โมเมนตัมและการชน อ.วัฒนะ รัมมะเอ็ด

โมเมนตัมคืออะไรอ่ะ

โมเมนตัม (Momentum) คือ ปริมาณที่บอกสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งพยายามทำให้วัตถุพุ่งตัวไปข้างหน้าในทิศทางของความเร็ว เป็นปริมาณเวกเตอร์มีทิศตามทิศของความเร็ว

ปริมาณโมเมนตัม หาได้จากผลคูณของความเร็วกับมวล จากความหมายของโมเมนตัมจะเขียนสมการได้ว่า เมื่อ m คือ มวลของวัตถุ v คือ ความเร็วของวัตถุ P คือ โมเมนตัมของวัตถุ โมเมนตัมมีหน่วยเป็นกิโลกรัม.เมตรต่อวินาที (kg .m/s) หรือ N.s.

หมายเหตุ จากกฎการเคลื่อนที่ข้อหนึ่งของนิวตัน ที่เรียกว่า กฎของความเฉื่อย ซึ่งอาจเขียนในรูปของโมเมนตัมได้ว่า ในกรณีที่วัตถุมีความเร็วคงตัว โมเมนตัมของวัตถุคงตัวเสมอ

แรงและการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม เมื่อวัตถุมวล m เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u มีแรงคงตัว F กระทำต่อวัตถุในช่วงเวลาที่เปลี่ยนแปลงไป วัตถุเปลี่ยนเป็น v ดังรูปที่ 1

จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน หรือ และ หรือ ดังนั้น หรือ

จากสมการ คือ แรงลัพธ์คงตัวที่กระทำต่อวัตถุมวล m คือ โมเมนตัมของวัตถุก่อนถูกแรงกระทำ คือ โมเมนตัมของวัตถุภายหลังถูกแรงกระทำ คือ โมเมนตัมของวัตถุที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลา t อาจเขียนย่อๆว่า อาจเขียนได้ใหม่ว่า หรือ

แรงดล ถ้าแรงคงตัวที่กระทำต่อวัตถุ เพื่อเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ของวัตถุในช่วงเวลาสั้นๆ ( น้อยๆ ) เราจะเรียก ว่า แรงดล (Impulsive Force) โดยแรงที่ใช้ในการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุ จะมากหรือน้อย นอกจากจะขึ้นอยู่กับมวลและความเร็วของวัตถุ แล้ว ยังขึ้นอยู่กับช่วงเวลาที่ออกแรงกระทำด้วย

การดล ผลคูณของแรง กับ เวลาที่เปลี่ยนแปลง ( ) เรียกว่า การดล (Impluse) สัญลักษณ์ “ I ” จากสมการ การดล ก็คือ โมเมนตัมที่เปลี่ยนแปลง ( )นั่นเอง แต่จะต้องเป็นการพิจารณาในช่วงเวลาสั้นๆ การดล (I )เป็นปริมาณเวกเตอร์มีทิศเดียวกับแรงลัพธ์ ที่กระทำกับวัตถุ และมีหน่วยเป็นนิวตัน.วินาที(N.s) หรือ หรือ

การหาการดลและโมเมนตัมที่เปลี่ยนไปจากกราฟระหว่าง F กับ t 1.การดลเมื่อแรงคงตัว การหาการดล หาได้จาก หรือจากพื้นที่ใต้กราฟ หาได้จาก พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง F และ t คือการดล (I) หรือ P

2. การดลเมื่อแรงไม่คงตัว เราอาจทำให้แรงคงตัวได้ โดยการหา ค่าเฉลี่ยของแรง F ดังกราฟรูป (b) โดยพื้นที่ใต้กราฟรูป (1) และรูป (3) ต้องมีขนาดเท่ากัน จากรูป (3) จะแทนขนาดของแรง F ในสมการ

หรือเราสามารถหาพื้นที่ใต้กราฟ โดยใช้สมการอินทิเกรต ดังนั้น

การหาการดลจากการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ( ) การหาการดลจากการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ( ) การหาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม แยกคิดได้ 2 แบบ คือ (1)เมื่อความเร็วก่อนเปลี่ยนและหลังเปลี่ยนอยู่ในแนวเดียวกัน (2) เมื่อความเร็วก่อนเปลี่ยนและความเร็วหลังเปลี่ยนอยู่คน ละแนวกัน

เมื่อความเร็วก่อนเปลี่ยนและหลังเปลี่ยนอยู่ในแนวเดียวกัน 1.1 วาดรูปแสดงการเคลื่อนที่ ณ ตำแหน่งก่อนเปลี่ยนและหลังเปลี่ยน 1.2 กำหนดทิศทางของ u และ v โดยให้ทิศของ v เป็นบวก (+) เสมอถ้า ไปในทางเดียวกับ มีทิศเป็นบวก (+) แต่ถ้า สวนทางกับ มีทิศเป็นลบ (-)

รูป6 ( ก) แสดงเมื่อแรง อยู่ในแนวเดียวกับ จาก ; ( v > u )และ ตัวอย่างเช่น วัตถุมวล m กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว แล้วถูกแรง กระทำเป็นเวลา t ทำให้ความเร็วเปลี่ยนเป็น จะหาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม และแรง ที่กระทำดังรูปที่ 6 รูป6 ( ก) แสดงเมื่อแรง อยู่ในแนวเดียวกับ จาก ; ( v > u )และ (มีทิศ ) และ (มีทิศ )

รูปที่ 6 (ข) เมื่อแรง มีทิศทางตรงข้ามกับ รูปที่ 6 (ข) เมื่อแรง มีทิศทางตรงข้ามกับ ;( มีทิศ ) และ ;( มีทิศ )

รูปที่ 6 (ค) เมื่อวัตถุตกในแนวดิ่ง จาก

เมื่อความเร็วก่อนเปลี่ยนและความเร็วหลังเปลี่ยนอยู่คนละแนวกัน 2.1 หาขนาดและทิศทางของ และ ก่อน 2.2 ใช้วิธีการทางเวกเตอร์หา , ตามสมการ และ

ตัวอย่างเช่น วัตถุมวล m กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว แล้วถูกแรง กระทำในทิศทำมุมกับการเคลื่อนที่ ทำให้ความเร็วเปลี่ยนเป็น ในทิศทำมุม กับ จะหาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ได้ดังรูปที่ 7 จากรูปที่ 7 สามารถหา ได้โดยวิธีการวาดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้วใช้สูตรคำนวณ

