อนุพันธ์ (Derivatives) บทที่ 5 อนุพันธ์ (Derivatives) Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved.

อนุพันธ์ ใช้วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน และเป็นแนวคิดที่สำคัญ ที่สุดอันหนึ่งในวิชาแคลคูลัส สามารถนำไปใช้ประโยชน์อย่างกว้างขวาง นิยาม ฟังก์ชันอนุพันธ์ (Derivative Function) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับตัวแปร x คือฟังก์ชัน มีค่าที่ x เป็น (โดยที่ลิมิตจะต้องหาค่าได้ สัญลักษณ์อื่นที่ใช้ได้แก่ ) ตัวอย่างที่ 1 (ก) จงหาอนุพันธ์ของ สำหรับ x > 0 (ข) จงหาเส้นสัมผัส กับโค้ง ที่ x = 4

วิธีทำ (ก) (ข) ความชันของโค้งที่ x = 4 คือ m = สมการของเส้นสัมผัสที่ x = 4 ซึ่งผ่านจุด (4, 2) มีความชัน1/4 คือ หรือ

กฎของอนุพันธ์ 1. ถ้า f เป็นค่าคงตัว f(x) = c ตัวอย่างที่ 2 ถ้า f เป็นค่าคงตัว f(x) = 8 แล้ว และ ทำนองเดียวกัน 2. ถ้า n เป็นเลขจำนวนเต็มบวก พิสูจน์ นั่นคือ

ตัวอย่างที่ 3 การใช้กฎอนุพันธ์ ตัวอย่างที่ 3 การใช้กฎอนุพันธ์ …. 1 … กฎการคูณด้วยค่าคงตัว ถ้า u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของ x และ c เป็นค่าคงตัว Slope=6x ตัวอย่างที่ 4 การใช้กฎข้อที่ 3 ก) Slope=2x ข) ถ้า c = -1 ดังนั้น

อนุพันธ์ของผลบวก หาอนุพันธ์ ถ้า u และ v เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของ x แล้ว ผลบวก ได้ทุกจุดที่ u และ v หาอนุพันธ์ได้โดย พิสูจน์ ให้ f(x) = u(x) + v(x)

ตัวอย่างที่ 5 อนุพันธ์ของผลบวก อนุพันธ์ของผลลบ ตัวอย่างที่ 6 อนุพันธ์ของพหุนาม (polynomial)

ตัวอย่างที่ 7 การหาเส้นสัมผัสในแนวนอน โค้ง ตัวอย่างที่ 7 การหาเส้นสัมผัสในแนวนอน โค้ง มีเส้นสัมผัสในแนวนอนหรือไม่ และถ้ามีอยู่ที่ตำแหน่งใด วิธีทำ ความชันของเส้นสัมผัสในแนวนอนคือ (0,2) ดังนั้น โค้ง มีเส้นสัมผัสในแนวนอนที่ (0, 2), (1, 1) และ (-1, 1) (1,1) (-1,1)

การหาอนุพันธ์ได้ในช่วงและอนุพันธ์ด้านเดียว ฟังก์ชัน หาอนุพันธ์ได้ในช่วงเปิด ถ้ามีอนุพันธ์ที่แต่ละจุดของช่วง และหาอนุพันธ์ได้ในช่วงปิด [a,b] ถ้ามีอนุพันธ์ในช่วงภายใน (a, b) และมีลิมิต ที่ a และ ที่ b

และอนุพันธ์ทั้งสองเท่ากัน Figure 2.7: Derivatives at endpoints are one-sided limits. ฟังก์ชันจะมีอนุพันธ์ที่จุดๆ หนึ่ง ก็ต่อเมื่อมีอนุพันธ์ซ้ายมือ และอนุพันธ์ขวามือ และอนุพันธ์ทั้งสองเท่ากัน ตัวอย่างที่ 8 หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่จุดกำเนิด (origin) จงแสดงว่า มีอนุพันธ์ในช่วง (-,0) และ(0, ) แต่ไม่มีอนุพันธ์ที่ x = 0 วิธีทำ ด้านขวามือ ด้านซ้ายมือ ดังนั้นไม่มีอนุพันธ์ที่จุดกำเนิด เนื่องจากอนุพันธ์ด้านเดียวแตกต่างกัน

