การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ จัดทำโดย นายศิรสิทธิ์ แสงอบ ม.4/3 เลขที่6 เสนอ อาจารย์ ชัยสิทธิ์ พงษ์พัฒน์
การพิสูจน์ (Proof) ข้อความทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่อยู่ในรูปประโยคเงื่อนไข ในการพิสูจน์ว่า ประโยคเงื่อนไขเป็นจริงหรือไม่นั้น จะต้องให้เหตุผลเพื่อแสดงว่า เมื่อ เหตุ เป็นจริง แล้ว เหตุ นั้นทำให้เกิดผลที่เป็นจริงเสมอหรือไม่โดยใช้ความรู้ต่าง ๆ เช่น บทนิยาม สมบัติเกี่ยวกับจำนวน และสมบัติทางเรขาคณิตมาประกอบ ถ้าเหตุทำให้ผลทีเป็นจริง เสมอ ก็จะเป็นการพิสูจน์ได้ว่าประโยคเงื่อนไขนั้นเป็นจริง แต่ถ้าเหตุไม่ได้ทำให้เกิดผลที่ เป็นจริงเสมอ ก็จะเป็นการพิสูจน์ได้ว่าประโยคเงื่อนไขนั้นไม่เป็นจริง
การพิสูจน์ทางตรง (Direct Proof) เป็นขบวนการตรวจสอบความถูกต้อง ความเป็นเหตุผล ของประโยคทางคณิตศาสตร์โดย อาศัยหลักการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ 1.1 สิ่งที่เห็นจริง (Axiom) เป็นความจริงที่ยอมรับกันโดยไม่ต้องพิสูจน์และใคร ๆ อ่านดูก็ไม่มี ข้อโต้แย้งใด ๆ
1.2 คำนิยามและหลักการเบื้องต้น (Definition and First Principles) จำเป็นต้องรู้ความหมายของสิ่งต่าง ๆ และหลักการเบื้องต้นการพิสูจน์ 1.3 ข้อตกลงเบื้องต้นหรือสัจพจน์(Postulates) เช่น เส้นตรง เกิดจากการลากเส้นเชื่อมจุดสองจุดที่กำหนด การสร้างวงกลม อาจสร้างเมื่อกำหนดจุดคงที่ให้จุดหนึ่ง และความยาวของรัศมีของวงกลม นั้น
1.4 ทฤษฎีบท (Theorem) หมายถึง ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เสนอขึ้นมาและต้องมีการพิสูจน์ให้เห็นจริงว่าสมเหตุผล (Valid) การพิสูจน์จำเป็นต้องอาศัยสิ่งที่เห็นจริง , คำนิยาม , ข้อตกลงเบื้องต้นหรือทฤษฎีบทเดิมที่ พิสูจน์แล้วมาใช้เหตุผลประกอบการพิสูจน์
ตัวอย่างการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ กำหนดให้ a เป็นจำนวนเต็ม จงพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว a2 เป็นจำนวนเต็มคู่ พิสูจน์ กำหนด a เป็นจำนวนเต็มใดๆ ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a = 2n ; n ∈R พิจารณา a2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2) เพราะว่า n ∈ R ดังนั้น 2n2 ∈ R ทำให้ a2 เป็นจำนวนเต็มคู่ ดังนั้น ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว a2 เป็นจำนวนเต็มคู่ เป็นจริง