สัญญาณและระบบ (SIGNALS AND SYSTEMS) บทที่ 5 เทคนิคกระจายอนุกรมฟูเรียร์ 01040311 สัญญาณและระบบ

สัญญาณเป็นคาบ ตาม Dirichlet Cond. อนุพันธ์ an, bn, n = odd ขบวนพัลส์ Even Q.W.S Odd Q.W.S สัญญาณต่อเนื่องเป็นช่วง H.W.S สัญญาณคี่ ฟูเรียร์ซายน์ สัญญาณสมมาตร สัญญาณคู่ กระจาย อนุกรมฟูเรียร์ ส.ป.ส เชิงตั้งฉาก ฟูเรียร์โคซายน์ Complex form ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ Ampl. Spectrum ส.ป.ส เชิงซ้อน Phase Spectrum 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์รูปแบบมาตรฐานหรือฟังก์ชันตรีโกณ (Trigonometric Fourier Series) เมื่อ เมื่อ0=2/T 01040311 สัญญาณและระบบ

เทคนิคการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ 1. ความสมมาตรของสัญญาณเป็นคาบ การพิจารณาความสมมาตรของสัญญาณเป็นคาบทำให้สามารถทำนายผลการกระจายของอนุกรมฟูเรียร์ได้ 2. อนุพันธ์ของอนุกรมและไดแรกเดต้าฟังก์ชันกรณีเป็นฟังชันต่อเนื่องเป็นช่วง 3. สมบัติของการกระจายฟูเรียร์ 01040311 สัญญาณและระบบ

อินทีเกรชันของฟังก์ชันกับความสมมาตร Even function Odd function 01040311 สัญญาณและระบบ

ความสมมาตรของฟังก์ชัน ผลบวกสัญญาณคู่หรือคี่ (even/odd) Even + Even = Even Odd + Odd = Odd Even + Odd = Indeterminate ผลคูณสัญญาณคู่หรือคี่ (even/odd) Even x Even = Even Odd x Odd = Even Even x Odd = Even 01040311 สัญญาณและระบบ

ความสมมาตรของสัญญาณ สัญญาณคู่หรือคี่ (even/odd) t t 01040311 สัญญาณและระบบ

ความสมมาตรของสัญญาณ สัญญาณสมมาตรครึ่งคลื่น (Half wave symmetry) (เมื่อเลื่อนสัญญาณไปครึ่งคลื่นจะสมมาตรรอบแกนเวลา) t -T/2 T/2 01040311 สัญญาณและระบบ

สัญญาณสมมาตรครึ่งคลื่น VS สัญญาณคี่ -T/2 -T/2 t 01040311 สัญญาณและระบบ

สัญญาณสมมาตรครึ่งคลื่น (Half wave symmetry) 2 แบบ Even quarter wave symmetry) f(t) t -T/2 -T/2 Odd quarter wave symmetry) f(t) -T/2 -T/2 t 01040311 สัญญาณและระบบ

ความสมมาตรของสัญญาณ สัญญาณคู่ที่เป็น Half wave repetition สัญญาณคู่ที่เป็น Half wave inversion 01040311 สัญญาณและระบบ

ความสมมาตรของสัญญาณ สัญญาณสมมาตรซ่อนเร้น (Hidden wave symmetry) A f(t) f(t)-A/2 -A/2 t 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของสัญญาณคู่ จะปรากฎเฉพาะเทอมที่มีสัมประสิทธิของ a0และ an เรียก อนุกรมฟูเรียร์โคซายน์ 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของสัญญาณคี่ จะปรากฎเฉพาะเทอมที่มีสัมประสิทธิของ bn เรียก อนุกรมฟูเรียร์ซายน์ 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของสัญญาณ Half wave Symmetry จะปรากฎเฉพาะเทอมที่มีสัมประสิทธิของฮาร์โมนิกส์คี่ 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของ Even quarter wave symmetry จะปรากฎเฉพาะเทอมที่มีสัมประสิทธิของฮาร์โมนิกส์คี่ของโคซายน์ 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของ Odd quarter wave symmetry เมื่อ 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของ Half Wave Repetition มีเฉพาะเทอมของโคซายน์ซึ่งเป็นฮาร์โมนิคส์คู่ 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์จากความสมมาตรของสัญญาณ สามารถปรับสัญญาณที่เป็นสมมาตรซ่อนเร้นให้สมมาตรแบบใดแบบหนึ่ง f(t) 1 T 2T -T t f(t)-½ ½ t -T T 2T 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์จากความสมมาตรของสัญญาณ f(t) 1 t -T T 2T 1-f(t) 1 T 2T -T t 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันไม่เป็นคาบ T0 f(t) 01040311 สัญญาณและระบบ