การเขียนกราฟของ ฟังก์ชัน อนุพันธ์สามารถนำมาเขียนกราฟโดยประมาณได้ ตัวอย่างที่ 9 จงเขียนกราฟอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จากกราฟ y’ = f’(x) จะสามารถสังเกตสิ่งต่างๆ ต่อไปนี้ 1.ช่วงที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของ ฟังก์ชัน เป็นบวก ลบ หรือศูนย์ 2. สามารถประมาณขนาดของการ เปลี่ยนแปลง ที่ x ใดๆ และเอามาเทียบกับ ขนาดของ f(x) 3. รู้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงกำลังเพิ่มขึ้น หรือกำลังลดลง

ทฤษฎีบทที่ 1 การหาอนุพันธ์ได้บ่งถึงความต่อเนื่อง ถ้า f มีอนุพันธ์ที่ x = c แล้ว f ย่อมต่อเนื่องที่ x = c อนุพันธ์อันดับสองและอันดับสูงขึ้นไป

อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่จุดใดๆคืออนุพันธ์ที่จุดนั้น ตัวอย่างที่ 1 พื้นที่ของวงกลมเปลี่ยนไปตามเส้นผ่าศูนย์กลาง พื้นที่วงกลมเปลี่ยนแปลงเร็วเท่าใดกับเส้นผ่าศูนย์กลางเมื่อเส้นผ่าศูนย์กลางเป็น 10 เมตร วิธีทำ ขณะที่ D = 10 เมตร พื้นที่จะเปลี่ยนแปลงในอัตรา ตารางเมตร/เมตร

นิยาม ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งๆ เป็นอนุพันธ์ของตำแหน่งเทียบกับเวลา ถ้าตำแหน่งของวัตถุที่เวลา t เป็น แล้วความเร็วของวัตถุที่เวลา t คือ ตัวอย่างที่ 2 การหาความเร็วของรถแข่ง กราฟในรูปแสดงเวลากับระยะทางของรถแข่ง ความชันของ PQ เป็นความเร็วเฉลี่ยในช่วง 3 วินาที จาก t = 2 - 5 วินาที(ประมาณ 100 ฟุต/วินาที)ความชันของเส้นสัมผัสที่ P คือค่าที่ อ่านได้จากเกจวัดความเร็วที่ t = 2 วินาที (ประมาณ 57 ฟุต/วินาที)

นิยาม อัตราเร็ว (speed)เป็นค่าสัมบูรณ์ของความเร็ว อัตราเร็ว = ตัวอย่างที่ 3 การเคลื่อนที่ในแนวนอน แสดงความเร็ว ของอนุภาค ที่เคลื่อนไปข้างหน้า 3 วินาทีแรก เคลื่อนที่กลับ 2 วินาทีถัดไป หยุดนิ่ง 1 วินาที และเคลื่อนที่ไปข้างหน้าอีกความเร็วสูงสุดที่ t = 4 วินาที