ฝึกสมองประลองปัญญา

1.ปล่อยวัตถุมวล 1 กิโลกรัม ลงในแนวดิ่ง เมี่อเวลาผ่านไป 2 วินาที โมเมนตัมของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปเท่าใด 2.ปาวัตถุมวล 0.5 กิโลกรัม ขึ้นในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 20 เมตรต่อวินาทีเมื่อเวลาผ่านไป 3 วินาที จงหา ก. โมเมนตัมเริ่มต้น ข. โมเมนตัมสุดท้าย ค. โมเมนตัมที่เปลี่ยนไป 3.ขว้างลูกบอล 0.2 กิโลกรัม ด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวินาที ในแนวระดับเข้าชนกับกำแพงในทิศตั้งฉากกับกำแพงแล้วสะท้อนกลับออกมาในแนวเดิมด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวินาที จงหา ก. โมเมนตัมก่อนชนกำแพง ข. โมเมนตัมหลังชนกำแพง ค. การดลของลูกบอล

4.นักบอลเตะลูกบอลมวล 0.5 กิโลกรัม ทำให้ลูกบอลเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว 20 เมตรต่อวินาที เข้าชนฝาผนังในแนวตั้งฉาก แล้วสะท้อนกลับออกมาในแนวเดิมด้วย อัตราเร็ว 20 เมตรต่อวินาทีเท่ากัน ถ้าลูกบอลกระทบฝาผนังนาน 0.05 วินาที จงหา ก. การดลของลูกบอล ข.แรงเฉลี่ยที่ฝาผนังกระทำต่อลูกบอล 5.กล่องใบหนึ่งอยู่บนรถ ซึ่งกำลังเคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยความเร็ว 30 เมตร/วินาที รถจะต้องเบรกจนหยุดนิ่งในเวลาน้อยที่สุดเท่าใด กล่องจึงจะไม่ไถลไปบนรถ ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างกล่องกับรถเป็น 0.5

6.น้ำพุ่งออกจากท่อฉีดซึ่งมีพื้นที่หน้าตัด 2 x 10-3 เมตร2 ด้วยความเร็ว 40 เมตร/วินาที เข้ากระทบฝาผนังในแนวตั้งฉาก ถ้าไม่มีน้ำกระเด็นกลับ จงคำนวณหาแรงที่ลำน้ำกระทบต่อฝาผนัง กำหนดให้น้ำ 1 ลบ.เมตร มีมวล 103 กิโลกรัม 7.ปล่อยลูกบอลมวล 0.4 กิโลกรัม จากที่สูง 5 เมตร ตกลงในแนวดิ่ง กระทบพื้นนาน 0.02 วินาที ปรากฏว่าลูกบอลกระดอนสูง 3.2 เมตร จงหา ก. การดลของลูกบอล ข. แรงดลที่กระทำต่อลูกบอล 8.ปาลูกบอล 0.2 กิโลกรัม ทำมุม 30 องศา กับกำแพงด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวินาที โดยไม่มีการสูญเสียพลังงาน จงหาโมเมนตัมที่เปลี่ยนไปของลูกบอลในการชนกำแพง

9.ขว้างลูกบอลมวล 100 กรัม ลงบนพื้นด้วยอัตราเร็ว 20 เมตร/วินาที และทำมุม 30 ๐ กับพื้นราบ ถ้าลูกบอลสะท้อนด้วยอัตราเร็วเท่าเดิม และเวลาของการกระทบเท่ากับ 0.02 วินาที จงหา ก. โมเมนตัมของลูกบอลที่เปลี่ยนไป ข. แรงเฉลี่ยที่พื้นกระทำต่อลูกบอล 10.ลูกเทนนิสมีมวล 0.2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที เมื่อตีด้วยไม้เทนนิส ปรากฎว่าลูกเทนนิสเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 40 เมตร/วินาที ทำมุม 60 ๐ ดังรูป จงหาขนาดของการดล

11.ลูกเทนนิสมวล 0.2 กิโลกรัม ถูกปาให้เคลื่อนที่ในแนวระดับชั่วขณะด้วยความเร็ว 40 เมตร/วินาที แล้วถูกไม้ตีเป็นเวลา 0.02 วินาที ทำให้เคลื่อนที่สะท้อนกลับออกมาทำมุม 37๐ กับแนวระดับด้วยความเร็ว 60 เมตร/วินาที จงหาแรงเฉลี่ยที่ไม้กระทำต่อลูกเทนนิส 12.วัตถุมวล 5 กิโลกรัม มีแรงลัพท์ที่มีขนาดเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกราฟที่แสดง ทำให้วัตถุเคลื่อนที่โดยมีความเร่งไม่คงที่ เมื่อเวลาเริ่มต้น t = 0 วัตถุมีความเร็ว10 เมตร/วินาที ในทิศทางเดียวกับแรงลัพธ์จงหา ก.อัตราเร็วของวัตถุเมื่อเวลา t = 4 วินาที ข.ขนาดของความเร่งเมื่อเวลา t = 1 วินาที

13.กล่องมวล 20 กิโลกรัม วางอยู่บนพื้น เมื่อมีแรงF ดึงในแนวระดับดังรูป จงหาความเร็วของกล่อง เมื่อเวลา 10 วินาที ถ้าแรงเสียดทานจลน์ระหว่างกล่องกับพื้นมีค่า 20 นิวตัน 14.กล่องมวล 20 กิโลกรัม วางอยู่บนพื้นราบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานจลน์และสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานสถิตเป็น 0.4 และ 0.5 ตามลำดับ เมื่อใช้แรง Fซึ่งเปลี่ยนตามเวลา ดังกราฟกระทำต่อกล่องนาน 12 นาที จงหาอัตราเร็วของกล่อง

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม (Law of conservation of momentum) “ ถ้าวัตถุเคลื่อนที่โดยไม่มีแรงภายนอกมากระทำ ซึ่งเป็นไปตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่หนึ่งของนิวตัน วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวตลอดไป หรือกล่าวได้ว่า วัตถุนั้นมีโมเมนตัมคงตัวทั้งขนาดและทิศทาง ตลอดการเคลื่อนที่ ”  = คงที่ สูตรคือ ก่อนกระทบ = หลังกระทบ

พิจารณาสมการ จากรูปที่ 8 ก่อนการชน วัตถุA เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว uA วัตถุB เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว uB หลังการชน วัตถุ A เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว vA วัตถุB เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว vB

แทน และ ลงในสมการที่ 1 จะได้ ขณะวัตถุ Aและวัตถุ B ชนกันไม่มีแรงภายนอกใดๆกระทำ จะได้ว่า ขณะวัตถุทั้งสองชนกัน จะมีแรงคู่กิริยา-ปฏิกิริยาระหว่างวัตถุทั้งสองเกิดขึ้น โดยมีขนาดเท่ากัน ดังรูป ……(1) และ ซึ่ง แทน และ ลงในสมการที่ 1 จะได้

