Chapter 5: Probability distribution of random variable การแจกแจงความน่าจะเป็น ของตัวแปรสุ่ม

เนื้อหา: ตัวแปรสุ่ม (Random variable) การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม (Probability distribution of random variable)

ตัวแปรสุ่ม (Random Variable) เป็นการเปลี่ยนสมาชิกในสเปซตัวอย่างให้เป็นเลข จำนวนจริงหรือถ้ากล่าวในเชิง คณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่ม คือ ฟังก์ชันที่ map สมาชิกแต่ละ ตัวใน Sample space ไปยัง Real number เช่น โยน เหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง S = {HH,HT,TH,TT} ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญดังกล่าว

ตัวแปรสุ่ม แบ่งเป็น 2 ลักษณะ คือ 1. ตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง (Discrete random variable) 5. ตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง (Continuous random variable)

ตัวแปรสุ่มชนิด ไม่ต่อเนื่อง (Discrete random variable) เป็นตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้มีจำนวนจำกัดหรือไม่ จำกัดแต่นับได้เช่น ตัวแปรสุ่ม X มีค่าที่เป็นไปได้ = 0, 1, 2 ตัวแปรสุ่ม Y มีค่าที่เป็นไปได้ = 0, 1, 2,…… ตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง (Continuous random variable) เป็นตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้มีจำนวนไม่จำกัดและนับได้ไม่ถ้วน มีค่าต่างๆ อยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง เช่น ตัวแปรสุ่ม X มีค่าอยู่ระหว่าง 0-1 หรือเขียนได้ว่า 0<X<1 เป็นต้น

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ ต่อเนื่อง ที่จะกล่าวในบทนี้คือ - การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution) - การแจกแจงปัวส์ซอง (Poisson Distribution) การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ที่จะกล่าวในบทนี้คือ - การแจกแจงปกติ (Normal Distribution)

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

(Binomial Distribution) การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution)

Bernoulli Trial เป็นลักษณะการทดลองเชิงสุ่มครั้งหนึ่งๆ ซึ่งจะมีผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้เพียงสองอย่างเท่านั้น หรือมีผลลัพธ์ที่เป็นไป ได้หลายอย่างแต่แบ่งเป็นสองพวก คือ พวกที่สนใจ (Success) และพวกที่ไม่สนใจ (Failure) เช่น - การตรวจหา group เลือด มี group A, B, AB, O ถ้าขณะนั้นต้องการเลือด group B ดังนั้น group B จะเป็น group ที่สนใจ group อื่นๆ เป็นผลลัพธ์ที่เราไม่สนใจ - การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 1, 2, 3, 4, 5, 6 เราสนใจแต้ม 3 ผลลัพธ์ปรากฏแต้ม 3 ถือว่า เกิดเหตุการณ์ที่เรา สนใจ (Success) ผลลัพธ์ปรากฏแต้มอื่น ๆ ที่ไม่ใช่แต้ม 3 ถือว่า เกิด เหตุการณ์ที่เราไม่สนใจ (Failure)

Binomial Experiment 1. ทำการทดลองแบบ Bernoulli ซ้ำๆ กัน n ครั้ง 5. การทดลองแต่ละครั้งอิสระกัน 3. ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่เราสนใจใน แต่ละครั้งคงที่ เท่ากับ p นั่นคือ P(Success) = p (ในแต่ละครั้งคงที่) และ P(Failure) = q หรือ 1 - p ซึ่ง p+q = 1

ถ้ากำหนดตัวแปรสุ่ม X โดยให้ X แทน จำนวนครั้งของการเกิดเหตุการณ์ที่เราสนใจ (Success) จากการทำ การทดลอง n ครั้ง X มีค่าที่เป็นไปได้คือ 0 , 1, 2, 3, …. , n เรียก X ว่าเป็นตัวแปรสุ่มทวินาม (Binomial Random Variable) และการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X จะเรียกว่า การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution)

Definition เมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่มทวินาม ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ของตัวแปรสุ่ม X ถูกกำหนดดังนี้ ซึ่ง n เป็นจำนวนครั้งของการทดลอง p และ q เป็นความน่าจะเป็นของการเกิด เหตุการณ์ที่สนใจ (Success) และไม่สนใจ(Failure)ของ การทดลองแต่ละครั้งตามลำดับและ p+q = 1 เขียนแทนสั้น ๆ ได้ว่า X ~ B(n, p)