เทียบกับเวลา ถ้าตำแหน่งของวัตถุที่เวลา t เป็น ความเร่งและ jerk Figure 2.16: The velocity graph for Example 3. ความเร่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา และjerk เป็นอนุพันธ์ของความเร่ง เทียบกับเวลา ถ้าตำแหน่งของวัตถุที่เวลา t เป็น ความเร่งและ jerk ของวัตถุที่เวลา t คือ บริเวณใกล้ผิวโลกทุกวัตถุจะตกลงโดยมีความเร่งคงที่ ด้วยแรงโน้มถ่วงของโลก g ถ้าวัตถุเริ่มต้นจากหยุดนิ่งระยะทางเคลื่อนที่จะเป็น ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 4 การจำลองการตกแบบอิสระ ในรูปแสดงการตกแบบอิสระของลูกบอลหนัก จากหยุดนิ่ง ที่เวลา t = 0 จงหาระยะทางที่ลูกบอลตกภายใน 2 วินาทีแรกเป็นเมตร (ข) จงหาความเร็ว อัตราเร็ว และความเร่ง ขณะนั้นเป็นเท่าใด วิธีทำ ก) จาก แทนค่า t = 2 จะได้ เมตร ข) ความเร็ว เมตร/วินาที ความเร่ง a(t) = v’(t) = s”(t) = g =9.8 เมตร/วินาที2

ตัวอย่างที่ 5 การจำลองการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ตัวอย่างที่ 5 การจำลองการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ดินระเบิดดันหินขึ้นด้วยความเร็วเริ่มต้น 160 ฟุต/วินาที ดังรูป หินขึ้นถึงความสูง ฟุต หลังจาก t วินาที ก) หินจะขึ้นได้สูงสุดเท่าใด ข) จงหาความเร็วและอัตราเร็วของหิน ขณะที่สูงจาก พื้นดิน 256 ฟุต ตอนเคลื่อนที่ขึ้นและตอนเคลื่อนที่ลง ค) จงหาความเร่งของหินที่เวลาใดๆ หลังจากถูกระเบิด ง) จงหาเวลาที่หินตกกระทบพื้นดินอีกครั้งหนึ่ง วิธีทำ ก) ที่จุดสูงสุด , 160-32t = 0 หรือ t = 5 วินาที ฟุต

ข) จาก , t = 2 , 8 s ความเร็วของหิน ณ สองเวลานี้คือ v(2) = 160-32(2) = 96 ฟุต/วินาที (วิ่งขึ้น) v(8) = 160-32(8) = -96 ฟุต/วินาที (วิ่งลง) ค) ความเร่ง ณ เวลาใดๆ ฟุต/วินาที2 (ทิศลง) ง) หินตกกระทบพื้นดิน เมื่อ s = 0 t = 0, 10 วินาที

ความไวต่อการเปลี่ยนแปลง อนุพันธ์ เป็นตัววัดความไวของการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน กราฟของ y กับ x ในรูป บอกให้รู้ว่าค่าของ y มีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงของ x เมื่อ x มีค่าน้อย มากกว่าเมื่อ x มีค่ามาก

กฎข้อที่ 5 อนุพันธ์ของผลคูณ (Derivative Product Rule) ถ้า u และ v หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว อนุพันธ์ของผลคูณ uv คือ พิสูจน์

ตัวอย่างที่ 1 การใช้อนุพันธ์ผลคูณ จงหาอนุพันธ์ของ วิธีทำ ใช้กฎอนุพันธ์ผลคูณด้วยการให้ และ ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 2 อนุพันธ์จากค่าตัวเลข ให้ y = uv จงหา ถ้า u(2) = 3, = -4, v(2) = 1, = 2 วิธีทำ จากกฎผลคูณ เราจะได้ = (3)(2) + (1)(-4) = 2 กฎข้อที่ 6 อนุพันธ์ของผลหาร (Derivative Quotient Rule) ถ้า u และ v หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ v(x)  0 แล้ว อนุพันธ์ของผลหารย่อมหาได้เป็น

ตัวอย่างที่ 3 การใช้กฎผลหาร จงหาอนุพันธ์ของ วิธีทำ จากกฎผลหารโดยให้ และ จะได้ กฎข้อที่ 7 ถ้า n เป็นเลขจำนวนเต็มลบ และ x  0 แล้ว (เหมือนกับกฎยกกำลังของเลขจำนวนเต็มบวก)

ตัวอย่างที่ 5 จงหาเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ตัวอย่างที่ 4 การใช้กฎข้อที่ 7 ก) ข) ตัวอย่างที่ 5 จงหาเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ที่จุด (1,3) วิธีทำ ความชันของเส้นโค้งคือ สมการเส้นสัมผัส คือ หรือ