หรือ นั่นคือ ผลรวมโมเมนตัมก่อนชนเท่ากับผลรวมของโมเมนตัมหลังชน ก่อนกระทบ = หลังกระทบ เขียนสมการได้ว่า

การชน (Collision) หมายถึงการที่วัตถุหนึ่งกระทบกับอีกวัตถุหนึ่งในช่วงเวลาสั้นๆ หรือในบางครั้งวัตถุอาจไม่ต้องการกระทบกันแต่มีแรงมากระทำต่อวัตถุแล้วให้ผลเหมือนกับการชนก็ถือว่าเป็นการชนกัน อาทิเช่น การชนกันของรถ , การกระทบกันของลูกตุ้มกับเสาเข็ม , การตีเทนนิส, ตีปิงปอง , ตีกอล์ฟ , การเตะลูกฟุตบอล , การระเบิดของวัตถุระเบิด ,การยิงปืน เป็นต้น

การชนของวัตถุโดยมากมักจะมีแรงภายนอกมากระทำต่อวัตถุ ซึ่งขนาดของแรงจะมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับลักษณะการชนกันของวัตถุ และในการชนอาจมีการสูญเสียค่าโมเมนตัมมากหรือน้อย หรือไม่สูญเสียเลยก็ได้

เราอาจแยกการชนได้ 2 ลักษณะ ดังนี้ เมื่อโมเมนตัมของระบบมีค่าคงตัว เป็นการชนที่ขณะชนมีแรงภายนอกมากระทำน้อยมาก เมื่อเทียบกับขนาดของแรงดล ที่เกิดกับวัตถุขณะชนกัน หรือแรงภายนอกเป็นศูนย์ เช่น การชนของลูกบิลเลียด การชนกันของรถยนต์ การยิงปืน เป็นต้น 2. เมื่อโมเมนตัมของระบบไม่คงที่ เป็นการชนที่ขณะชนมีแรงภายนอกมากระทำมากกว่าแรงดลที่เกิดกับวัตถุขณะชนกัน เช่น ลูกบอลตกกระทบพื้น รถยนต์ชนกับต้นไม้ เป็นต้น

สามารถแยกลักษณะการชนได้ 3 แบบ สามารถแยกลักษณะการชนได้ 3 แบบ 1. การชนกันแบบยืดหยุ่น ( Elastic collision ) - การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ - การชนแบบยืดหยุ่นไม่สมบูรณ์ 2. การชนแบบไม่ยืดหยุ่น (Inelatic collision) 3.การดีดตัวของวัตถุ หรือการระเบิด

การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ (Perfectly elastic collision) ผลรวมของการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์พบว่า 1. ผลรวมของโมเมนตัมก่อนชน = ผลรวมของโมเมนตัมหลังชน  ก่อนชน =  หลังชน 2. ผลรวมของพลังงานจลน์ก่อนชน = ผลรวมของพลังงานจลน์หลังชน Ekก่อนชน = Ekหลังชน

พิจารณาการชนกันของวัตถุ 2 ก้อน ที่มีความเร็วอยู่ในแนวผ่านจุดศูนย์กลางมวล (C.M.) วัตถุมวล m1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว เข้าชนวัตถุมวล m2 ซึ่งกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว ในทิศทางเดียวกัน โดย มากกว่า ดังรูป ถ้าเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ ภายหลังการชนมวล m1 มีความเร็ว มวล m2 มีความเร็ว จะได้ความสัมพันธ์ของการชน ดังนี้

จาก  ก่อนชน =  หลังชน เนื่องจากเป็นการชนในแนวตรงเดียวกัน อาจเขียนสมการใหม่ได้ว่า …(1) จาก Ekก่อนชน = Ekหลังชน …(2)

u1 + v1 = u2 + v2 ในการแก้ปัญหาการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ โจทย์มักจะถามหาความเร็วหลังการชนของมวลทั้งสอง (v1 , v2) เราจะใช้สมการ 2 สมการ คือ 1.  ก่อนชน =  หลังชน 2. u1 + v1 = u2 + v2 m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 โดยไม่ต้องใส่เครื่องหมายเวกเตอร์ แต่จะใช้เครื่องหมาย ( + ) และลบ ( -) แสดงทิศทาง การเคลื่อนที่ของวัตถุทั้งสอง หน้า u หรือ v แล้วแทนค่าในสมการทั้งสอง

เพิ่มรอยหยักของสมองกันดีกว่า

1. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม วิ่งด้วยความเร็ว 4 เมตร / วินาที เข้าชนวัตถุมวล 1 กิโลกรัมซึ่งกำลังเคลื่อนที่ดัวยความเร็ว 2 เมตร / วินาที ไปในทิศทางเดียวกัน ถ้าการชนไม่มีการสูญเสียพลังงาน ความเร็วของมวลทั้งสองหลังชนเป็นเท่าใด 2. มวล 2m วิ่งด้วยความเร็ว 10 เมตร / วินาที เข้าชนมวล 3m ซึ่งกำลังวิ่งด้วยความเร็ว 4 เมตร / วินาที ในทิศทางเดียวกัน ถ้าในการชนไม่มีการสูญเสียพลังงานจลน์ จงหาความเร็วของมวลทั้งสองหลังชนกัน 3. วัตถุ A มวล 4 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 6 เมตร / วินาที เข้าชนวัตถุ B มวล 2 กิโลกรัม ซึ่งอยู่นิ่งในแนวเส้นตรง ถ้าการชนเป็นแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ จงหาความเร็วหลังชนของมวลทั้งสองและหาโมเมนตัมของวัตถุ A ที่เปลี่ยนไป

การชนเป็นแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ ในแนวเส้นตรง เมื่อวัตถุที่ถูกชนอยู่นิ่ง การชนเป็นแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ ในแนวเส้นตรง เมื่อวัตถุที่ถูกชนอยู่นิ่ง ให้วัตถุมวล m1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u1 เข้าชนวัตถุมวล m ซึ่งอยู่นิ่งๆในแนวจุดศูนย์กลางของมวลทั้งสองแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ภายหลังการชนวัตถุ m1 ที่มีความเร็ว v1 และวัตถุมวล m 2 มีความเร็ว v2 ดังรูป

การหา v1 และ v2 ทำได้ดังนี้ จาก ก่อนชน = หลังชน m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 m1u1 + m2(0) = m1v1 + m2v2 m1u1 = m1v1 + m2v2 …(1) จาก u1 + v1 = u2 + v2 u1 + v1 = v2 นำ m1 คูณตลอดได้ว่า; m1u1 + m1v1 = m1v2 …(2) (1)+(2); 2m1u1 + m1v1 = m1v1 + m2v2 + m1v2 2m1u1 = (m1 + m2) v2 ดังนั้น

