ข้อตกลงในการเรียน พื้นฐานที่จำเป็นสำหรับนำไปใช้ในเรื่อง 1. อย่าลืมเปิดเสียงก่อนนะครับ 2. ถ้าภาพหยุดนิ่งเกิน 1 วินาที ให้คลิกซ้าย 1 ครั้ง 3. อาจใช้ปุ่ม Page Up ดูย้อนกลับก็ได้ 4. โปรแกรมนี้พัฒนาจาก Windows 98 และ PowerPoint 97 หากใช้รุ่นอื่นดูอาจมีปัญหา พื้นฐานที่จำเป็นสำหรับนำไปใช้ในเรื่อง Linear Programming (LP) คือ 1. การเขียนกราฟเส้นตรง 2. การหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น 3. การเขียนกราฟของอสมการ 1. การเขียนกราฟเส้นตรง ให้กำหนดจุด X,Y-intercepts แล้วลากเส้นตรงผ่าน เช่น การเขียนกราฟของ 2X + 3Y = 6 สามารถทำได้ดังนี้

การหา X - intercepts ให้แทนค่า Y = 0 ใน 2X + 3Y = 6 ดังนี้ 2X + 3Y = 6 2X + 3(0) = 6 2X = 6 X = 6/2 = 3 ดังนั้น X - intercept คือ (X, Y) = (3, 0) •

การหา Y - intercepts และกราฟเส้นตรง ให้แทนค่า X = 0 ใน 2X + 3Y = 6 ดังนี้ 2X + 3Y = 6 2(0) + 3Y = 6 3Y = 6 Y = 6/3 = 2 ดังนั้น Y - intercept คือ (X, Y) = (0, 2) • • กราฟเส้นตรงของ 2X + 3Y = 6

2. การหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น 3X + 2Y = 6 ... (1) 2X + 3Y = 6 ... (2) วิธีทำ กำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งออก โดยทำให้ ส.ป.ส. เท่ากัน ในที่นี้ต้องการกำจัด X จึงนำ 3 คูณ (2) และ 2 คูณ (1) ดังนี้ 3 คูณ (2): 6X + 9Y = 18 ... (3) 2 คูณ (1) : 6X + 4Y = 12 ... (4) (3) - (4): 0 + 5Y = 6 ... (5) Y = 6/5 = 1.2 แทนค่า Y = 1.2 ใน (1) ได้ดังนี้ 3X + 2Y = 6 3X + 2(1.2) = 6 3X + 2.4 = 6 3X = 6 - 2.4 3X = 3.6 X = 3.6/3 = 1.2 ดังนั้น เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่ (X, Y) = (1.2, 1.2)

3. การเขียนกราฟของอสมการ ในเรื่อง LP เรานิยมใช้ X1 แทน X และใช้ X2 แทน Y โปรดสังเกตที่มาของพื้นที่ "ขวาบนของ 0” (หมายเลข 1) ซึ่งจะแสดงข้างล่างนี้ 1 2 1 1 4 X1 > 0 (ขวาของ 0) X2 > 0 (บนของ 0) X1 > 0 และ X2 > 0 (ขวาบนของ 0) { (X1, X2) | X1 > 0 และ X2 > 0 } = { 1, 4 } { 2, 1 } = { 1 } = ขวาบนของ 0

กราฟของอสมการ 2X1 + 3X2 = 6 2X1 + 3X2 6 2X1 + 3X2 6 กราฟของ สมการ เป็นเส้นตรง 2X1 + 3X2 6 กราฟของ อสมการ ชนิดน้อยกว่า ซ้ายล่าง ของเส้นตรง 2X1 + 3X2 6 กราฟของ อสมการ ชนิดมากกว่า ขวาบน ของเส้นตรง

กราฟของอสมการ(ต่อ) 2X1 + 3X2 6 2X1 + 3X2 6 ขวาบนของ 0 ขวาบนของ 0 และ ในเรื่อง LP เรานิยมเขียน X1, X2 0 แทน X1 0 และ X2 0 X1, X2 0 ขวาบนของ 0 X1, X2 0 2X1 + 3X2 6 ขวาบนของ 0 และ ซ้ายล่างของเส้นตรง X1, X2 0 2X1 + 3X2 6 ขวาบนของ 0 และ ขวาบนของเส้นตรง

Feasible Area Feasible Area Feasible Area คือบริเวณที่ คือบริเวณที่ แรเงาต่อไปนี้ Feasible Area คือบริเวณที่ แรเงาต่อไปนี้ 2X1 + 3X2 6 2X1 + 3X2 6 3X1 + 2X2 6 3X1 + 2X2 6 X1, X2 0 X1, X2 0