ตัวอย่างที่ 6 การเลือกใช้กฎ ในโจทย์ข้อนี้ถ้าทำโดยการใช้กฎผลคูณ หาอนุพันธ์ของ และกฎผลหารจะทำให้เสียเวลามาก กระจายเศษ แล้วหารแต่ละตัวด้วย จะได้ แล้วใช้กฎผลบวกและกฎยกกำลัง จะได้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ มนุษย์เราต้องเกี่ยวข้องกับข้อมูลที่เป็นคาบ เช่น สนามแม่เหล็กไฟฟ้า การเต้น ของหัวใจ กระแสน้ำ อากาศ ฯลฯ ข้อมูลเหล่านี้มักจะเขียนในรูปของไซน์ (sine) หรือ โคไซน์(cosine)ได้ ดังนั้นการหาอนุพันธ์ของไซน์ และ โคไซน์จะมีบทบาท ในการบรรยายการเปลี่ยนแปลงแบบคาบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์

ตัวอย่างที่ 1 หาอนุพันธ์ที่เกี่ยวกับไซน์ ก) ข) อนุพันธ์ของฟังก์ชันโคไซน์

Figure 2.25: The curve y´ = –sin x as the graph of the slopes of the tangents to the curve y = cos x. อนุพันธ์ของ

ตัวอย่างที่ 2 กฎการอนุพันธ์ ก) ข)

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิ้ลฮาร์โมนิค ตัวอย่างที่ 3 การเคลื่อนที่บนสปริง ตัวอย่างที่ 3 การเคลื่อนที่บนสปริง วัตถุแขวนบนสปริง และถูกยึดออก 5 หน่วยจากตำแหน่งหยุดนิ่ง แล้วปล่อยที่เวลา t = 0 ให้ เคลื่อนที่ขึ้นลง ตำแหน่ง ณ เวลา t เป็น s = 5cos t จงหาความเร็วและความเร่ง ณ เวลา t ใดๆ วิธีทำ ตำแหน่ง: ความเร็ว: s v a ความเร่ง:

ตัวอย่างที่ 4 jerk jerk ของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิ้ลฮาร์โมนิคในตัวอย่างที่ 3 คือ มีค่าสูงสุดเมื่อ อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานอื่นๆ จาก

กฎลูกโซ่ (chain rules) Figure 2.28: When gear A makes x turns, gear B makes u turns and gear C makes y turns. By comparing circumferences or counting teeth, we see that y = u/2 and u = 3x, so y = 3x/2. Thus, dy/du = 1/2, du/dx = 3, and dy/dx = 3/2 = (dy/du)(du/dx). กฎลูกโซ่ (chain rules)

ทฤษฎีบทที่ 3 กฎลูกโซ่ (The Chain Rule) ถ้า f (u) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด u = g(x) และ g(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x แล้ว ฟังก์ชัน ประกอบ ย่อมหาอนุพันธ์ได้ที่ x และ ถ้าให้ และ จะได้ ตัวอย่างที่ 1 หาอนุพันธ์ด้วยกฎลูกโซ่ จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หรือ วิธีทำ ให้ ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 2 การประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่ วัตถุเคลื่อนที่ไปตามแกน x โดยตำแหน่งที่เวลา ถูกกำหนดโดย จงหาความเร็วของวัตถุที่เวลา ใดๆ วิธีทำ ให้ ดังนั้น ความเร็วคือ ตัวอย่างที่ 3 อนุพันธ์จากข้างนอกไปข้างใน จงหาอนุพันธ์ของ เทียบกับ x วิธีทำ

การใช้กฎลูกโซ่ซ้ำ บางครั้งเราอาจต้องใช้กฎลูกโซ่ซ้ำหลายครั้งเพื่อหาอนุพันธ์ ตัวอย่างที่ 4 ลูกโซ่ 3 ครั้ง จงหาอนุพันธ์ของ วิธีทำ จากกฎลูกโซ่จะได้

