สมการพหุนาม ที่มีความซับซ้อนมากขึ้น Gifted อย่างพวกเรา จะเรียนง่ายๆ ไปทำไมกันล่ะครับ มาเรียนแบบที่ซับซ้อนดีกว่า มันส์เด้อ...ขอบอก

มารู้จัก พหุนามก่อนนะครับ จากรูปพหุนาม เรียก a0 ว่า สัมประสิทธิ์นำ (leading Coefficient) ถ้า an  0 เราจะเรียก n ว่า กำลัง (Degree) เขียนแทนด้วย deg P(x) ถ้าพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์นำ = 1 เรียกว่า พหุนามโมนิก (Monic Polynomial)

เบๆ มากเลยเรื่องนี้ เรียนตั้งแต่ ม.ต้นละ แต่ขอทบทวนอีกสักรอบละกัน สมการเชิงเส้น (Linear Equation) ax + b = 0 รากของสมการ x = สมการพหุนามกำลังสอง (Quadratic Equation) 1) x2 – a2 = (x – a)(x + a) 2) x2 – (a + b)x + ab = (x – a)(x – b) 3) ถ้า r เป็นรากของพหุนามกำลังสอง P(x) = ax2 + bx + c แล้ว P(x) = P(x) – P(r) = (x – r)(ax + ar + b)

มาทบทวนเรื่องสมการพหุนามกำลังสอง อีกหน่อยนะจ๊ะ... รูปมาตรฐาน ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c  R, a  0 อาศัยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างกำลังสอง จะได้ เราเรียก b2 – 4ac ว่า ดีสคริมิแนนต์ (Discriminant) = D ถ้า D > 0 แสดงว่ารากทั้งสองเป็นรากจริง ถ้า D < 0 แสดงว่ารากทั้งสองเป็นรากเชิงซ้อน ถ้า D เป็นกำลังสองสมบูรณ์ รากทั้งสองเป็นรากตรรกยะ (มีคำตอบเดียวคือ )

เรามีเทคนิคในการแก้สมการเทคนิคหนึ่งคือ “การเปลี่ยนตัวแปร” Ex...Solve the equation สมมติให้ a = x(x + 2) = x2 + 2x จาก (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ดังนั้น จะได้ a + 1 สมการที่กำหนดจึงเปลี่ยนเป็น a2 + a – 12 = 0 แยกตัวประกอบ (a +4)(a – 3) = 0 a = -4, 3

ต่อ...ปายยย เปลี่ยนสมการกลับคืน จะได้ x2 + 2x = 3 หรือ x2 + 2x = -4 x2 + 2x – 3 = 0 หรือ x2 + 2x + 4 = 0 (x + 3)(x – 1) = 0 หรือ x = -3, 1 หรือ ไม่มีจำนวนจริงเป็นคำตอบ ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ {-3, 1} ANS

ท่านๆทั้งหลายลองเอากลับไปคิดเด้อ Solve the equation (x2 + 2x)2 – (x + 1)2 = 55 x4 – 13x2 + 36 = 0 THINK 1 ท่านๆทั้งหลายลองเอากลับไปคิดเด้อ

เมื่อกี้นะครับ ง่ายมากเลยครับ มาดู นี่สิ มันส์ ของจริงเลยกับสมการพหุนาม 2 รูปแบบที่เราควรรู้ เพราะจะได้เป็นพื้นฐานในการเรียนค่ายโอฯ และการเรียนในระดับสูงต่อไป มาหนุกหนาน’ กับ พหุนามกำลังสี่บางรูปแบบ กับ พหุนามส่วนกลับครับ

การหารากของสมการกำลังสี่บางรูปแบบ สมการรูปแบบ (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = e ; a, b, c, d, e เป็นค่าคงที่ โดยที่ a + b = c + d สามารถจัดสมการที่กำหนดได้ในรูป [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = e ดำเนินการหารากของสมการ โดยการเปลี่ยนตัวแปรใหม่ โดยให้ y = x2 + (a + b)x จะได้สมการในรูป (y + ab)(y + cd) = 0 จะเป็นสมการพหุนามกำลังสองที่สามารถหาคำตอบได้ เย้!