การหา Feasible Area ด้วยวิธีของ Set d b c B A คือพื้นที่ขวาบนของเส้นตรง A = {a, d} A: 2X1 + 3X2 6 คือพื้นที่ซ้ายล่างของเส้นตรง B = {a, b} B: 3X1 + 2X2 6 X1, X2 0 คือจตุภาคที่ 1 A B = {a, d} {a, b} = { a } ดังนั้น Feasible Area คือ a

การหา Feasible Area b คือพื้นที่ซ้ายล่างของเส้นตรง A = {b, c} d b c B A คือพื้นที่ซ้ายล่างของเส้นตรง A = {b, c} A: 2X1 + 3X2 6 คือพื้นที่ซ้ายล่างของเส้นตรง B = {a, b} B: 3X1 + 2X2 6 X1, X2 0 คือจตุภาคที่ 1 A B = {b, c} {a, b} ดังนั้น Feasible Area คือ b = { b }

การหา Feasible Area c คือพื้นที่ซ้ายล่างของเส้นตรง A = {b, c} d b c B A คือพื้นที่ซ้ายล่างของเส้นตรง A = {b, c} A: 2X1 + 3X2 6 คือพื้นที่ขวาบนของเส้นตรง B = {c, d} B: 3X1 + 2X2 6 X1, X2 0 คือจตุภาคที่ 1 A B = {b, c} {c, d} ดังนั้น Feasible Area คือ c = { c }

การหา Feasible Area d คือพื้นที่ขวาบนของเส้นตรง A = {a, d} c B A คือพื้นที่ขวาบนของเส้นตรง A = {a, d} A: 2X1 + 3X2 6 คือพื้นที่ขวาบนของเส้นตรง B = {c, d} B: 3X1 + 2X2 6 X1, X2 0 คือจตุภาคที่ 1 A B = {a, d} {c, d} = { d } ดังนั้น Feasible Area คือ d

A C B ที่จุด A: แทนค่า X1 = 0, X2 = 3 ในฟังก์ชันเป้าหมาย การหา Feasible / Optimal solution ทำได้โดยการนำเอาจุดมุมของ Feasible area สมมุติว่าเป็นสามเหลี่ยม ABC ไปแทนใน ฟังก์ชันเป้าหมาย สมมุติว่าเป็น Z = 10X1 + 20X2 ดังนี้ A B C ที่จุด A: แทนค่า X1 = 0, X2 = 3 ในฟังก์ชันเป้าหมาย Z = 10 X1 + 20 X2 = 10(0) + 20(3) = 0 + 60 = 60 ที่จุด B: แทนค่า X1 = 0, X2 = 2 ในฟังก์ชันเป้าหมาย Z = 10 X1 + 20 X2 = 10(0) + 20(2) = 0 + 40 = 40 ที่จุด C: แทนค่า X1 = 1.2, X2 = 1.2 ในฟังก์ชันเป้าหมาย Z = 10 X1 + 20 X2 = 10(1.2) + 20(1.2) = 12 + 24 = 36 ถ้าฟังก์ชันเป้าหมายคือ Max Z = 10X1 + 20X2 แล้ว Optimal solution คือจุด A ซึ่ง X1 = 0, X2 = 3 และ Max Z = 60 ถ้าฟังก์ชันเป้าหมายคือ Min Z = 10X1 + 20X2 แล้ว Optimal solution คือจุด C ซึ่ง X1 = 1.2, X2 = 1.2 และ Min Z = 36

สรุปรูปแบบของ LP Min Z = 10X1 + 20X2 Subject to 2X1+3X2 6 3X1+2X2 6 ส่วนนี้คือ Objective function เป็น Min Z หรือ Max Z อย่างใดอย่างหนึ่ง โดย X1, X2 คือ Decision variables Min Z = 10X1 + 20X2 Subject to 2X1+3X2 6 3X1+2X2 6 X1, X2 0 ส่วนนี้คือ Constraints โดยบรรทัดสุดท้าย ต้องมี X1, X2 0 เสมอ

สรุปขั้นตอนการแก้ปัญหา LP นำ Constraints มาสร้าง Feasible area พื้นฐานคือ การหา X,Y-intercepts และจุดตัด 2. จาก Feasible area หา Feasible solution (จุดมุมของ Feasible area) พื้นฐานคือ กราฟของอสมการ * 3. การหา Optimal solution จาก Feasible solution * ถ้าเป้าหมายเป็น Min Z แล้ว Optimal คือ Z ต่ำสุด ถ้าเป้าหมายเป็น Max Z แล้ว Optimal คือ Z สูงสุด