ดังนั้น ในการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ ในแนวเส้นตรง ถ้ามวลถูกชนอยู่นิ่ง สามารถหา v2 และ v1 ได้ จากสมการ และ u1 + v1 = u2 + v2

1. วัตถุ A เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที เข้าชนวัตถุ B ซึ่งอยู่นิ่งๆ ในแนวผ่านจุดศูนย์ กลางของมวลทั้งสองแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ จงหาความเร็วของวัตถุ A และ B หลังชนกันเมื่อ ก. m A = 4 กิโลกรัม , m B = 1 กิโลกรัม ข. m A = 4 กิโลกรัม , m B = 4 กิโลกรัม ค. m A = 1 กิโลกรัม , m B = 4 กิโลกรัม

***สรุปลักษณะการชนของวัตถุในเส้นตรง (ผ่านจุดศูนย์กลางมวล) แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ โดยวัตถุที่ถูกชนอยู่นิ่ง จะได้ว่า 1. มวลมากชนมวลน้อย ( m1 > m2 ) หลังชนวัตถุทั้งสองจะ เคลื่อนที่ไปทางเดียวกันโดย 2. มวลเท่ากันชนกัน ( m1 = m2 ) หลังชนวัตถุที่เข้าชนจะหยุดนิ่ง ( v1 = 0 ) ส่วนวัตถุที่ถูกชนเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วเท่ากับ ความเร็วก่อนชนของวัตถุที่ชน ( v2 = u1) 3. มวลน้อยชนมวลมาก ( m1 < m2 ) หลังชนวัตถุที่ชนจะสะท้อน กลับส่วนวัตถุที่ถูกชนเคลื่อนที่ไปในแนวเดียวกับความเร็วก่อนชน ของวัตถุที่เข้าชน

การชนแบบไม่ยืดหยุ่น (Inelatic collision) เป็นการชนของวัตถุแล้วรูปร่างมีการเปลี่ยนแปลง หรือมีการเคลื่อนที่ติดกันไป จากการทดลองพบว่าการชนกันแบบนี้พลังงานจลน์ไม่คงที่ พลังงานจลน์หลังชนมีค่าน้อยกว่าพลังงานจลน์ก่อนชน เพราะว่าพลังงานจลน์บางส่วนนำไปใช้ในการเปลี่ยนแปลงรูปร่างวัตถุทำให้บุบ, ยุบ และเปลี่ยนรูปเป็นพลังงานเสียง แต่โมเมนตัมรวม ก่อนการชนเท่ากับโมเมนตัมหลังการชน

ให้วัตถุมวล m1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u1 เข้าชนมวล m2 ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u2 ในแนวเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของมวลทั้งสองปรากฏว่างหลังชนมวล m1 และ m2 เคลื่อนที่ติดกันไปด้วยความเร็ว v ดังรูปที่

ผลของการชนแบบไม่ยืดหยุ่น ได้ว่า (1) ก่อนชน = หลังชน เมื่อ ได้ว่า m1u1 + m2u2 = (m1 +m2)v (2) ก่อนชน > หลังชน      

มวล m1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u1 เข้าชนมวล m2 ซึ่งวางอยู่นิ่งๆ ตรงๆ แล้วติดไปด้วยกัน จงแสดงว่าการชนแบบนี้มีการสูญเสียพลังงานจลน์ 2. รถขนหินมวล 400 กิโลกรัม วิ่งด้วยความเร็ว 1 เมตร/วินาที เข้ารองรับก้อนหินมวล100 กิโลกรัม ซึ่งมีความเร็ว 4 เมตร/วินาที ดังรูป จงหาความเร็วของรถขนหินเมื่อก้อนหินตกลงสู่รถ

3. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที เข้าชนมวล 3 กิโลกรัม ซึ่งอยู่นิ่งในแนวผ่านจุดศูนย์กลาง หลังชนวัตถุทั้งสองเคลื่อนที่ติดกันไป จงหาความเร็วของวัตถุทั้งสองหลังชนกัน 4. รถบรรทุกมวล 6000 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 15 m/s เข้าชนรถโดยสารมวล 4000 kg ซึ่งเคลื่อนที่สวนทางมาด้วยความเร็ว 20 m/s ในแนวเส้นตรงเดียวกันหลังชน ปรากฏว่ารถทั้งสองติดกันไป จงหาความเร็วหลังชนของรถทั้งสอง 5.ลูกปืนมวล 40 กรัม ถูกยิงออกไปในแนวระดับด้วยความเร็ว 800 เมตร/วินาที เข้าชนแท่งไม้มวล 10 กิโลกรัม ซึ่งวางนิ่งอยู่บนพื้น แล้วทะลุผ่านแท่งไม้ออกไปในทันทีทำให้แท่งไม้มีความเร็ว 2 เมตร/วินาที จงหาความเร็วของลูกปืนเมื่อทะลุผ่านแท่งไม้ออกไป

6. มวล 4 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วนความเร็ว 10 เมตร/วินาที เข้าชนมวล 6 กิโลกรัม ซึ่งวิ่งสวนทางมาด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที ในแนวผ่านจุดศูนย์กลางมวล ปรากฏว่ามวลทั้งสองติดกันไป จงหา ก. ความเร็วมวลทั้งสอง ข. พลังงานจลน์ที่หายไปในการชน 7. วัตถุมวล 10 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที เข้าชนมวล 15 กิโลกรัม ซึ่งอยู่นิ่งภายหลังการชนมวล 10 กิโลกรัม อยู่นิ่ง จงหา ก.ความเร็วหลังชนของมวล 15 กิโลกรัม ข.พลังงานจลน์เปลี่ยนแปลงหรือไม่ อย่างไร

การดีดตัวของวัตถุ หรือการระเบิด การดีดตัวของวัตถุ หรือการระเบิด คือ การที่วัตถุแยกหรือแตกออกจากกัน โดยไม่มีแรงภายนอกมากระทำ ซึ่งเดิมวัตถุจะอยู่ด้วยกัน โดยมีเงื่อนไขเหมือนกับการชน 2 ลักษณะที่กล่าวมาแล้ว คือ ก่อนระเบิด = หลังระเบิด ส่วนพลังงานจลน์ของวัตถุในการระเบิด พบว่าผลรวมพลังงานจลน์หลังการระเบิด จะมีค่ามากกว่าผลรวมของพลังงานจลน์ก่อนระเบิด เนื่องในการระเบิดมีการเปลี่ยนรูปพลังงานรูปต่างๆเป็นพลังงานจลน์ จึงได้ว่า ∑Ek ก่อนระเบิด < ∑Ek หลังระเบิด