จากทฤษฎีที่กล่าวมา งงกันล่ะสิ แน่นอน เพราะฉะนั้นมาวินิจฉัยตัวอย่างดีก่า Ex...จงหารากของสมการ (x – 5)(x – 7)(x + 6)(x – 4) = 504 วิธีทำ จับคู่ (x – 5) กับ (x + 4) และ (x – 7) กับ (x + 6) จะได้ 504 = (x2 – x – 20)(x2 – x – 42) = [(x2 – x) – 20][(x2 – x) – 42] ให้ y = x2 – x = (y – 20)(y – 42) 504 = y2 – 62y + 840 0 = y2 – 62y + 336 0 = (y – 6)(y – 56)

ต่อ...ปายยย เปลี่ยนสมการกลับคืน จะได้ 0 = (x2 – x – 6)(x2 – x – 56) 0 = (x – 3)(x + 2)(x – 8)(x + 7) x = 3, -2, 8, -7 ดังนั้น เซตรากของสมการ คือ {-7 , -2, 3, 8} ANS

มาดูอีกสักรูปแบบนะครับ สมการในรูปแบบ (x + a)4 + (x + b)4 = c ; a, b, c เป็นค่าคงที่ หลักการ 1) สร้างความสมดุลระหว่างพจน์ 2) ใช้เอกลักษณ์พีชคณิตที่ว่า (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) พิสูจน์เอกลักษณ์กันก่อน (a + b)2 + (a – b)2 = (a2 + 2ab + b2) + (a2 – 2ab + b2) = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2)

ดูแล้ว ง งู สองตัว งง แน่นอน 100% มาลองดูตัวอย่างก่อนนะ Ex...จงหารากของสมการ (1 – x)4 + (1 + x)4 = 82 วิธีทำ 82 = [(1 – x)2]2 + [(1 + x)2]2 = [x2 – 2x + 1]2 + [x2 + 2x + 1]2 = [(1 + x2) – 2x]2 + [(1 + x2) + 2x]2 ใช้เอกลักษณ์พีชคณิต (a – b)2 + (a + b)2 = 2(a2 + b2) = 2[(1 + x2)2 + 4x2] 41 = x4 + 2x2 + 1 + 4x2 0 = x4 + 6x2 – 40 0 = (x2 + 10)(x2 – 4)

ต่อ...ปายยย x2 + 10 = 10 หรือ x2 – 4 = 0 x2 = -10 หรือ x2 = 4 x = หรือ x = 2 ดังนั้น เซตรากของสมการ คือ {2, } ANS

จากตัวอย่าง เราจำเป็นต้องใช้ความสมดุลระหว่างพจน์ (1 - x) กับ (1 + x) คือมีระยะทางเท่ากัน ทำให้ใช้เอกลักษณ์ไม่ได้ ถ้าเราจะแก้สมการ (x + 1)4 + (x - 3)4 = 256 ไม่ได้เด้อ ดังนั้นถ้าจะหารากของสมการในรูปแบบ (x + a)4 + (x + b)4 = c โดยที่ a, b, c เป็นค่าคงตัว เราต้องเปลี่ยนสมการให้อยู่ในรูปสมดุล โดยการหาค่าคงตัว d ที่ทำให้... y + d = x + a และ y - a = x + b เราจะได้ หรือ คือ y เป็นค่าเฉลี่ยของ (x + a) และ (x + b) ทำให้ได้สมการใหม่ คือ (y + d)4 + (y – d)4 = e

งง อีกแล้ว ไม่เป็นไร มาดูตัวอย่าง ดีก่า Ex...จงหารากของสมการ (x + 1)4 + (x - 3)4 = 256 วิธีทำ เราหาสมการใหม่ y โดยหาค่าเฉลี่ยของ x + 1 กับ x – 3 ทำให้ได้ x = y + 1 เมื่อแทนในสมการที่กำหนด จะได้สมการในรูปสมดุล ได้เป็น [(y + 1) + 1]4 + [(y + 1) – 3]4 = 256 หรือ (y + 2)4 + (y – 2)4 = 256