ตัวอย่าง 5.1 โยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 4 ครั้ง ตัวอย่าง 5.1 โยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 4 ครั้ง ให้ X แทนจำนวนครั้งของการเกิดหัวจากการโยน เหรียญ 4 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็น ก. เหรียญขึ้นหัว 2 ครั้ง ข. เหรียญขึ้นหัว 2 ถึง 4 ครั้ง ค. เหรียญขึ้นหัวอย่างมาก 2 ครั้ง ง. เหรียญขึ้นหัวอย่างน้อย 2 ครั้ง

ตัวอย่าง 5.2 ถ้า 3 ใน 5 ของคนในเมืองหนึ่งมี I.Q สูงกว่า 85 จงหาความน่าจะเป็นที่คน 5 คน ที่เลือกมาอย่างสุ่มนั้น ก. มี I.Q สูงกว่า 85 จำนวน 2 คน ข. มี I.Q สูงกว่า 85 อย่างน้อย 1 คน ค. มี I.Q น้อยกว่าหรือเท่ากับ 85 ทุกคน **** ฝึกปฏิบัติ

Expected Value and Variance of the Binomial Distribution

ตัวอย่าง 5. 3 ทราบว่า 3 ใน 5 ของคนในเมืองหนึ่งมี I ตัวอย่าง 5.3 ทราบว่า 3 ใน 5 ของคนในเมืองหนึ่งมี I.Q สูงกว่า 85 ถ้าในเมืองนี้มีคน 200 คน อยากทราบว่า ก. เฉลี่ยแล้วในเมืองนี้จะมีคนที่ I.Q สูงกว่า 85 คน กี่คน ข. ค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น เท่าใด

ตัวอย่าง 5.4 ฝ่ายตรวจสอบคุณภาพสินค้า ของบริษัทหนึ่งใช้วิธีการสุ่มตัวอย่างสินค้า มาตรวจสอบกล่องละ 20 ชิ้น ถ้าในกล่อง นั้นมีสินค้าชำรุด 20% จงหาค่าเฉลี่ยและค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานของ สินค้าที่ชำรุด **** ฝึกปฏิบัติ

(Poisson Distribution) การแจกแจงปัวส์ซอง (Poisson Distribution)

Poisson Distribution การแจกแจงนี้ประยุกต์กับการทดลองที่ตัวแปรสุ่ม แสดงถึงจำนวนครั้งของเหตุการณ์ ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง พื้นที่ใดพื้นที่หนึ่ง หรือ อาณา - บริเวณใดบริเวณหนึ่ง ที่กำหนดให้ เช่น - จำนวนครั้งของโทรศัพท์ที่เรียกเข้ามายังสำนักงาน แห่งหนึ่งในช่วงเวลา 1 นาที - จำนวนตั๊กแตนต่อพื้นที่ปลูกข้าว 10 ไร่ - จำนวนอุบัติเหตุบนถนนสายหนึ่งในช่วง 1 สัปดาห์ - จำนวนรอยตำหนิบนพรมที่มีความยาว 1200 ฟุต

ถ้าให้ X แทนจำนวนครั้งของการเกิดเหตุการณ์ที่ สนใจในช่วงเวลาที่กำหนดให้ X มีค่าที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, …… X จะเป็นตัวแปรสุ่มปัวส์ซอง (Poisson Random Variable) ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มปัวส์ซองฟังก์ชันความน่าจะเป็น ของตัวแปรสุ่ม X ถูกกำหนด ดังนี้ Definition

ตัวอย่าง 5.5 พื้นที่ปลูกข้าวแห่งหนึ่ง พบว่ามีตั๊กแตนโดยเฉลี่ย 5 ตัวต่อไร่ จงหาความน่าจะเป็นที่ ก. จะพบตั๊กแตน 10 ตัวต่อไร่ ข. จะพบตั๊กแตน 3-5 ตัวต่อไร่ ค. จะพบตั๊กแตนอย่างมาก 2 ตัวต่อไร่ ง. จะพบตั๊กแตนอย่างน้อย 2 ตัวต่อไร่

Expected Value and Variance of the Poisson Distribution

ตัวอย่าง 5.6 ถ้าความน่าจะเป็นที่แต่ละคนจะบอดสีเท่ากับ 0.001 จงหาความน่าจะเป็นที่สุ่ม คนมา 1000 คน แล้วพบคนที่ตาบอดสีอย่างมาก 2 คน ตัวอย่าง 5.7 สมมติว่าเครื่องจักรผลิตหลอดไฟเครื่องหนึ่งจะผลิตหลอดไฟที่บกพร่อง 0.1% ถ้าสุ่มหลอดไฟมา 3,000 หลอด มาตรวจสอบ จงหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟ ที่ตรวจสอบ ก. ไม่บกพร่องเลย ข. บกพร่อง 2 หลอด หรือน้อยกว่า **** ฝึกปฏิบัติ