ความชันของโค้งตัวแปรเสริม หาอนุพันธ์ได้ที่ ถ้า และ หาอนุพันธ์ได้ที่ เราเรียก ว่าตัวแปรเสริม (parameter) อนุพันธ์ dy/dt, dx/dt และ dy/dx เกี่ยวข้องกัน ตามกฎลูกโซ่ดังนี้ ดังนั้น โดยที่ ตัวอย่างที่ 5 การอนุพันธ์ด้วยตัวแปรเสริม จงหาเส้นสัมผัสกับไฮเพอร์โบลาขวามือ ที่มีสมการอิงตัวแปรเสริมเป็น ที่จุด เมื่อ วิธีทำ ที่ และ

ดังนั้น ที่ สมการของเส้นสัมผัสคือ ทำนองเดียวกัน โดยที่

ตัวอย่างที่ 6 การหา ของโค้งอิงตัวแปรเสริม จงหา ในเทอมของ ถ้า วิธีทำ หา ในเทอมของ ก่อน หา โดยใช้สูตรผลหาร หา

กฎลูกโซ่ยกกำลัง (Power Chain Rule) จากกฎลูกโซ่ ถ้า จะได้ ตัวอย่างที่ 7 หาความชันของเส้นสัมผัส ก) จงหาความชันของเส้นสัมผัสกับโค้ง ที่จุด ข) จงแสดงว่าความชันของทุกเส้นสัมผัสกับโค้ง เป็นบวก วิธีทำ ก) (ในที่นี้ให้ ดังนั้น เส้นสัมผัสที่

ซึ่งเป็นบวกเสมอทุกค่า x ยกเว้นที่ x = 1/2 ข) ซึ่งเป็นบวกเสมอทุกค่า x ยกเว้นที่ x = 1/2 ตัวอย่างที่ 8 ก้อนน้ำแข็งละลาย จงหาเวลาที่ทำให้ก้อนน้ำแข็งละลาย วิธีทำ สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ สมมติให้ก้อนน้ำแข็งรูปลูกบาศก์ยังคงรูปลูกบาศก์ตลอดเวลาที่ละลายให้แต่ละด้านยาว s ดังนั้นปริมาตร และพื้นที่ผิว สมมติให้ V และ s เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของเวลา t และให้ปริมาตรของลูกบาศก์ลดลงในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิว ดังนั้น

tละลาย สมมติว่าสำหรับสภาพหนึ่ง ลูกบาศก์ปริมาตรลดลง ของปริมาตรเดิม สำหรับ 1 ชั่วโมงแรก ในเชิงคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนได้ดังนี้กำหนดให้ h และ เมื่อ เมื่อ ต้องการหาค่าของ t เมื่อ ดังนั้นใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ เทียบกับ t หรือ แสดงว่า แต่ละด้านลดลงด้วยอัตราคงที่ 2k หน่วยต่อชั่วโมง ให้แต่ละด้านเดิมยาวเท่ากับ ความยาวที่เวลา 1 ชั่วโมง ถัดมาคือ หรือ ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการละลายคือ t ที่ทำให้ tละลาย แต่ = h =

การหาอนุพันธ์โดยปริยาย ใช้ในกรณีที่หา ได้ยาก เช่น วิธีการคือหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการเทียบกับ x แล้วค่อยหา ตัวอย่างที่ 1 การอนุพันธ์เชิงปริยาย จงหา ถ้า วิธีทำ ปกติเราจะหา นั่นคือ และ และ วิธีโดยปริยาย จะได้คำตอบเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2 การอนุพันธ์เชิงปริยาย จงหา ถ้า วิธีทำ หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ x

