หน่วยที่ 12 การประยุกต์อินทิกรัลหลายชั้น ผศ.ปราโมทย์ พรหมอินทร์

หน่วยที่ 12 การประยุกต์อินทิกรัลหลายชั้น ตอนที่ 12.1 การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับอินทิกรัลหลายชั้น เรื่องที่ 12.1.1 การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสองชั้น เรื่องที่ 12.1.2 การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสามชั้น เรื่องที่ 12.1.3 การเปลี่ยนตัวแปรระหว่างระบบพิกัดฉากกับระบบพิกัดทรงกระบอก เรื่องที่ 12.1.4 การเปลี่ยนตัวแปรระหว่างระบบพิกัดฉากกับระบบพิกัดทรงกลม ตอนที่ 12.2 ประโยชน์ของอินทิกรัลหลายชั้น เรื่องที่ 12.2.1 ประโยชน์ของอินทิกรัลสองชั้น เรื่องที่ 12.2.2 ประโยชน์ของอินทิกรัลสามชั้น

เรื่องที่ 12.1.1 การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสองชั้น เรื่องที่ 12.1.1 การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสองชั้น เราจะหาค่าอินทิกรัลของ เมื่อ R เป็นบริเวณที่ปิดล้อมด้วยสมการเส้นตรง y=x, y+x=0, x-y=2 และ x+y =4 ดังภาพ ได้อย่างไร

ค่าอินทิกรัลสองชั้น โดยการเปลี่ยนตัวแปรจาก x,y ไปเป็นตัวแปร u,v หาได้จาก โดยที่ เรียก ว่า จาโคเบียนของการแปลง x = x(u,v) และ y = y(u,v)

วิธีทำ โดยการหาคำตอบของสมการ u=x+y และ v=x-y และ ตัวอย่าง 12.1.1 จงหา จากการเปลี่ยนตัวแปร จากตัวแปร x,y เป็นตัวแปร u,v โดยที่ u=x+y และ v=x-y วิธีทำ โดยการหาคำตอบของสมการ u=x+y และ v=x-y และ ดังนั้น

ดังนั้น จาโคเบียนจากการเปลี่ยนตัวแปร เท่ากับ

ข้อสังเกต ในการหาค่าจาโคเบียน อาจมีความยุ่งยาก u=x+y และ v=x-y

ตัวอย่าง 12.1.2 จงหาค่าอินทิกรัลของ เมื่อ R เป็นบริเวณที่ปิดล้อมด้วยรูปกราฟที่มีสมการเป็น สมการเส้นตรง y=x, y+x=0, x-y=0 และ x+y=4 วิธีทำ จากโจทย์วาดกราฟของ R ได้ดังภาพ

กำหนดให้ u = g(x,y) = x+y และ v = h(x,y) = x-y โดยการเปลี่ยนตัวแปร การหาค่าอินทิกรัลสองชั้น คำนวณได้จาก

จาโคเบียนในการเปลี่ยนตัวแปรในระบบพิกัดฉากไปเป็นระบบพิกัดเชิงขั้ว

เรื่องที่ 12.1.2 การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสามชั้น เรื่องที่ 12.1.2 การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสามชั้น ตัวอย่าง 12.1.6 จงหาจาโคเบียนในการเปลี่ยนตัวแปรจาก ไปเป็นตัวแปร โดยให้ และ

ตัวอย่าง 12.1.9 จงหาค่าอินทิกรัล โดยกำหนดให้

เรื่องที่ 12.1.3 การเปลี่ยนตัวแปรระหว่างระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดทรงกระบอก ตัวอย่าง 12.1.11 จงหาปริมาตรของทรงตันซึ่งปิดล้อมด้วยทรงกระบอก และระนาบ กับระนาบ

เรื่องที่ 12.1.4 การเปลี่ยนตัวแปรระหว่างระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดทรงกลม จาโคเบียนของการเปลี่ยนตัวแปร เท่ากับ

ตัวอย่าง 12.1.11 จงหาปริมาตรของทรงตันซึ่งปิดล้อมด้วยทรงกลม และระนาบ xy