บทที่ 2 ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ Vector Functions

เวกเตอร์ของฟังก์ชันตัวแปรเดี่ยว ในสองมิติ ในสามมิติ เมื่อ f(t), g(t) และ h(t) คือ ฟังก์ชันองค์ประกอบของ เวกเตอร์ r (component functions)

ทบทวน 1. จงหาโดเมนของ วิธีทำ ในองค์ประกอบแรกค่าของ t เป็นไปได้ทุกจำนวน ในองค์ประกอบที่สองค่าของ t จะพิจารณาจาก 4 – t > 0 (ค่าตัวเลขหลัง log ต้องเป็นบวก) นั่นคือ t < 4 และในองค์ประกอบสุดท้าย พิจารณาจาก t + 1  0 นั่นคือ t  - 1

ดังนั้น โดเมนของเวกเตอร์ r คือ R  t < 4  t -1 หรือ 2. จงวาดกราฟของ

Calculus with Vector Functions

Calculus with Vector Functions ตัวอย่าง จงหา ของ Calculus with Vector Functions

Calculus with Vector Functions วิธีทำ จาก Calculus with Vector Functions

Calculus with Vector Functions 2. ตัวอย่าง จงหา ของ Calculus with Vector Functions

Calculus with Vector Functions วิธีทำ จาก Calculus with Vector Functions

กฏการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ Calculus with Vector Functions

Calculus with Vector Functions 3. Calculus with Vector Functions

ตัวอย่าง จงหา ของ วิธีทำ จาก

ตัวอย่าง จงหา ของ วิธีทำ จาก

เวกเตอร์สัมผัสและเวกเตอร์สัมผัสหนึ่งหน่วย ถ้า เป็นเส้นโค้งที่กำหนดโดย s จะได้ว่า

กำหนดให้ โดยจะเรียก ว่าเวกเตอร์สัมผัสหนึ่งหน่วย (unit tangent vector) และเรียก ว่าเวกเตอร์สัมผัส (tangent vector)

ตัวอย่าง จงหาเวกเตอร์สัมผัสหนึ่งหน่วยของ ตัวอย่าง จงหาเวกเตอร์สัมผัสหนึ่งหน่วยของ วิธีทำ จาก

จาก

ตัวอย่าง จงหาเวกเตอร์สัมผัสหนึ่งหน่วยของ

ตัวอย่าง จงหาเวกเตอร์สัมผัสหนึ่งหน่วยของ

ความยาวส่วนโค้ง (Arc Length) ถ้า เป็นเส้นโค้งใน 3 มิติ ความยาวเส้นโค้ง เมื่อ จะหาได้จาก หรือ

ตัวอย่าง จงหาความยาวส่วนโค้งของ ตัวอย่าง จงหาความยาวส่วนโค้งของ วิธีทำ จาก

ดังนั้น

ตัวอย่าง จงหาความยาวส่วนโค้งของ ตัวอย่าง จงหาความยาวส่วนโค้งของ

ตัวอย่าง จงหาความยาวของส่วนโค้ง ตัวอย่าง จงหาความยาวของส่วนโค้ง

ความโค้ง (Curvature) ค่าความโค้ง k สามารถหาได้จาก

ตัวอย่าง จงหาค่าความโค้งของ ตัวอย่าง จงหาค่าความโค้งของ วิธีทำ จาก

จาก

จาก

ตัวอย่าง จงหาค่าความโค้งของ ตัวอย่าง จงหาค่าความโค้งของ

การบ้าน กำหนด จงหา 1. เวกเตอร์สัมผัส 2. เวกเตอร์สัมผัสหนึ่งหน่วย จงหา 1. เวกเตอร์สัมผัส 2. เวกเตอร์สัมผัสหนึ่งหน่วย 3. ความยาวของเส้นโค้ง ในช่วง 4. ค่าความโค้งเมื่อ

Divergence and Curl สนามเวกเตอร์(Vector Field) คือฟังก์ชันซึ่งกำหนดเป็น เวกเตอร์ค่าหนึ่งสำหรับจุดแต่ละจุดในโดเมนเพียงเวกเตอร์เดียว สนามเวกเตอร์ใน 2 มิติ จะเขียนในรูป สนามเวกเตอร์ใน 3 มิติ จะเขียนในรูป

Divergence Divergence ในสนามเวกเตอร์ F จะเขียนแทนด้วย โดยที่

จงหา ตัวอย่าง เมื่อกำหนด วิธีทำ จาก

ตัวอย่าง เมื่อกำหนด จงหา

ตัวอย่าง จงหา เมื่อกำหนด

Curl Curl ในสนามเวกเตอร์ F จะเขียนแทนด้วย โดยที่

ตัวอย่าง จงหา เมื่อกำหนด วิธีทำ จาก

ตัวอย่าง จงหา เมื่อกำหนด ตัวอย่าง จงหา เมื่อกำหนด

ตัวอย่าง จงหา และ เมื่อกำหนด

ตัวอย่าง จงหา และ เมื่อกำหนด

การบ้าน 1. กำหนด จงหา 1. เวกเตอร์สัมผัส 2. เวกเตอร์สัมผัสหนึ่งหน่วย จงหา 1. เวกเตอร์สัมผัส 2. เวกเตอร์สัมผัสหนึ่งหน่วย 3. ความยาวของเส้นโค้ง 4. ค่าความโค้ง เมื่อ t = 

การบ้าน 1. กำหนด จงหา 1. ที่จุด (2,3,4) 2.