ลักษณะของการระเบิดแยกออกได้ 2 ลักษณะ ลักษณะของการระเบิดแยกออกได้ 2 ลักษณะ 1. การระเบิดแบบแยกออกจากกันอย่างอิสระ การระเบิดของวัตถุลักษณะนี้วัตถุจะแยกออก จากกันเป็นส่วน ๆ เช่น การยิงปืน , มวลอัดสปริง , คนกระโดดจากเรือ , คนกระโดดจากเรือซึ่งกำลังเคลื่อนที่ 2. การระเบิดแบบสัมพัทธ์ โดยภายหลังการระเบิดวัตถุยังอยู่ด้วยกัน การคำนวณความเร็วของวัตถุแต่ละก้อน ให้คิดเทียบกับพื้นโลก เช่น คนเดินบนเรือซึ่งอยู่นิ่ง , คนเดินบนเรือซึ่งกำลังเคลื่อนที่

การระเบิดแบบแยกออกจากกันอย่างอิสระ การยิงปืน เดิมกระสุนปืนและปืนอยู่ด้วยกัน ตัวปืนมีมวล M ลูกปืนมวล m หลังยิงลูกปืนมีความเร็ว v ตัวปืนมีความเร็ว V ถอยหลัง

ก่อนยิงปืน โมเมนตัมของระบบ = 0 หลังยิงปืน โมเมนตัมของระบบ = mv – MV จาก โมเมนตัมก่อนยิง = โมเมนตัมหลังยิง 0 = m1v1 + m2v2 = M(-V) + mv จะได้ว่า MV = mv หรือกล่าวได้ว่า โมเมนตัมของตัวปืน = โมเมนตัมของลูกปืน

มวลอัดสปริง วัตถุมีมวล M และ m ผูกติดกันด้วยเชือกและมีสปริงติดอยู่ที่ มวลก้อนใดก้อนหนึ่ง เมื่อตัดเชือกขาด มวล M และ m จะเคลื่อนที่ออกจากกันด้วยความเร็ว V และ v ตามลำดับ

ก่อนระเบิด = หลังระเบิด 0 = m1v1 + m2v2 = M(-V) + mv จะได้ว่า mv = MV หรือกล่าวได้ว่า โมเมนตัมของมวล m = โมเมนตัมของมวล M

คนกระโดดจากเรือ เดิมคนมีมวล m อยู่บนเรือ ซึ่งเรือมีมวล M เมื่อคนกระโดดออกจากเรือด้วยความเร็ว v เรือจะเคลื่อนที่ถอยหลังด้วยความเร็ว V

ก่อนระเบิด = หลังระเบิด 0 = m1v1 + m2v2 = M(-V) + mv จะได้ว่า mv = MV หรือกล่าวได้ว่า โมเมนตัมของคนมวล m = โมเมนตัมของเรือมวล M  

***สรุป จากตัวอย่างการระเบิดแบบแยกออกจากกันอย่างอิสระ ได้สมการดังนี้ ก่อนระเบิด = หลังระเบิด 0 = m1v1 + m2v2 = M(-V) + mv mv = MV

คนกระโดดจากเรือซึ่งกำลังเคลื่อนที่ เดิมคนมีมวล m ยืนอยู่บนเรอ M ซึ่งกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u แล้วคนกระโดดออกจากเรือด้วยความเร็วทางด้านหน้าด้วยความเร็ว v ทำให้เรือมีความเร็ว V

เมื่อคนกระโดดออกจากเรือ จะได้ว่า ก่อนระเบิด = หลังระเบิด. (m + M) u = mv + MV mu + Mu - mv = MV m(u - v) + Mu = MV

การระเบิดแบบสัมพัทธ์ คนเดินบนเรือซึ่งอยู่นิ่ง ให้คนมีมวล m อยู่นิ่งบนเรือมวล M เมื่อคนเดินด้วยความเร็ว v จะทำให้เรือเคลื่อนที่ในทิศทางตรงข้ามด้วยความเร็ว V ขณะที่คนเดินด้วยความเร็ว v เรือจะเคลื่อนที่ถอยหลังจากคนด้วยความเร็ว V เมื่อเทียบกับพื้นโลก ดังนั้นคนจะมีความเร็ว (v - V) เมื่อเทียบกับโลก

ก่อนระเบิด = หลังระเบิด ก่อนระเบิด = หลังระเบิด. 0 = m (v - V) + M(-V) 0 = m (v - V) - MV m (v - V) = MV mv - mV = MV mv = (m + M)V

คนเดินบนเรือซึ่งกำลังเคลื่อนที่ ให้คนมีมวล m ยืนนิ่งอยู่บนเรือมวล M ซึ่งมีความเร็ว u เมื่อคนเริ่มเดินด้วยความเร็ว v เรือจะมีความเร็ว V ขณะที่คนเดินด้วย v ความเร็วของเรือเป็น V ความเร็วของคนที่สัมพัทธ์กับพื้นโลกจะเท่ากับ v + V

ก่อนระเบิด = หลังระเบิด (m + M)u = m(v + V) + MV mu + Mu = mv + mV + MV mu - mv + Mu = (m + M)V

***สรุป *** 1. การชนกันหรือการระเบิดทุกกรณี จะอ้างหลักคงที่โมเมนตัมได้ เสมอว่า ก่อน = หลัง 2. การชนกันแบบยืดหยุ่นจะไม่มีการสูญเสียพลังงานจลน์และตั้ง สมการได้ 2 สมการคือ 2.1. ก่อน = หลัง 2.2 ∑Ek ก่อนชน = ∑Ek หลังชน หรือสูตรลัด

3. การชนกันแบบไม่ยืดหยุ่น จะมีการสูญเสียพลังงานจลน์ จะตั้ง สมการได้ 2 สมการคือ 3.1. ก่อน = หลัง 3.2 Ek ที่หาย = Ek ก่อนชน – Ek หลังชน 4. การระเบิดจะมีพลังงานจลน์ตอนหลังระเบิดมากกว่า พลังงานจลน์ตอนก่อนระเบิดเสมอ โดยพลังงานส่วนที่เพิ่มมานี้มาจากการเผาไหม้ของดิน ปืน และตั้งสมการได้ 2 สมการ 4.1 ก่อน = หลัง 4.2 ΣEk ที่เพิ่ม = Ek หลังระเบิด – Ek ก่อนระเบิด

1. ชายคนหนึ่งมวล 60 กิโลกรัม ยืนอยู่บนล้อเลื่อนมวล 20 กิโลกรัม แล้วขวางวัตถุมวล 2 กิโลกรัมออกไปตรงๆในแนวระดับด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที จงหาความเร็วของล้อเลื่อน 2. ปืนใหญ่กระบอกหนึ่งมีมวล 2000 กิโลกรัม ลูกปืนมีมวล 10 กิโลกรัม หลังยิงแล้วปรากฏว่าลูกปืนมีความเร็ว 50 เมตร/วินาที จงหาว่าตัวปืนจะถอยหลังด้วยความเร็วเท่าไร