ตัวอย่างที่ 3 เส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉาก แล้วหาเส้นสัมผัส จงแสดงว่าจุด (2, 4) อยู่บนโค้ง และเส้นตั้งฉากกับโค้งที่จุดดังกล่าว วิธีทำ แทนค่า x = 2, y = 4 ในสมการ จะได้ 0 แสดงว่าจุด (2, 4) อยู่บนเส้นโค้ง

เส้นสัมผัสโค้งที่ (2, 4) มีความชัน คือ หรือ เส้นตั้งฉากกับโค้งที่ (2, 4) และมีความชัน คือ หรือ ตัวอย่างที่ 4 การหาอนุพันธ์โดยปริยายอันดับสอง จงหา ถ้า วิธีทำ หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้าง

ตัวอย่างที่ 5 การใช้กฎยกกำลังตรรกยะ ก) ข) ตัวอย่างที่ 6 การใช้กฎยกกำลังตรรกยะและกฎลูกโซ่ ก) ข)

อัตราสัมพันธ์ (Related Rates) คือการวิเคราะห์หาความสัมพันธ์ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร สมการอัตราสัมพันธ์ ถ้าอนุภาคที่ P(x, y) เคลื่อนที่ไปตามโค้ง C โดยที่พิกัด x และ y เป็นฟังก์ชันที่หา อนุพันธ์ได้กับ t และถ้า D คือระยะห่างจากจุดกำเนิด โดยกฎลูกโซ่เราสามารถ หาสมการที่สัมพันธ์กันของ dD/dt, dx/dt และ dy/dt ได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1 การหาสมการอัตราสัมพันธ์ กรวยรัศมี r และความสูง h เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของเวลา t และ V เป็นปริมาตรของกรวย จงหาสมการความสัมพันธ์ระหว่าง และ วิธีทำ จากสูตรปริมาตรกรวย หาอนุพันธ์เทียบกับ t ทั้งสองข้างโดยปริยาย จะได้

ตัวอย่างที่ 2 สูบน้ำออกจากถัง จงหาว่าระดับน้ำในถังรูปทรงกระบอกตั้งจะลดลงไวแค่ไหน หากเราสูบน้ำออก จากถังด้วยอัตรา 3000 ลิตรต่อนาที วิธีทำ ให้ r = รัศมีของถัง = ค่าคงที่ h = ความสูงของน้ำในถัง V = ปริมาตรของน้ำในถัง จากสูตรปริมาตรของรูปทรงกระบอก V = 1000 r2 h หาอนุพันธ์เทียบกับ t ทั้งสองข้างโดยปริยาย

ขั้นตอนการแก้ปัญหาอัตราสัมพันธ์ ขั้นที่ 1 เขียนรูป กำหนดตัวแปรและค่าคงที่ที่เกี่ยวข้อง ขั้นที่ 2 เขียนสมการความสัมพันธ์ของตัวแปร และค่าคงที่ต่างๆ ขั้นที่ 3 หาอนุพันธ์เทียบกับ t โดยปริยายทั้งสองข้างของสมการ จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราต่างๆ ขั้นที่ 4 แทนค่าอัตราที่รู้รวมทั้งค่าที่รู้ทั้งหมดเพื่อหาอัตราที่ต้องการ ตัวอย่างที่ 3 บอลลูนกำลังลอยขึ้น บอลลูนอากาศร้อนถูกปล่อยจากพื้นราบขึ้นตรงในแนวดิ่ง ผู้สังเกตอยู่ห่างจากจุด ปล่อย 500 ฟุตเพื่อวัดมุมยกที่เกิดขึ้น ขณะที่มุมยกเท่ากับ มุมเพิ่มขึ้นในอัตรา 0.14 rad/นาที จงหาว่าบอลลูนลอยขึ้นไวเท่าไร ในขณะนั้น วิธีทำ ขั้นที่ 1: เขียนรูปดังแสดงในรูป