Half Range/Periodic Expansion ขยายช่วงของสัญญาณที่ไม่เต็มช่วง-pถึง+p ให้เต็มช่วงและเป็นคาบ f(t) f(t) t f(t) t t f(t) t 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของสัญญาณขยายเต็มช่วงเป็นคี่ ตัวอย่าง* k k l -l l/2 -l/2 -l l l/2 *เอกสารหมายเลข[1] problem 2.19 หน้า 36 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของสัญญาณต่อเนื่องเป็นช่วง 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์กับฟังก์ชันอิมพัลส์ นิยาม ลักษณะสมบัติ เป็นฟังก์ชันคู่ generalized function 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์กับฟังก์ชันอิมพัลส์ Sifting Scaling 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์กับฟังก์ชันอิมพัลส์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันอิมพัลส์ ฟังก์ชันอิมพัลส์กับฟังก์ชันบันไดหนึ่งหน่วย 01040311 สัญญาณและระบบ

ฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วง ฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วงมีกระโดด(jump)ที่เวลาใด ๆ f(t) a2 a1 t1 t2 t :ฟังก์ชันต่อเนื่องตลอดช่วงๆ 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง f(t) 1 -T/2 T/2 -1 01040311 สัญญาณและระบบ

ฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วง กระจายอนุกรมฟูเรียร์ของอนุพันธ์ฟังก์ชัน จาก กระจายอนุกรมฟูเรียร์ของอนุพันธ์ฟังก์ชัน 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วง จาก f(t) 1 T จะได้ *เอกสารหมายเลข[1] problem 2.30 หน้า 44 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วง บางกรณีเพิ่มลำดับของอนุพันธ์ของฟังก์ชันจน g(n)(t) = 0 แล้วกระจายอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เป็นกระบวนพัลส์ เช่น 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วง เช่น ใช้คุณสมบัติ sifting ของอิมพัลส์ฟังก์ชันในการหาค่า ส.ป.ส แทนการอินทริเกรต 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง f(t) A T -T/2 T/2 T -d/2 d/2 T -T/2 T/2 T d/2 -d/2 *เอกสารหมายเลข[1] problem 2.31 หน้า 45 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุพันธ์ของ...1 แล้วเทียบ ส.ป.ส กับ 2 ……1 ……2 อนุพันธ์ของ...1 แล้วเทียบ ส.ป.ส กับ 2 เนื่องจาก เป็นฟังก์ชันคี่ดังนั้น 01040311 สัญญาณและระบบ

01040311 สัญญาณและระบบ

หายไปในการหาอนุพันธ์ ดังนั้นหาใหม่ เนื่องจากเทอม หายไปในการหาอนุพันธ์ ดังนั้นหาใหม่ ดังนั้น จาก 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป สามารถใช้ความสมมาตรของสัญญาณช่วยในการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ กรณีสัญญาณไม่เต็มช่วงสามารถขยายให้เต็มช่วงแบบสมมาตร อนุกรมฟูเรียร์ของอนุพันธ์ของสัญญาณต่อเนื่องเป็นช่วงลู่เข้าสู่generalized function การกระจายอนุกรมฟูเรียร์สัญญาณต่อเนื่องเป็นช่วง ทำได้โดยการหาอนุพันธ์ของจนได้เป็นอิมพัลส์ฟังก์ชัน ซึ่งหา ส.ป.ส ฟูเรียร์ได้โดยใช้คุณสมบัติ sifting 01040311 สัญญาณและระบบ