อนุพันธ์ของเวคเตอร์ อนุพันธ์ธรรมดาของเวคเตอร์ (Ordinary of Vectors) 1.1 ให้ ขึ้นกับตัวแปร u เพียงตัวเดียว ดังนั้น

Ex.1 a) จงหา และ ถ้า b) จงหา และ ถ้า c) ให้ จงหา และ d) ให้ จงหา

ถ้า เป็นเวคเตอร์ตำแหน่งของวัตถุ P ที่กำลัง เคลื่อนที่ตามเวลา t แล้ว ความเร็ว และ ความเร่งของวัตถุ

Ex.2 วัตถุเคลื่อนที่ตามเส้นโค้ง ที่มีสมการพาราเมตริกซ์ เมื่อ แทนเวลา จงหาความเร็วและความเร่งเมื่อเวลา ใดๆ จงหาองค์ประกอบของความเร็ว และความเร่งที่เวลา

1.2 เส้นโค้งในอวกาศ ถ้า เป็นเวคเตอร์ ตำแหน่งของจุด P(x,y,z) แล้ว เมื่อ u เปลี่ยนค่า จุด P จะ เคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งในอวกาศ เวคเตอร์ที่สัมผัสเส้นโค้งนั้น ถ้า S เป็นความยาวเส้นโค้ง เวคเตอร์ 1 หน่วย

Ex.3 1) กำหนดให้ เป็นเวคเตอร์คงที่ จงแสดงว่า ตั้งฉากกับอนุพันธ์ของ เมื่อขนาดของ อนุพันธ์ ไม่เป็นศูนย์ 2) ให้ C เป็นเส้นโค้งของเวคเตอร์ฟังก์ชัน ซึ่ง จงหาสมการเส้นสัมผัสของ เส้นโค้งที่จุด t=1

1.3 ความยาวเส้นโค้งในอวกาศ การหาเวคเตอร์หนึ่งหน่วยที่สัมผัสเส้นโค้งอาจหาจาก (กฎลูกโซ่) หรือ (เวคเตอร์ 1 หน่วย)

ดังนั้น ความยาวเส้นโค้ง

Ex.4 จงหาเวคเตอร์หนึ่งหน่วยที่สัมผัสเส้นโค้ง ที่จุดใดๆ

Ex.5 จงหาความยาวของเส้นโค้ง ระหว่าง และ

1.4 สูตรการหาอนุพันธ์ของเวคเตอร์ “ฟังก์ชัน สเกลลาร์หรือเวคเตอร์) ที่หาอนุพันธ์ได้ จำเป็นต้องต่อเนื่อง แต่บทกลับไม่จริง” ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่หาอนุพันธ์ของตัวแปร สเกลลาร์ u และ เป็นสเกลลาร์ แล้ว

อนุพันธ์ย่อยของเวคเตอร์ (Partial Derivative of Vector) 2.1 การหาอนุพันธ์ย่อย ถ้า เป็นเวคเตอร์ขึ้นกับตัวแปรมากกว่า 1 ตัว เช่น มี 3 ตัวแปร คือ x,y,z ได้ อนุพันธ์ย่อยของ เทียบกับ x คือ อนุพันธ์ย่อยของ เทียบกับ y คือ อนุพันธ์ย่อยของ เทียบกับ z คือ

อนุพันธ์ย่อยอันดับสูงๆ เช่น เป็นต้น สูตรในการหาอนุพันธ์ย่อยเช่นเดียวกับ อนุพันธ์ธรรมดา

Ex.6 จงหา ที่จุด (1,2,-1) เมื่อ และ

Ex.7 กำหนดให้ จงหา

2.2 ดิฟเฟอร์เรนเชียลของเวคเตอร์ มีสูตรดังนี้ ถ้า แล้ว 2) 3) 4) ถ้า แล้ว

Ex.8 จงหาเวคเตอร์ 1 หน่วยที่ตั้งฉากกับผิว เมื่อ a > 0

Ex.9 จงหาสมการของระนาบที่สัมผัสผิว ที่จุด (1,-1,2)

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ความยาว นิยาม ความโค้ง (Curvature) ของส่วนโค้ง คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของมุม เทียบกับความยาวของส่วนโค้ง

จากรูป ดังนั้น เรียกว่ารัศมีความโค้ง

ความโค้งน้อย รัศมีมาก ความโค้งมาก รัศมีน้อย

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ถ้าโค้ง C แทนด้วยสมการ และ S เป็นความยาวเส้นโค้งที่วัดจากจุดคงที่ เวคเตอร์ 1 หน่วยที่สัมผัสเส้นโค้ง C Curvature ของเส้นโค้ง C ซึ่งมีทิศทาง ตั้งฉากกับโค้งที่จุดนั้นๆ เมื่อ = ความโค้ง (Curvature) ของโค้งที่จุดนั้นๆ

= เวคเตอร์แนวฉากมุขสำคัญ ขนาด 1 หน่วย (Principle Normal) รัศมีความโค้ง (Radius of Curvature) เวคเตอร์คู่แนวฉาก (Binormal) ของเส้นโค้ง

สูตรของ เฟรอเนต์-แซร์เรต์ แสดงความสัมพันธ์ ของ 3 เวคเตอร์ เมื่อ = ความบิด (Torsion) เป็นสเกลลาร์ = รัศมีความบิด (Radius of Torsion)

ระนาบต่างๆ 1. ระนาบสัมผัสประชิด (Osculating Plane) 2. ระนาบแนวฉาก (Normal Plane) 3. ระนาบเรคติไฟ (Rectifying Plane) Osculating Plane Rectifying Plane Normal Plane

Ex. จงวาดรูปเส้นโค้ง และจงหา เวคเตอร์ 1 หน่วยสัมผัสเส้นโค้ง เวคเตอร์แนวฉากมุขสำคัญ , ความโค้ง , รัศมีความโค้ง เวคเตอร์คู่แนวฉาก (Binormal) , ความบิด , รัศมีความบิด

รูป Helix

Ex. ให้เส้นโค้ง จงหา ความโค้ง (Curvature ) ความบิด (Torsion ) เวคเตอร์หนึ่งหน่วยสัมผัสเส้นโค้ง เวคเตอร์แนวฉากมุขสำคัญขนาด 1 หน่วย และเวคเตอร์คู่แนวฉาก เมื่อ t=1 สมการระนาบสัมผัสประชิด (Osculating Plane) ระนาบแนวฉาก (Normal Plane) และระนาบเรคติไฟ (Rectifying Plane) เมื่อ t=1

Ex. จงแสดงว่า

ความเร่ง (Acceleration)

จงหาอัตราเร่งตามแนวสัมผัส และอัตราเร่งตามแนวฉาก ณ เวลาใดๆ Ex การเคลื่อนที่ของวัตถุตามเวลา t ใดๆ กำหนดด้วยสมการ จงหาอัตราเร่งตามแนวสัมผัส และอัตราเร่งตามแนวฉาก ณ เวลาใดๆ

เวคเตอร์

ลองทำดู!!!! 1. ถ้า และ จงหา 2. จงหาเวคเตอร์หนึ่งหน่วยสัมผัสเส้นโค้ง เมื่อ t=1

ลองทำดู!!!! 3. จงหาความยาวของเกลียว ในช่วง ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ตามเส้นโค้ง แล้ว จงแสดงว่าความเร่ง