โครงสร้างทางคณิตศาสตร์และการให้เหตุผล (Mathematical Structure and Reasoning) Chanon Chuntra

ธรรมชาติของวิชาคณิตศาสตร์ 1. โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ 2. กระบวนการให้เหตุผล

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ (ระบบ) โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ (ระบบ) คำอนิยาม (Undefined term) คำนิยาม (Defined term) สัจพจน์ (Axiom, Postulate) ทฤษฎีบท (Theorem)

คำอนิยาม คำซึ่งเป็นสามัญขั้นพื้นฐานที่เราไม่สามารถให้คำจำกัดความหรือหาคำอื่นมาอธิบายความหมายได้ ตัวอย่างเช่น จุด เส้นตรง ระนาบ เซต สมาชิก เป็นสมาชิก

คำนิยาม คำนิยามที่ใช้คำอนิยามล้วน ๆ มาช่วยในการอธิบายความหมาย “ รูปสามเหลี่ยม ” คือ รูปที่ประกอบด้วยจุด 3 จุด และเส้นตรง 3 เส้น และแต่ละเส้นมีจุดที่ปลาย 2 จุด และทั้ง 3 จุด ไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

คำนิยาม (ต่อ) คำนิยามที่ใช้คำนิยามที่มีมาก่อนแล้วมาช่วยในการอธิบายความหมาย “ รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ” คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 2 ด้านยาวเท่ากัน

หลักเกณฑ์ในการสร้างบทนิยาม 1. บทนิยามที่ดีต้องระบุสมบัติที่เด่นชัดลงไปให้เห็น เพื่อที่จะทำให้เข้าใจได้ง่ายและชัดเจน 2. บทนิยามที่ดีต้องสั้น กะทัดรัด และประหยัดคำ 3. บทนิยามของคำคำหนึ่งจะต้องมีเพียงแบบเดียวเท่านั้น

หลักเกณฑ์ในการสร้างบทนิยาม 4. บทนิยามที่ดีจะต้องย้อนกลับได้ 5. บทนิยามที่ดีต้องประกอบด้วยคำอนิยามหรือคำนิยามที่มีมา ก่อนแล้ว

หลักเกณฑ์ในการสร้างบทนิยาม 6. บทนิยามที่ดีจะต้องไม่มีข้อโต้แย้ง 7. บทนิยามที่ดีเมื่อกำหนดขึ้นมาในระบบหนึ่งแล้วจะต้องบอกได้ว่ามีอะไรเป็นหรือไม่เป็นตามบทนิยามนั้น

สัจพจน์ เป็นข้อความที่ตกลงหรือยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ สัจพจน์แยกได้เป็น 3 แบบ คือ (1) สมมติฐาน / ข้อสมมติ (2) สิ่งที่เห็นจริงแล้ว (3) ข้อตกลงหรือกติกา

ทฤษฎีบท ข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงโดยอาศัยอนิยาม นิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบทที่มีมาก่อน

กระบวนการให้เหตุผล กระบวนการซึ่งนำเอาข้อความหรือปรากฏการณ์ต่างๆที่เป็น เหตุ (ข้อกำหนด) (Hypothesis) อาจจะหลายอันมาวิเคราะห์และแจกแจงแสดงความสัมพันธ์หรือความต่อเนื่องเพื่อทำให้เกิดข้อความใหม่หรือปรากฏการณ์ใหม่ ๆ ขึ้นซึ่งเรียกว่า ข้อสรุป (ผล/ข้อยุติ) (Conclusion)

กระบวนการให้เหตุผล 1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย 1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning or Induction) 2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning or Deduction)

การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลโดยสรุปผลมาจากเหตุย่อย ๆ หลาย ๆ เหตุ หรือความรู้ย่อย ๆ หลาย ๆ ความรู้ หรือกรณีเฉพาะหลาย ๆ กรณี โดยที่แต่ละเหตุหรือความรู้นั้นเป็นอิสระต่อกัน แล้วนำมาสรุปผลเป็นกรณีทั่วไป

การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นวิธีการให้เหตุผลโดยสรุปผลจากเหตุใหญ่หรือข้อความรู้ใหญ่หรือข้อความรู้ที่เป็นแม่บทมาเป็นข้อความรู้ย่อย(ผลสรุป) การให้เหตุผลแบบนี้พบมากในวิชาคณิตศาสตร์ โดยจะนำเอานิยาม สัจพจน์ และหลักการทางตรรกศาสตร์มาช่วยให้ได้ผลสรุป ซึ่งถ้าหากสรุปสมเหตุสมผล (valid) ก็จะเกิดเป็นกฎหรือทฤษฎีบทตามมา