3. รถทดลอง 2 คัน คันหนึ่งมวล m มีสปริงติดอยู่หน้ารถ อีกคันหนึ่งมีมวล 2m นำมากดอัดสปริงหน้ารถคันแรก แล้วใช้เชือกผูกหน้ารถ 2 คัน ไว้ด้วยกันดังรูป เมื่อตัดเชือกออก รถคันแรกเคลื่อนทีทันทีด้วยความเร็ว 4 เมตร/วินาที จงหาความเร็วของรถคันที่สองหลังตัดเชือก 4. ชายคนหนึ่งมีมวล 50 กิโลกรัม ยืนอยู่บนหัวเรือมวล 75 กิโลกรัม ถ้าชายคนนี้พุ่งตัวลงน้ำด้วยความเร็ว 6 เมตร/วินาที จงหาความเร็วของเรือหลังจากชายคนนี้พุ่งตัวลงน้ำ

5. ชายคนหนึ่งมวล 60 กิโลกรัม ยืนอยู่บนเรือมวล 40 กิโลกรัม ซึ่งกำลังแล่นด้วยความเร็ว 4 เมตร/วินาที ชายคนนี้ออกเดินจากท้ายเรือด้วยความ 2 เมตร/วินาที ( เทียบกับเรือ ) จงหาความเร็วเรือขณะชายออกเดิน 6. จากตัวอย่างที่ 5 ถ้าชายคนนี้ออกเดินจากหัวเรือไปท้ายเรือด้วยความเร็ว 2 เมตร/วินาที เทียบกับเรือ จงหาความเร็วของเรือ 7. ปืนใหญ่มวล 2,000 กิโลกรัม ตั้งให้ปากกระบอกปืนทำมุม 60๐ กับแนวราบแล้วยิงลูกปืนมวล 10 กิโลกรัม ออกไปด้วยความเร็ว 100 เมตร/วินาที อยากทราบว่าตัวปืนจะเคลื่อนที่ถอยหลังด้วยความเร็วเท่าใด

8. ชายคนหนึ่งมีมวล 60 กิโลกรัม ยืนอยู่บนแพ ซึ่งมีมวล 40 กิโลกรัม ลอยนิ่ง โดยชายคนนี้ห่างจากฝั่ง 10 เมตร ถ้าชายคนนี้เดินบนแพในทิศทางเข้าหาฝั่งเป็นระยะ 4 เมตร ชายคนนี้จะอยู่ห่างจากฝั่งเท่าไร

Ballistic pendulum

Ballistic pendulum เป็นการแกว่งของวัตถุแบบลูกตุ้มนาฬิกา เมื่อถูกกระทบด้วยวัตถุอื่น เช่น การยิงลูกปืนให้ชนถุงทราย หรือแท่งไม้ซึ่งแขวนด้วยเชือกในแนวดิ่ง ทำให้วัตถุแกว่งสูงขึ้นจากเดิม ประโยชน์ใช้วัดความเร็วของลูกปืนขณะถูกยิงออกจากปืน

กำหนดให้ลูกปืนมวล m ถูกยิงออกจากปืนด้วยความเร็ว เข้าชนแท่งไม้มวล M แล้วฝังชนแท่งไม้ทำให้แท่งไม้แกว่งสูงจากเดิม h ความเร็วของลูกปืนขณะออกจากลำกล้องปืน

จากกฎอนุรักษ์โมเมนตัม (ลูกปืนชนแท่งไม้) ก่อน = หลัง m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 m1u1 + 0 = (m1 +m2)v mu1 = (m + M)v ….(1) เมื่อ v คือ ความเร็วของแท่งไม้หลังถูกลูกปืนชน

จากกฎอนุรักษ์โมเมนตัม (คิดที่แท่งไม้) Ek ที่ A = E p ที่ B = mgh แทนใน (1) mu1 = (m + M)

***สรุป ในการหาความเร็วของลูกปืน ถ้ารู้ความสูง h ของถุงทรายที่แกว่ง ก็จะหาความเร็วของ ลูกปืนได้เลย โดยต้องรู้ m , M ก่อน 1. แกว่งสูงจากเดิมวัดตามแนวดิ่งได้ 10 เซนติเมตร จงหาความเร็วของลูกปืนตอนถูกยิงออกจากกระบอกปืน

2. ยิงลูกปืนมวก 10 กรัม ออกไปด้วยความเร็ว 500 เมตร/วินาที เข้าฝังในแท่งไม้มวล10 กิโลกรัม ซึ่งแขวนไว้ในแนวดิ่งอยากทราบว่าแท่งไม้จะแกว่งสูงขึ้นจากเดิมเท่าไร 3. ลูกปืนมวล 50 กรัม ถูกยิงออกไปด้วยความเร็ว 400 เมตร/วินาที เข้าชนเป้ามวล 5 กิโลกรัม แล้วลูกปืนทะลุผ่านเป้าออกไปด้วยความเร็ว 100 เมตร/วินาที จงหาว่าเป้าแกว่งได้สูงสุดเท่าไร 4. ลูกปืนมวล 20 กรัม ถูกยิงออกไปด้วยความเร็ว 1000 เมตร/วินาที เข้าชนแท่งไม้มวล 2 กิโลกรัม ที่แขวนในแนวดิ่ง ปรากฏว่าลูกปืนทะลุผ่านแท่งไม้ออกไปทันที โดยแท่งไม้จะแกว่งขึ้นไปได้สูงสุด 20 เซนติเมตร จงหาความเร็วของลูกปืนที่ทะลุออกจากแท่งไม้

5. ลูกปืนมวล 20 กรัม ถูกยิงออกไปด้วยความเร็ว 400 เมตร/วินาที ชนทะลุผ่านแท่งไม้มวล 5 กิโลกรัม ออกไปด้วยความเร็ว 50 เมตร/วินาที จงหา ก. แท่งไม้แกว่งสูงขึ้นจากเดิมมากที่สุดเท่าไร ข. พลังงานของระบบสูญหายไปหรือไม่อย่างไร 6. มวล 4 กิโลกรัม และ 6 กิโลกรัม เคลื่อนที่ตามกันบนพื้นราบ ซึ่งปราศจากแรงเสียดทานด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที และ 2 เมตร/วินาที ตามลำดับดังรูป เมื่อชนกันจะทำให้สปริงหดสั้นที่สุดเท่าไร เมื่อค่านิจของสปริงเป็น 8640 นิวตัน/เมตร