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

(Normal Distribution) การแจกแจงปกติ (Normal Distribution)

Normal Distribution or Gaussian Distribution Definition

จากฟังก์ชันความน่าจะเป็น ถ้าทราบค่า และ เราสามารถเขียนโค้งของ การแจกแจงได้ โดยเส้นโค้ง ที่ได้นี้จะเรียกว่า เส้นโค้ง ปกติ (Normal Curve) ซึ่งจะมี ลักษณะเป็นโค้งระฆังคว่ำ (Bell shape) สมมาตรที่ x =

จาก ถ้า และ จะเขียนแทนได้ว่า จะเรียก ว่ามีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (Standard Normal Distribution) ปกติมักจะใช้ตัวแปรสุ่ม Z แทน ค่ามาตรฐาน

การหาพื้นที่ภายใต้โค้งปกติมาตรฐาน ระหว่างค่า z ที่ต้องการจะหาได้โดย อาศัยการอินทิเกรต หรืออาจหาได้ง่ายโดยอาศัย ตารางสำเร็จ ที่ปรากฏในท้ายเล่ม ของหนังสือสถิติทั่ว ๆ ไป

Theorem

ตัวอย่าง 5.8 ข้อมูล I.Q. ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งทราบว่ามีการ แจกแจง N(100,100) สุ่มนักเรียนมา 1 คน จงหา ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นจะมี I.Q. อยู่ ระหว่าง 110 - 120

ตัวอย่าง 5.9 1. น้ำหนักของคนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติมี ค่าเฉลี่ย 100 ปอนด์และมีค่าความ เบี่ยงเบนมาตรฐาน 25 ปอนด์ สุ่มคนมา 1 คน จงหา ความน่าจะเป็นที่จะได้คนที่ มีน้ำหนัก 100 - 170 ปอนด์ 5. ถ้าคะแนนสอบวิชาหลักสถิติมีการแจกแจงปกติโดย มีคะแนนเฉลี่ย 55 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 18 คะแนน ในการสอบ อาจารย์ผู้สอนให้เกรด A แก่นิสิต ที่ได้คะแนนสูงสุด 13.35% ของห้อง นิสิตจะต้องได้ คะแนนอย่างน้อย กี่คะแนน จึงจะได้เกรด A **** ฝึกปฏิบัติ

การประมาณค่าความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบทวินามด้วยการแจกแจงแบบปกติ (Normal Approximation to the Binomial Distribution) Central Limit Theorem : CLT)

Theorem

ตัวอย่าง 5.10 จากการบันทึกเป็นเวลานานของเจ้าหน้าที่ โรงพยาบาลแห่งหนึ่ง สรุปได้ว่า ในฤดูร้อนของแต่ละปี จะมีผู้มาเข้ารับการรักษาด้วยโรคอหิวาต์ 30% ของ ผู้ป่วยที่มารับ การรักษาทั้งหมด ในช่วงฤดูร้อนนี้มีผู้มารับการรักษา 50 คน จงหาความน่าจะเป็นที่ คนที่มารับการรักษาจะเป็นโรคอหิวาต์ ก. ไม่เกิน 10 คน ข. มากกว่า 10 คน ค. 15 ถึง 20 คน ง. มากกว่า 8 คน แต่ไม่ถึง 10 คน

การประมาณค่าความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปัวส์ซองด้วยการแจกแจงแบบปกติ (Normal Approximation to the Poisson Distribution)

Theorem

ตัวอย่าง 5.11 จากการจดบันทึกของเจ้าหน้าที่โรงพยาบาลแห่งหนึ่ง สรุปว่า ในช่วงเทศกาล โดยเฉลี่ยแล้วจะมีผู้มารับการรักษาที่แผนกฉุกเฉิน 25 คน/คืน ก. จงหาความน่าจะเป็นที่ในช่วงเทศกาลคืนหนึ่งจะ มีผู้มารับการรักษาที่แผนก ฉุกเฉินไม่เกิน 20 คน ข. ในช่วงเทศกาลลอยกระทงมีงาน 2 คืน จงหา ความน่าจะเป็นที่ใน 2 คืน จะมีผู้มารับการรักษาที่แผนกฉุกเฉินมากกว่า 40 คน