ความต่อเนื่องแบบเอกรูป (Uniform Continuity)
เราได้ทราบแล้วว่า ถ้า f : D เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซต D แต่ละ x0 ที่เป็นจุดลิมิตของ D ทำให้ f(x) = f(x0) หรือกล่าวในรูปแบบ และ ได้ดังนี้ สำหรับ > 0 จะมี > 0 ซึ่ง | x – x0 | < , xD ที่ทำให้ | f(x) – f(x0) | < ซึ่งโดยทั่วไป จะขึ้นอยู่กับ และ x0
พิจารณา f(x) = 2x + 1, x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ | f(x) – f(x0) | = 2 | x – x0 | ให้ > 0 เลือก = สำหรับทุกค่าของ x0 สอดคล้องกับนิยามความต่อเนื่องเสมอ แต่เมื่อพิจารณา g(x) = , xD , D = { x | x > 0 } g(x) – g(x0) = – = เลือก = min { , } ..........(1)
ถ้า | x – x0 | < จะได้ | x – x0 | < และ < ดังนั้นถ้า | x – x0 | < ทำให้ | g(x) – g(x0) | = ( )| x – x0 |
เป็นผลให้ ถ้า | x – x0 | < ทำให้ | g(x) – g(x0) | < ( )( ) = ใน (1) การเลือกค่า เป็นค่าที่ทำให้ | g(x) – g(x0) | < เมื่อ | x – x0 | < และ x, x0 D จะเห็นว่า ที่เลือกนั้น ขึ้นอยู่กับ x0 ซึ่งไม่สามารถทำให้ ขึ้นอยู่กับเฉพาะ สำหรับทุก x0D
{ 2 { 2 2 1 g(x) = , x > 0
รูป แสดงกราฟ g(x) = ที่เมื่อกำหนด สำหรับฟังก์ชัน g 2 กรณี เมื่อ x0 = 2 , g(2) = และ x0 = , g( ) = 2 ค่า ที่ใหญ่สามารถเลือกได้ต่างกัน และยิ่ง x0 เข้าใกล้ 0 ค่า จะเล็กมากๆเข้าใกล้ 0 ด้วย
บทนิยาม 4.6.1 ฟังก์ชัน f : DR เป็น ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบเอกรูป บน E D ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆ > 0 จะมี > 0 ซึ่งถ้า x, yE และ | x – y | < แล้ว | f(x) – f(y) | < ทฤษฎีบท 4.6.2 Uniform Continuity Theorem ให้ f : [ a, b ] เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [ a, b ] แล้ว f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบเอกรูปบน [ a, b]