บทที่ 8 เมตริกซ์และตัวกำหนด

8.1 เมตริกซ์และดีเทอร์มินันต์ นิยาม ให้ เป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ คือเมตริกซ์ที่มีแถวแนวนอน แถว และแถวแนวตั้ง แถว ซึ่งเราจะเขียนแทนด้วย

นิยาม ให้ เป็นเมตริกซ์จัตุรัสมิติ ดีเทอร์มินันต์ ของ เขียนแทนด้วย หรือ ซึ่งสามารถเขียนแทนด้วย

นิยาม เมตริกซ์จัตุรัส ที่มีค่าของ เมื่อ จะเรียกว่า เมตริกซ์ทแยงมุม ซึ่ง สามารถเขียนแทนด้วย ซึ่งการหาค่าดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซทแยงมุมนี้ จะหาได้จาก

การหาค่าดีเทอร์มินันต์ 1. เมตริกซ์จัตุรัส มิติ 1 จะได้ว่า 2. เมตริกซ์จัตุรัส มิติ 2 จะได้ว่า

3. เมตริกซ์จัตุรัส มิติ 3 จะได้ว่า 3. เมตริกซ์จัตุรัส มิติ 3 จะได้ว่า _ _ _ + + +

4. เมตริกซ์จัตุรัส มิติ เมื่อ ; กำหนดเมตริกซ์ คือ เมตริกซ์ที่มีขนาด ที่เกิดจากการ ตัดแถวที่ หลักที่ ของ เมตริกซ์ ออก ไมเนอร์ของ คือ โคแฟกเตอร์ของ คือ ดังนั้น เราสามารถหาดีเทอร์มินันต์ของ จาก

8.2 ระบบสมการเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้ว จะนิยามสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร ในรูป เมื่อ และ เป็นค่าคงตัวที่เป็นจำนวนจริง ตัวแปรทุกตัวในสมการจะมีกำลังเป็นหนึ่งเท่านั้น และไม่มีพจน์ใดอยู่ในรูปผลคูณของตัวแปรหรือรากของตัวแปร เรียกเซตจำกัดของสมการเชิงเส้นของตัวแปร ว่าเป็นระบบเชิงเส้น

พิจารณาระบบเชิงเส้นที่มี สมการ และมีตัวแปร ตัว ต่อไปนี้ …………(1) ซึ่งสามารถเขียน(1)ในรูปสมการเมตริกซ์ได้ดังนี้

หรือ โดยที่ เรียกเมตริกซ์ ว่า เมตริกซ์สัมประสิทธ์ (Coefficient matrix)

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร จากระบบสมการเชิงเส้นที่เขียนเป็นสมการเมตริกซ์ ถ้า แล้วเราจะหาคำตอบของระบบสมการโดยวิธีต่อไปนี้ วิธีที่ 1 ใช้อินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ จาก ถ้า แล้วจะมี ซึ่ง หรือ นั่นคือ

ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการ วิธีทำ เขียนระบบสมการที่โจทย์กำหนดในรูป โดยที่

เนื่องจาก และ ดังนั้น นั่นคือ #

วิธีที่ 2 ใช้ดีเทอร์มินันต์ หรือกฎของคราเมอร์ (Cramer’s Rule) พิจารณาสมการ เมื่อ ถ้า แล้วสมการ จะมีคำตอบเพียงชุดเดียวโดยที่ เมื่อ คือ เมตริกซ์ที่ได้จากการแทนที่สมาชิกในหลักที่ ของเมตริกซ์ ด้วยสมาชิกใน

ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการ วิธีทำ ระบบสมการที่กำหนดให้เขียนในรูปสมการเมตริกซ์ได้เป็น ให้

เนื่องจาก ดังนั้นจะได้ , และ #