7.จากรูปสปริงอยู่ในแนวระดับ มีค่านิจ 600 นิวตัน/เมตร ปลายหนึ่งตรึงอยู่กับฝาผนัง อีกปลายหนึ่งมีมวล 1.5 กิโลกรัม ติดอยู่และวางบนพื้น ซึ่งไม่มีความฝืด เริ่มต้นสปริงยังไม่ยืดหรือหดเลย เมื่อมีมวล 0.5 กิโลกรัม เลื่อนที่เข้าชนมวล 1.5 กิโลกรัมตรงๆ โดยไม่มีการสูญเสียพลังงาน ปรากฏว่าสปริงหดเข้าไป 10 เซนติเมตร จงหาความเร็วของมวล 0.5 กิโลกรัม

8.วัตถุมวล 6 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 8 เมตร/วินาที เข้าชนวัตถุอีกก้อนหนึ่งมวล 4 กิโลกรัม ซึ่งวางอยู่นิ่งบนพื้นราบ หลังชนวัตถุมวล 6 กิโลกรัม หยุดนิ่ง จงหาว่ามวล 4 กิโลกรัม จะเคลื่อนที่ไปได้ไกลเท่าไรถ้าสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานระหว่างมวล 4 กิโลกรัมและพื้น มีค่า 0.4 9.ลูกปืนมวล 10 กรัม ถูกยิงด้วยความเร็ว 800 เมตร/วินาที เข้าไปฝังในแท่งไม้มวล 5 กิโลกรัม ที่วางอยู่บนโต๊ะ ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างแท่งไม้กับโต๊ะมีค่าเท่ากับ 0.4 แท่งไม้จะไถลไปได้ไกลเท่าไร 10.กระสุนมวล 15 กรัม เคลื่อนที่ในแนวราบด้วยความเร็ว 400 เมตร/วินาที เข้าฝันในแท่งไม้มวล 4 กิโลกรัม ซึ่งวางนิ่งบนพื้น ถ้าแท่งไม้เคลื่อนที่ไปตามพื้นได้ไกล 0.25 เมตร จงหาค่าสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานระหว่างแท่งไม้กับพื้น

11.วางวัตถุมวล 4 กิโลกรัม ทับรูบนโต๊ะ ถ้ายิงลูกปืนมวล 20 กรัม ผ่านรูเข้าฝังในวัตถุ ทำให้วัตถุกระเด็นขึ้นได้สูงสุด 1.25 เมตร จงหาความเร็วของลูกปืนก่อนกระทบวัตถุ

12. ปล่อยลูกเหล็กมวล 4 กิโลกรัม ลงตามทางโค้งเกลี้ยง AB ดังรูป โดยลูกเหล็กอยู่สูงจากพื้นราบในแนวดิ่ง 20 เมตร ลูกเหล็กเข้าชนมวล 6 กิโลกรัม ซึ่งวางอยู่นิ่ง ณ จุด B หลังจากการชน วัตถุทั้งสองเคลื่อนที่ไปด้วยกัน จงหาว่าวัตถุทั้งสองจะเคลื่อนที่ไปได้ระยะทางเท่าไร ก่อนจะหยุดนิ่ง ถ้าพื้นราบมีค่าสัมประสิทธิ์ของความเสียดทาน 0.4

13. วัตถุมวล 1 กิโลกรัม ผูกติดกับเชือกยาว 1 13. วัตถุมวล 1 กิโลกรัม ผูกติดกับเชือกยาว 1.25 เมตร ถูกดึงขึ้นจนเชือกและวัตถุอยู่ในแนวระดับแล้วปล่อยลงมาให้ชนวัตถุก้อนหนึ่งซึ่งมีมวล 4 กิโลกรัม วางอยู่บนพื้นที่จุดต่ำสุดของเชือก การชนเป็นแบบไม่สูญเสียพลังงาน จงหา ก. ความเร็วหลังชนของวัตถุทั้งสอง ข. ถ้ามวล 4 กิโลกรัม เคลื่อนที่ไปได้ไกล 1 เมตร จึงหยุด สัมประสิทธิ์ความเสียดทานเป็นเท่าใด

14. จากรูป ยิงลูกปืนมวล m มีความเร็ว เข้าไปฝันในลิ่มมวล แล้วลิ่มจะ เคลื่อนที่ไปตามพื้นเอียงลื่น ได้ทาง จงหาความเร็ว 15.ลูกปืนมวล m ถูกยิงให้เคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยความเร็ว v0 เข้าชน มวล M ซึ่งแขวนกับเชือกยาว แล้วฝังลงในมวล M จงหาความเร็ว v0 ที่น้อยที่สุดที่ทำให้มวล M แกว่งเป็นวงกลมครบรอบพอดี

การชนใน 2 มิติ เป็นการชนของวัตถุในแนวไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ทำให้ทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน เรียกการชนในลักษณะนี้ว่า การชนในสองมิติ ซึ่งแบ่งลักษณะการชนได้ 3 แบบ เหมือนการชนในแนวเส้นตรง (ชนใน 1 มิติ)

การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ เมื่อมวลทั้งสองก้อนเท่ากัน กำหนดให้มวล m มีความเร็ว 1 เข้าชนมวล m อีกก้อนหนึ่ง ซึ่งอยู่นิ่งไม่ผ่านแนวศูนย์กลางมวล ทำให้มวลทั้งสองแยกออกจากกันทำมุม มีความเร็ว v1 และ v2 ตามลำดับ ดังรูปที่

ผลของการชนจะได้ว่า (1) ก่อนชน = หลังชน = = ….(1) (2) Ek ก่อนชน = Ek หลังชน = .…(2)

(1)= (2) ได้ว่า = 0 = 0 = 90๐ ข้อสรุปย่อมอ้างได้ว่า ถ้ามวลเท่ากันชนกันแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ ในแนวไม่ผ่านจุด C.M.และมวลที่ถูกชนอยู่นิ่ง หลังจากชนกัน มวลทั้งสองจะแยกออกจากกันทำมุม 90◦ เสมอ

เมื่อมวลทั้งสองก้อนไม่เท่ากัน ชนกันแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์โดยมวลถูกชนอยู่นิ่ง มวลทั้งสองจะแยกออกจากกันไม่เป็นมุมฉาก กำหนดให้มวล m1เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว เข้าชนมวล m2ซึ่งอยู่นิ่ง ในแนวไม่ผ่านจุด C.M. ทำให้มวล m1และ m2แยกออกจากกันทำมุม และ กับแนวการเคลื่อนที่เดิมของ ด้วยความเร็ว และ ดังรูปที่

การหา และ ทำได้ 2 วิธี วิธีที่ 1 โดยการแยก ให้เป็น และ ก่อนชน = หลังชน = จากสมการโมเมนตัมแสดงว่า = หรือกล่าวอีกแบบ ได้ว่า สามารถแยกได้เป็น และ ตามหลักการแยกเวคเตอร์ แบบไม่ตั้งฉากได้ว่า