เข้าทางเรา งุงิ งุงิ 256 = [(y + 2)2]2 + [(y - 2)2]2 = [y2 + 4y + 4]2 + [y2 – 4y + 4]2 = [(y2 + 4) + 4y]2 + [(y2 + 4) – 4y]2 ใช้เอกลักษณ์พีชคณิต (a – b)2 + (a + b)2 = 2(a2 + b2) = 2[(y2 + 4)2 + 16y2] 128 = y4 + 8y2 + 16 + 16y2 0 = y4 + 24y2 – 112 0 = (y2 + 28)(y2 – 4)

ต่อ...ปายยย y2 + 28 = 0 หรือ y2 - 4 = 0 y2 = -28 หรือ y2 = 4 y = หรือ y = 2 ดังนั้น เซตรากของสมการ คือ {2, } ANS แทนค่ากลับคืน จาก y = x – 1 ; x = y + 1 x = 2 + 1 , + 1 x = 3, -1, 1 ANS เย้!

ประยุกต์นิดนึงนะ ข้อนี้ Solve the equation (x + 3)(x + 5)(x – 2)(x – 4) = 120 (x – 2)(x + 3)(x + 6)(x +1) + 56 = 0 (2x – 7)(x2 – 9)(2x – 5) – 91 = 0 (x + 1)4 + (x + 5)4 = 82 (2x – 1)4 + (2x + 1)4 = - 8 (x – 12)4 + (x – 7)4 = 96 ประยุกต์นิดนึงนะ ข้อนี้ จงแก้ระบบสมการ x4 + y4 = 56 x - y = 2 THINK 2 ลองไปกึ๊ดดูเน้อ

x4 + x3 + x2 + x + 1 = พหุนามส่วนกลับ พหุนามส่วนกลับ (Reciprocal Polynomials) สังเกตว่าเราอาจหารากของพหุนาม x4 + x3 + x2 + x + 1 โดยสังเกตจากความสมมาตรของสัมประสิทธิ์ช่วยลดงานการหารากของพหุนาม โดยการจัดรูปสมการ x4 + x3 + x2 + x + 1 = = = = และใช้สูตร

นั่นคือ พหุนามส่วนกลับ คือ พหุนามที่มีความสมมาตรของสัมประสิทธิ์ นิยาม นิยาม เรียกพหุนาม P(x)= anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 ว่าพหุนามส่วนกลับ ถ้า a1 = an-1 สำหรับทุก I = 0, 1, …, n นั่นคือ พหุนามส่วนกลับ คือ พหุนามที่มีความสมมาตรของสัมประสิทธิ์ และเราจะเรียกสมการ P(x) = 0 ว่า สมการส่วนกลับ (Reciprocal Equation) ถ้า P(x) เป็นพหุนามส่วนกลับ ตัวอย่าง x2 + 1, x5 + 3x3 + 3x2 + 1

สมบัติของพหุนามส่วนกลับ 1. ถ้า P(x) เป็นพหุนามกำลัง n ซึ่ง a0  0 แล้ว P(x) เป็นพหุนามส่วนกลับ ก็ต่อเมื่อ P(x) = 2. ถ้า P(x) เป็นพหุนามส่วนกลับที่มีกำลังเป็นกำลังคู่ 2n แล้ว P(x) = xng(z) โดยที่ z = x + 3. P(x) = xng(z) โดยที่ z = x + ถ้า P(x) เป็นพหุนามส่วนกลับที่มีกำลังเป็นจำนวนคี่แล้ว (x + 1)P(x) และผลหารจะเป็นพหุนามส่วนกลับที่มีกำลังเป็นจำนวนคู่ 4. ถ้า a เป็นรากของสมการส่วนกลับแล้ว a  0 และ ก็จะเป็นรากของสมการส่วนกลับนั้นด้วย

THINK 3 ลองไปกึ๊ดดูเน้อ