Matrix Structure In Graph Theory

สมาชิกในกลุ่ม น.ส. ภารดี ธรรมาภิชัย เลขที่ 7 ชั้น ม. 6/7 น.ส. ภารดี ธรรมาภิชัย เลขที่ 7 ชั้น ม. 6/7 น.ส. มณฑกาญจน์ บุญเพิ่มผล เลขที่ 8 ชั้น ม. 6/7 น.ส. วัลย์ธิภา จริงจิตร เลขที่ 9 ชั้น ม. 6/7

ก่อนอื่นใด มาทบทวน matrix กันเถอะ

Type of Matrix Graph - Incidence matrix - Degree matrix - Adjacency matrix - Laplacian matrix หรือ Kirchhoff matrix Distance matrix แมทริกซ์เป็นหนึ่งในรูปแบบของการเก็บข้อมูลกราฟในรูปของตัวเลขเพื่อให้ง่ายต่อการรวบรวมข้อมูล แต่มีข้อเสียคือ ใช้พื้นที่หน่วยความจำค่อนข้างเยอะ

Incidence matrix กราฟถูกแทนด้วย matrix ที่มีสมาชิก 0 และ 1 โดยซึ่งเส้นเชื่อม(edge) คือ column(แนวตั้ง) และ จุดยอด(vertex) คือ row(แนวนอน) สมาชิกใน matrix - ถ้ามีเส้นเชื่อมจะได้ 1 - ถ้าไม่มีเส้นเชื่อมจะได้ 0

Example

ข้อดี-ข้อเสีย ข้อดี รู้ว่าเส้นเชื่อมใดเกิดกับจุดใด สามารถใช้กับกราฟที่มีเส้นเชื่อมขนาน และวงวนได้ โดยกราฟที่มีเส้นเชื่อมขนาน จะมีเลข 2 สำหรับจุดยอด ที่เกิดเส้นเชื่อมขนาน หรือเลข 0 สำหรับจุดยอดและเส้นเชื่อมอื่น ๆ ข้อเสีย กราฟที่มีเส้นเชื่อมขนานจะหาเส้นเชื่อมลำบาก ต้องใช้แมทริกซ์แบบอื่นประกอบ

Degree matrix Matrix จัตุรัส สมาชิก คือ ดีกรีของจุดยอดแต่ละจุด โดยแต่ละ row แต่ละcolumn แทนจุดยอด

ข้อดี หาดีกรีและจำนวนเส้นเชื่อมของกราฟได้จาก ทฤษฎีบท “ผลรวมดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ” ข้อเสีย - ไม่รู้ว่าเส้นเชื่อมใดเกิดกับจุดยอดใด

Adjacency matrix กราฟถูกแทนด้วย matrix จัตุรัส และขนาดจะเท่ากับจำนวนจุดยอด ถ้ามีเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดใด ๆ จะได้สมาชิกในเมทริกซ์เป็น 1 ถ้าไม่มีเส้นเชื่อมจะได้ 0 ดังนั้นบริเวณเส้นทแยงมุมของ matrix ถ้าเป็น 1 แสดงว่าจุดยอดนั้นมีวงวน(loop)

ข้อดี หากราฟเชิงเดียวได้ง่าย ข้อเสีย - ใช้กับกราฟที่มีเส้นเชื่อมขนานไม่ได้

Laplacian matrix or Kirchhoff matrix ถูกนิยามโดย degree matrix ลบ adjacency matrix และบอกข้อมูลเกี่ยวกับดีกรีของจุดยอดและเส้นเชื่อม ซึ่งนิยามโดย

ข้อดี บอกดีกรีของจุดยอดแต่ละจุด บอกได้ว่าเส้นเชื่อมใดเกิดกับจุดยอดใด ข้อเสีย - ใช้กับกราฟที่มีเส้นเชื่อมขนานไม่ได้

Distance matrix. เป็น matrix จัตุรัสสมมาตร สมาชิกในแมทริกซ์ คือ ความยาวที่สั้นที่สุดระหว่างจุดยอด

a b c d e f 184 222 177 216 231 45 123 128 200 129 121 203 46 83

ข้อดี หาวิถีที่สั้นที่สุดได้ หาจำนวนจุดยอดได้ บอกได้ว่าเส้นเชื่อมใดเกิดกับจุดยอดใด

การประยุกต์ใช้ นำไปใช้ทาง bioinformatics นำไปแทนสูตรโครงสร้างโปรตีนระหว่างลำดับสองลำดับ NMR or X-ray crystallography.

Reference http://en.wikipedia.org/wiki/Kirchhoff_matrix http://en.wikipedia.org/wiki/Degree_matrix http://mathworld.wolfram.com/IncidenceMatrix.html http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Distance_matrix.PNG