ให้ = มุมยกจากพื้น (rad) y = ความสูงของบอลลูน(ฟุต) t = เวลา (นาที) Figure 2.43: The balloon in Example 3. ให้ = มุมยกจากพื้น (rad) y = ความสูงของบอลลูน(ฟุต) t = เวลา (นาที) สมมุติว่า  และ y เป็นฟังก์ชันที่ หาอนุพันธ์ได้ของ t ขั้นที่ 2: เขียนความสัมพันธ์ ระหว่างตัวแปรและได้เป็น หรือ ขั้นที่ 3: หาอนุพันธ์เทียบกับ t โดยปริยายทั้งสองข้างของสมการ ขั้นที่ 4: แทนค่า และ 0.14 rad/นาที จะได้อัตราที่บอลลูนลอยขึ้นเป็น ฟุต/นาที

ตัวอย่างที่ 4 การตรวจจับความเร็ว ตัวอย่างที่ 4 การตรวจจับความเร็ว รถตำรวจกำลังวิ่งจากทางเหนือ เข้าหาสี่แยกมุมฉาก เพื่อไล่ตามรถวิ่งเร็วเกินกำหนดที่เลี้ยวมา แล้ว และวิ่งไปทางทิศตะวันออก ขณะที่รถตำรวจอยู่ห่าง 0.6 ไมล์จากสี่แยก และรถวิ่งเร็วเกิน กำหนดอยู่ห่าง 0.8 ไมล์จากสี่แยก ตำรวจในรถได้ใช้เรดาร์ตรวจจับระยะทางพบว่า ระยะทาง ระหว่างรถทั้งสองคันเพิ่มขึ้นในอัตรา 20 ไมล์/ชั่วโมง ถ้ารถตำรวจกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 60 ไมล์/ชั่วโมงในขณะนั้น จงหาความเร็วของรถที่วิ่งเร็วเกินกำหนด วิธีทำ ขั้นที่ 1: เขียนรูปดังแสดงในรูป ให้ x = ตำแหน่งของรถที่วิ่งเร็วเกิน กำหนดที่เวลา t y = ตำแหน่งของรถตำรวจที่เวลา t s = ระยะห่างระหว่างรถทั้งสองที่เวลา t ให้ x, y, s เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของ t

ขั้นที่ 2: หาความสัมพันธ์ระหว่าง s, x และ y Figure 2.44: Figure for Example 4. ขั้นที่ 2: หาความสัมพันธ์ระหว่าง s, x และ y ขั้นที่ 3: อนุพันธ์เทียบกับ t ทั้งสองข้างของสมการ ขั้นที่ 4: แทนค่า จะได้ความเร็วของรถ ที่มีวิ่งเร็วเกินกำหนด หรือ ไมล์/ชั่วโมง

ตัวอย่างที่ 5 เติมน้ำถังรูปกรวย Figure 2.45: The conical tank in Example 5. ตัวอย่างที่ 5 เติมน้ำถังรูปกรวย เติมน้ำเข้าไปในถังรูปกรวยหงายด้วยอัตรา 9 ลูกบาศก์ฟุต/นาที กรวยสูง 10 ฟุต และมี ฐานรัศมี 5 ฟุต จงหาว่าระดับน้ำจะสูงขึ้น ด้วยอัตราเท่าไรในตอนที่ระดับน้ำอยู่ที่ 6 ฟุตจากพื้นถัง วิธีทำ ขั้นที่ 1: เขียนรูปดังแสดงในรูป ให้ V = ปริมาตรของน้ำในถังที่เวลา t x = รัศมีของผิวน้ำที่เวลา t y = ความสูงของน้ำที่เวลา t ให้ V, x, y เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของ t

ขั้นที่ 2: จากสูตรของปริมาตรกรวย และจากสามเหลี่ยมคล้าย หรือ จะได้ สูตรปริมาตรเป็น ขั้นที่ 3: อนุพันธ์เทียบกับ t ทั้งสองข้างของสมการ ขั้นที่ 4: แทนค่า จะได้อัตราการเพิ่มของระดับน้ำเป็น ฟุต/นาที