บทที่ 3 การโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming)

งานนำเสนอเรื่อง: "บทที่ 3 การโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming)"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 บทที่ 3 การโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming)

2 การโปรแกรม (Programming) : การวางแผน
เชิงเส้น (Linear) : วิธีการที่ใช้ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ ชนิดเชิงเส้น การโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming : LP) เป็นเทคนิคเชิงปริมาณที่อาศัยวิธีทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาการจัดสรรทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจำกัด

3 วัตถุประสงค์ของ LP 1.Maximize Profit : มุ่งหวังกำไรสูงสุด
2.Minimize Cost : มุ่งหวังต้นทุน หรือค่าใช้จ่ายต่ำสุด

4 ขั้นตอนของการโปรแกรมเชิงเส้น
1. สร้างตัวแบบของปัญหา 2. แก้ปัญหาของตัวแบบที่สร้างด้วยการหาคำตอบที่ต้องการ

5 การสร้างตัวแบบของปัญหา
1. การกำหนดตัวแปรของปัญหา 2. การกำหนดสมการเป้าหมาย 3. การสร้างข้อจำกัด 4. การสร้างตัวแปรทุกตัวให้มีค่าไม่ติดลบ

6 1. การกำหนดตัวแปรของปัญหา
X1 = ตัวแปรตัวแรกที่ต้องการทราบ X2 = ตัวแปรที่สองที่ต้องการทราบ X3 = ตัวแปรที่สามที่ต้องการทราบ Xn = ตัวแปรที่ n ที่ต้องการทราบ

7 2. การกำหนดสมการเป้าหมาย (Objective Function)
หาค่าสูงสุด Maximize Max Z หาค่าต่ำสุด Minimize Min Z ( Z คือ ผลรวมของฟังก์ชันเป้าหมาย หรือ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ )

8 3. สร้างข้อจำกัด (Constraints)
โดยเขียนให้อยู่ในรูป อสมการ < , > , < , > a11x1 + a12x2 +….a1nxn > = < bi

9 4. สร้างตัวแปรทุกตัวให้มีค่าไม่ติดลบ (Non Negativety Restriction)
กำหนดว่าตัวแปรทุกตัวจะต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ จะเป็นลบไม่ได้ X1 , X2 ,…,Xn > 0

10 โครงสร้างรูปแบบของกำหนดการเชิงเส้น
ฟังก์ชันเป้าหมายเชิงเส้น (linear objective function) ข้อจำกัดของปัญหา (functional constraint) non-negativity constraint

11 สมมุติฐานของตัวแบบกำหนดการเชิงเส้น
1.ความสัมพันธ์เชิงเส้น (Linearity) 2.กำหนดค่าได้แน่นอน (Deterministic) 3.บวกเข้าด้วยกันได้ (Additvity) 4.สามารถแบ่งแยกได้ (Divisbelity) 5.ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เดียว (single objective)

12 ตัวแบบกำหนดการเชิงเส้น
ความเป็นสัดส่วน การรวมกันได้ การทราบค่า การแบ่งได้

13 ตัวอย่างที่ 3.1 บริษัทเฟอร์นิเจอร์แห่งหนึ่ง ทำการผลิตโต๊ะ เก้าอี้ ซึ่งมีขั้นตอน 2 ขั้นตอน คือ 1. แผนกประกอบ มีเวลาทำงานไม่เกิน 60 ช.ม. 2. แผนกตกแต่ง มีเวลาทำงานไม่เกิน 48 ช.ม. โต๊ะ 1 ตัว ใช้เวลาประกอบ 4 ช.ม. ตกแต่ง 2 ช.ม. เก้าอี้ 1 ตัว ใช้เวลาประกอบ 2 ช.ม. ตกแต่ง 4 ช.ม. กำไร จากโต๊ะ 1 ตัว 8 บาท เก้าอี้ ตัว 6 บาท จะต้องผลิตโต๊ะและเก้าอี้กี่ตัวในสัปดาห์ จึงจะได้กำไรสูงสุด

14 2. สมการเป้าหมาย Max Z = 8X1 + 6X2
2. สมการเป้าหมาย Max Z = 8X1 + 6X2

15 X1, X2, > 0 3. สร้างข้อจำกัด 2X1 + 4X2 < 48
4. กำหนดให้ตัวแปรทุกตัวมีค่าไม่ติดลบ X1, X2, > 0

16 ตัวอย่าง 3.2 บริษัทกีฬาพัฒนา เป็นบริษัท ซึ่งผลิตฟุตบอล และลูกบาสเกตบอล โดยในการผลิตลูกฟุตบอล และลูกฟุตบอลใช้วัตถุดิบ 2 ชนิด คือ หนัง และยาง ถ้าผลิตลูกฟุตบอลได้กำไร ลูกละ 16 บาท ลูกบาสเกตบอลได้กำไร ลูกละ 12 บาท และถ้าผลิตได้เท่าใด สามารถขายได้หมด ในสัปดาห์หน้าทางบริษัท มีวัตถุดิบ คือ หนัง 800 ตารางฟุต และยาง 500 กิโลกรัม ในการผลิตลูกฟุตบอล 1 ลูก ใช้ยาง 2 กิโลกรัม และหนัง 5 ตารางฟุต ส่วนการผลิตลูกบาสเกตบอล 1 ลูก ใช้ยาง 3 กิโลกรัม และใช้หนัง 4 ตารางฟุต ทางบริษัทกีฬาพัฒนา ควรผลิตลูกฟุตบอล และบาสเกตบอล อย่างละกี่ลูก เพื่อให้ได้กำไรรวมสูงสุด

17 ตัวอย่าง 3.3 ปัญหาของการจัดสรรเงินลงทุน ถ้านางกัลยา ได้รับมรดกจากพ่อแม่จำนวน 500,000 บาท นางกัลยา ต้องการนำเงินส่วนนี้ไปลงทุน แต่ในปัจจุบันการลงทุนอย่างใดอย่างหนึ่ง เพียงอย่างเดียว จะเป็นการเสี่ยงเกินไป นางกัลยา ต้องการกระจายความเสี่ยง จึงศึกษาด้านการลงทุน พบว่า ถ้าลงทุน การฝากเงินประจำ จะได้ดอกเบี้ย 4% ซื้อพันธบัตรรัฐบาล ได้ผลตอบแทน 5% ถ้าซื้อหุ้นด้านสื่อสาร คาดว่าจะได้ผลตอบแทน 7% และถ้าซื้อหุ้นด้านพลังงาน คาดว่าจะได้ผลตอบแทน 4.5%

18 เพื่อเป็นการกระจายความเสี่ยง นางกัลยาได้กำหนด ว่า
-จะฝากประจำ ไม่เกิน 230,000 บาท -จะลงทุนซื้อพันธบัตรรัฐบาล ไม่เกิน 150,000 บาท -จะลงทุนในพันธบัตรรัฐบาล ไม่เกินเงินที่นำฝากประจำ -จะลงทุนในหุ้นด้านการสื่อสาร ไม่เกิน 120,000 บาท -จะลงทุนในหุ้นด้านพลังงาน ไม่เกิน 220,000 บาท -จำนวนเงินที่ซื้อพันธบัตรรัฐบาล และหุ้นสื่อสาร ไม่เกิน % ของเงินนำไปฝากประจำ และหุ้นด้านพลังงาน นางกัลยา ควรจัดสรรเงินลงทุนอย่างไร

19 โจทย์พิเศษ บริษัทผู้ผลิตแห่งหนึ่งผลิตสินค้า 3 ชนิดออกจำหน่ายโดยจะผลิตสินค้าเกรดเอ อย่างน้อยที่สุด 6,000 ชิ้น สินค้าเกรดบี อย่างมากที่สุด 24,000 ชิ้น และสินค้าเกรดซี ไม่เกิน30,000 ชิ้น ซึ่งบริษัทมีเครื่องจักรที่จะใช้ในการผลิตสินค้าอยู่ 2 ประเภท คือ เครื่องจักรประเภท ก และเครื่องจักรประเภท ข ที่สามารถผลิตสินค้าแต่ละชนิดได้ ดังนี้ รายการสินค้า เครื่องจักรประเภท ก เครื่องจักรประเภท ข เกรดเอ (ชิ้น/เดือน) เกรดบี (ชิ้น/เดือน) เกรดซี (ชิ้น/เดือน) ในการคิดราคาต้นทุนการผลิตและจำหน่าย ประมาณได้ว่าการผลิตสินค้าโดยใช้เครื่องจักร ก จะได้กำไรเฉลี่ยเครื่องละ 87,500 บาท เครื่องจักร ข จะได้กำไรเฉลี่ยเครื่องละ100,000 บาท บริษัทควรใช้เครื่องจักรแต่ละประเภทกี่เครื่องจึงจะทำให้บริษัทได้กำไรมากที่สุด

20 วิธีทำ. กำหนดให้ X1 = จำนวนเครื่องจักร ประเภท ก
วิธีทำ กำหนดให้ X1 = จำนวนเครื่องจักร ประเภท ก X2 = จำนวนเครื่องจักร ประเภท ข สมการเป้าหมาย Max Z = 87,500X ,000X2 ข้อจำกัด 75X X2 > 6, X X2 < 24, X X2 < 30, X1, X2 > 0

21 การแก้ปัญหาของตัวแปร
1. วิธีกราฟ ใช้ในกรณีที่ตัวแปรมี 2 ตัวเท่านั้น 2. วิธีซิมเพล็ก ใช้หาค่าตัวแปรโดยไม่จำกัด จำนวน

22 วิธีแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นด้วยวิธีกราฟ
1. นำตัวแบบที่สร้างสมบูรณ์แล้วมาพิจารณา 2. กำหนดแกนตั้งและแกนนอนของตัวแปร X1, X2 (แกนตั้ง X2 แกนนอน X1) 3. นำข้อจำกัดทุกข้อ มาหาค่าเพื่อสร้างกราฟ

23 < > X1 < > X1 < > X1
4. หาบริเวณพื้นที่คำตอบที่เป็นไปได้ ภายใต้เงื่อนไขทุกข้อ X X X2 < > X < > X < > X1 5. หาค่าที่ดีที่สุด ภายใต้เป้าหมายที่ตั้งเอาไว้ (Optimal Solution)

24 สมการเป้าหมาย Max Z = 8X1 + 6X2

25 2X1 + 4X2 < 48 X1, X2, > 0 2. สร้างแกนของกราฟ
ข้อกำหนดของตัวแปรมีค่าไม่ติดลบ X1, X2, > 0 2. สร้างแกนของกราฟ โดยให้ X1 (โต๊ะ) แทนแกนนอน X2 (เก้าอี้) แทนแกนตั้ง X2 X1

26 3. นำข้อจำกัดมาหาค่าเพื่อสร้างกราฟ
3.1 4X1 + 2x2 < 60 ถ้า X1 = 0 ; 4(0) + 2X2 = 60 X2 = 30 ถ้า X2 = 0 ; 4X1 + 2 (0) = 60 X1 = 15

27 3.2 2X1 + 4X2 < 48 ถ้า X1 = 0 ; 2(0) + 4X2 = 48 X2 = 12

28 4X1 + 2X2 < 60 2X1 + 4X2 < 48 X2 X1 (0,30) A (0,12) E C (24,0)
X1 C (24,0) B (15,0)

29 4X1 + 2X2 < 60 2X1 + 4X2 < 48 X2 D (12,6) X1 (0,30) A (0,12) E
X1 C (24,0) B (15,0)

30 4. หาจุดตัดของสมการ ที่ จุด D 4X1 + 2X2 = … X1 + 4X2 = … x 1 8X1 + 4X2 = … X1 = X1 = 12

31 แทนค่า X1 = 12 ในสมการที่ 1 4(12) + 2X2 = 60 48 + 2X2 = 60 X2 = 6 จุด D คือ (12 , 6)

32 5. เลือกค่าที่ดีที่สุด (Optimal Solution) นำจุดมุมทุกจุดที่อยู่ในพื้นที่คำตอบแทนค่าในสมการเป้าหมาย Max Z = 8X1 + 6X จุด E (0,12) = 8(0) + 6(12) = D (12,6) = 8(12) + 6(6) = B (15,0) = 8(15) + 6(0) = O (0,0) = 8(0) + 6(0) = ที่ จุด D : X1 = , X2 = ให้ค่า Z สูงสุด = 132

33 สรุป ผลิตโต๊ะ X1 = 12 ตัว/สัปดาห์ ผลิตเก้าอี้ X2 = 6 ตัว/สัปดาห์
จะได้กำไรสูงสุด = 132 บาท/สัปดาห์

34 ตัวอย่าง 3.4 บริษัท Pen-Pencil ผลิตดินสอ และปากกาออกจำหน่าย ดินสอได้กำไรแท่งละ 4 บาท ปากกาได้กำไร 6 บาท ในการผลิตปากกา และดินสอต้องใช้วัตถุดิบ 2 ชนิด (A, B) ดินสอ 1 แท่ง ใช้วัตถุดิบ A จำนวน 1 หน่วย วัตถุดิบ B จำนวน 6 หน่วย ปากกา 1 แท่ง ใช้วัตถุดิบ A จำนวน 2 หน่วย วัตถุดิบ B จำนวน 4 หน่วย ถ้าในสัปดาห์หน้าทางบริษัทมีวัตถุดิบ A เพียง 8 หน่วย และมีวัตถุดิบ B เพียง 24 หน่วย บริษัทควรวางแผนการผลิตอย่างไร เพื่อให้ได้กำไรสูงสุด