Number Theory (part 1) ง30301 คณิตศาสตร์ดิสครีต

จำนวนเต็มกับการหารลงตัว

Q: Which of the following is true? 77 | 7 7 | 77 24 | 24 0 | 24 24 | 0

A: 77 | 7: false because bigger number can’t divide smaller positive number 7 | 77: true because 77 = 7 · 11 24 | 24: true because 24 = 24 · 1 0 | 24: false, only 0 is divisible by 0 24 | 0: true, 0 is divisible by every number (0 = 24 · 0)

จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers) 11 79 15 1001 51

Programming จงเขียนโปรแกรมตรวจสอบว่า จำนวนเต็มบวก N เป็นจำนวน เฉพาะหรือไม่ ตัวอย่าง Input N: 13 It is a prime number. Input N: 12 It is NOT a prime number.

ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต

การพิจารณาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากๆ ว่าเป็น จำนวนเฉพาะหรือไม่ ? จะได้ว่า ถ้า n ไม่มีตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะ p ซึ่ง แล้วจะได้ว่า n จะเป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่าง 103 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ คือ 2, 3, 5 และ 7 เนื่องจาก 2, 3, 5 และ 7 หาร 103 ไม่ลงตัว ดังนั้น 103 เป็นจำนวนเฉพาะ 693 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ คือ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 และ 23 เนื่องจาก 3 หาร 693 ลงตัว ดังนั้น 693 เป็น จำนวนประกอบ

ทำแบบฝึกหัดข้อ 3 และ 4 สุ่มผู้โชคดีตอบ แบบฝึกหัด 8 คน

จงหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของ 77077 มาทั้งหมด

จงหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของ 77077 มาทั้งหมด

จงหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของ 77077 มาทั้งหมด ดังนั้นจะได้ 77077 = 77 11 11 13 = 72 112 13

ทำแบบฝึกหัดข้อ 7 สุ่มผู้โชคดีตอบ แบบฝึกหัด 4 คน

ขั้นตอนวิธีการหาร เรียก a ว่า ตัวตั้ง เรียก b ว่า ตัวหาร เรียก q ว่า ผลหาร เรียก r ว่า เศษที่เหลือจากการหาร a ด้วย b

ตัวอย่าง จงหาเศษ r จากการหาร a = bq + r หาร 400 ด้วย 120 เนื่องจาก 400 = 120(3)+40 ดังนั้น r = 40 หาร 140 ด้วย -72 เนื่องจาก 140 = -72(-1) + 68 ดังนั้น r = 68 หาร 5 ด้วย 7 เนื่องจาก 5 = 7(0) + 5 ดังนั้น r = 5 ทำแบบฝึกหัดข้อ 5 สุ่มผู้โชคดีตอบคำถาม 4 คน

ตัวหารร่วมมาก The greatest common divisor (GCD) (3, 9) = (-6, 15) = (10, 15) = (-7, 0) = (-8, 16) = (17, 13) = (6, 15) = (42, 56) = 3 5 7 8 1 14

ข้อสังเกต

บทนิยาม 4.5 (28, 5) (17, 28) (8, 56) (13, 65) เป็นจำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อม กัน จะกล่าวว่า a และ b เป็นจำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1 (28, 5) (17, 28) (8, 56) (13, 65) เป็นจำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์ ไม่เป็นจำนวน เฉพาะสัมพัทธ์

บทนิยาม 4.6 จะกล่าวว่าจำนวนเต็ม a1, a2, …, an เป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เป็นคู่ ก็ต่อเมื่อ (ai, aj) = 1 โดยที่ จงพิจารณาว่าจำนวนที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ ต่อไปนี้เป็นจำนวนสัมพัทธ์เป็นคู่หรือไม่ 17, 35, 64 3, 5, 11 38, 43, 99 19, 29, 39, 49

วิธีหา ห.ร.ม. โดยใช้รูปแบบบัญญัติ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์และ เขียนอยู่ในรูปแบบบัญญัติ จะได้ว่า

ตัวคูณร่วมน้อย The least common multiple (LCM) [3, 6] = [6, 10] = [15, 20] = [12, 10] = [8, 4] = [11, 5] =

วิธีหา ค.ร.น. โดยใช้รูปแบบบัญญัติ ให้ a และ b เป็นจำนวนบวกและเขียนอยู่ใน รูปแบบบัญญัติ จะได้ว่า

พิจารณา (24, 36) = 12 และ [24, 36] = 72 จะสังเกตว่า 2436 = 864 1272 = 864 นั่นคือ (24, 36)[24, 36] = 2436 = 864 ทฤษฎีบท 4.8 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า ab = (a, b)[a, b]

ทำแบบฝึกหัดบทที่ 4 ข้อ 21 สุ่มผู้โชคดีตอบ แบบฝึกหัด 4 คน

Programming (ch4_1.cpp)เขียนโปรแกรมแสดงตัว ประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของเลข จำนวนเต็มบวก N (ch4_2.cpp) เขียนโปรแกรมรับเลข จำนวนเต็ม 3 ตัวแล้วตรวจสอบว่าเป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ (pairwise relatively prime)หรือไม่