2n(3n-1 )

ตัวอย่าง จงหาคําตอบของความสัมพันธเวียนเกิด an = -3an-1 - 3 an-2 - an-3 เมื่อ a0 =1, a1= -2, a1 = -1 หาสมการลักษณะได้คือ r 3 + 3r 2 + 3r + 1 =0 (r +1)3= 0 r= -1, -1, -1 คำตอบทั่วไปคือ an= A1(-1)n+ A2 n (-1)n + A3 n2 (-1)n แทนค่าจากค่าเริ่มต้น a0 =1, a1= -2, a1 = -1 จะได้ค่า A1 = 1 ...............(1) -A1 - A2 - A3 = -2 ...............(2) A1 + 2A2 + 4A3 = -3 ...............(3)

จากสมการ (1) –(3) จะได้ค่า A1= 1, A2= 3 และ A3= -2 ดังนั้นผลเฉลยคือ an = (1 +3 n -2 n2 ) (-1)n-1 เมื่อ n  3

ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating Functions) นิยาม ให้ a0, a1, a2, … เป็นลำดับชุดหนึ่งของจำนวนจริง ฟังก์ชัน G(x) = a0 + a1x + a2x2 + … หรือ จะเรียกว่าฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function)

ฟังก์ชันก่อกำเนิด ตัวอย่าง สมมติลำดับคือ 1 , 1, 1,… ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับที่กำหนดคือ สมมติลำดับคือ 0, 1, 2,3,… ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับที่กำหนดคือ

ฟังก์ชันก่อกำเนิด ตัวอย่าง สมมติลำดับจำกัดคือ {1 , 1, 1}และกำหนด S={1,1,1,0,0,0,…} ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับที่กำหนดคือ

ฟังก์ชันก่อกำเนิด

ฟังก์ชันก่อกำเนิด สมมติลำดับ {20 , 21, 22,…} ฟังก์ชันก่อกำเนิดจะเป็น f(x) = 20 + 21 x + 22 x2 + … + 2r xr + … เราสามารถเขียน f(x) ให้อยู่ในรูปที่สั้นกว่าได้โดย

ฟังก์ชันก่อกำเนิด ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามารถดำเนินการโดยใช้กฎพีชคณิตได้ดังนี้ ให้ F(x) และ G(x) เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดดังนี้ จะได้ว่า