= = ปัญหาอยู่ที่ว่า sin ของมุม ในบางครั้งไม่สามารถหาค่าได้ง่ายนัก เช่น sin75◦, sin105◦ เป็นต้น

วิธีที่ 2 การหาโมเมนต์ลัพธ์ในแนว และในแนวตั้งฉากกับ จากฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ก่อนชน = หลังชน = เราจะอาศัยการแยกเวคเตอร์ของ และ ให้อยู่ในแนวขนาน และตั้งฉากกับแนว ดังรูปที่

พิจารณาในแนวตั้งฉากกับ พบว่า P = 0 ดังนั้น = … พิจารณาในแนวตั้งฉากกับ พบว่า P = 0 ดังนั้น = …..(1) พิจารณาในแนวขนานกับ = ดังนั้น + = ….(2) จาก (1) และ (2) ถ้ารู้ m1, m2 , u1 , , ก็สามารถหา v1 และ v2ได้

1. ลูกกลมขนาดเท่ากัน 2 ลูก A และ B โดยลูก A วิ่งเข้าชนลูก B ซึ่งอยู่นิ่งในแนวไม่ผ่านจุดศูนย์กลางทำให้ลูก A กระเด็นเบี่ยงไปจากแนวเดิม 60 องศา ก่อนชนลูกกลม A มีความเร็ว 10 เมตร/วินาที และเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์หลังชนลูกกลม A และ B จะมีความเร็วเท่าใด 2. โมเลกุลของก๊าซตัวที่ 1 มีความเร็ว 200 เมตร/วินาที ชนโมเลกุลของก๊าซตัวที่ 2 ซึ่งเดิมอยู่นิ่ง และมีมวลเท่ากันภายหลังการชนโมเลกุลตัวที่ 1 เบนออกจากแนวเดิม จงหาอัตราของโมเลกุลทั้งสองภายหลังการชน

3. ลูกกลม A และ B ขนาดเท่ากัน มีมวลลูกละ 0 3. ลูกกลม A และ B ขนาดเท่ากัน มีมวลลูกละ 0.5 กิโลกรัม ให้ลูกกลม A เข้าชนลูกกลม B ซึ่งอยู่นิ่ง หลังชนปรากฏว่าลูกกลม A และ B กระเด็นทำมุม 30◦ และ 60◦ กับแนวการชนของลูกกลม A ตามลำดับ ถ้าอัตราเร็วของลูกกลม B เป็น 4 เมตร/วินาที พลังงานจลน์ของลูกกลม A เปลี่ยนไปเท่าไร ในการชนถ้าลูกกลมทั้งสองอยู่บนพื้นลื่น 4. วัตถุ 3 กิโลกรัม เคลื่อนที่เข้าชนวัตถุมวล 2 กิโลกรัม ซึ่งอยู่นิ่งด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ในแนวไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของมวล ทำให้ภายหนังการชนมวลก้อนแรกทำมุม 30◦ กับแนวเดิม และมวล 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ในแนวทำมุม 45◦ กับแนวการเคลื่อนที่ของมวล 3 กิโลกรัม ก่อนชน จงหาอัตราเร็วของมวลทั้งสองภายหลังการชน

การชน 2 มิติแบบไม่ยืดหยุ่น ให้มวล m1 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว เข้าชน มวล m2 ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว ในแนวทำมุม ต่อกันหลังชนกันแล้วทั้งสองเคลื่อนที่ติดกันไปดังรูป ด้วยความเร็ว

จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ก่อนชน = หลังชน = ( m1 + m2 )v หรือ ( m1 + m2 ) v = เมื่อรู้ m 1 , m2 , u 1 , u 2 และ ก็สามารถ v ได้

1. มวล 6 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที ในทิศตะวันออกเข้าชนกับมวล 4 กิโลกรัมเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที ในทิศทางเหนือ หลังชนปรากฏว่ามวลทั้งสองติดกันไป จงหาความเร็วของมวลทั้งสองหลังชนกัน 2. ลูกกลมมวล 4m เคลื่อนที่บนพื้นราบที่ไม่มีแรงเสียดทานด้วยความเร็ว v0 เข้าชนลูกกลมมวล m ซึ่งวางชิดกันสองลูก ดังรูป หลังการชนลูกกลม m ทั้งสองต่างเคลื่อนที่ในทิศทำมุม 45๐ กับแนวการเข้าชนของมวล 4m ด้วยความเร็ว ดังรูป โดยมวล 4m ยังคงเคลื่อนที่ต่อไปในทิศทางเดิม จงหาความเร็วของมวล 4m ภายหลังการชน

การระเบิด หรือการดีดตัว ให้วัตถุมวล m เดิมอยู่นิ่ง แล้วระเบิดแยกออกเป็น 3 ส่วน แต่ละส่วนมีมวล m1 , m2และ m3 ตามลำดับ และมีความเร็ว และ ตามลำดับ

จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ก่อนชน = หลังชน 0 = = หรือ =   เมื่อรู้ และ รู้ค่า v 2 ค่า สามารถหา v ที่เหลือได้

1. มวลก้อนหนึ่งวางอยู่นิ่ง แล้วระเบิดออกเป็น 3 ส่วน สองส่วนแรกมีมวลเท่ากัน กระจายออกตั้งฉากซึ่งกันและกัน และมีอัตราเร็ว 40 เมตร/วินาที ส่วนที่สามมีมวลเป็น 2 เท่าของมวลสองส่วนแรกแต่ละส่วน จงหาอัตราเร็วของส่วนที่สามภายหลังการระเบิดทันที

การเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล เมื่อมีวัตถุมีการเคลื่อนที่ จุดศูนย์กลางมวล (C.M.) จะมีการเคลื่อนที่ด้วย สำหรับการชนกันของวัตถุที่ไม่มีแรงภายนอกมาเกี่ยวข้อง จุดศูนย์กลางมวล (C.M.) จะมีการเคลื่อนที่ด้วย คงที่ ทั้งก่อนและหลังชน โดยหาได้จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ทั้งระบบ = ก่อนชน = หลังชน = = ดังนั้น

เมื่อ คือ ความเร็วจุด C.M. ของระบบ คือ ผลรวมของโมเมนตัม ก่อนชนหรือหลังชน คือ ผลรวมของมวลวัตถุทั้งระบบ

มวล m เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที เข้าชนมวล 3m ซึ่งเคลื่อนที่มาด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที ในทิศทางทำมุม 60๐ ต่อกัน บนพื้นราบเกลี้ยง จงหาขนาดและทิศทาง ของความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล