บทกลับของทฤษฎีพิทาโกรัส

งานนำเสนอเรื่อง: "บทกลับของทฤษฎีพิทาโกรัส"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 บทกลับของทฤษฎีพิทาโกรัส
กล่าวว่า: ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมีด้านยาว a , b และ c หน่วยและ c2 = a2+ b2 จะได้ว่า รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและมีด้านที่ยาว c หน่วย เป็นด้านตรงมุมฉาก สรุป ถ้า c2 = b2 + b2 แล้ว ABC เป็น มุมฉาก จำ ในรูป ใดๆ ที่มีด้านยาว (3 , 4 , 5) (5 , 12 , 13) (7 , 24 , 25) เป็นด้านของ มุมฉากเสมอ

2 กำหนดความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลียมต่าง ๆ ดังต่อนี้ จงหาว่าสามเหลี่ยมข้อใดเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ข้อ 1 1) 6 , 8 , 10 2) 4 , 6 , 8 3) 8 , 10 , 12 c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 102 = 82 = 122 = 100 = 64 = 144 = 100 = 100 = = ดังนั้น เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

3 4) 8 , 17 , 15 5) 1 , 4 , 6 6) , 0.4 , 0.5 c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 0.52 = 172 = 62 = 0.25 = 289 = 36 = 289 = 289 = = ดังนั้น เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

4 สามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อ 2 จงแสดงว่า ABC ในแต่ละข้อเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2.1 AB2 = AD2 + BD2 A B C D AB2 = AB2 = = 900 18 24 32 AC2 = AD2 + DC2 AC2 = AB2 = = 1600 BC2 = AB2 + AC2 ABC เป็น สามเหลี่ยมมุมฉาก (18+32)2 = = = 2500

5 ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
D B A 25 60 144 D B A C D A C B A AB2 = AC2 = AB2 + AC2 BC2 = = 4225 = ( )2 = 28561 28561 AB = 65 AC = 156 = ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

6 ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ
กำหนดให้ ABC มี CD ตั้งฉากกับ AB ที่จุด D จงพิจารณาว่าความยาวที่กำหนดให้ในข้อใด ทำให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะเหตุใด ข้อ 3 1) AC = 13 , BC = และ CD = 12 D C B A BC2 - CD2 BD2 = 13 15 12 152 - 122 BD2 = 225 - 144 BD2 = = 81 AC2 - CD2 AD2 = AC2 + BC2 AB2 = 132 - 122 AD2 = 132 + 152 (5+9) 2 = 169 - 144 AD2 = = 25 169 + 225 196 = ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ AC2 + BC2 AB2 =

7 ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ
2) AC = 10 , BC = และ CD = 8 D C B A BC2 - CD2 BD2 = 172 - 82 BD2 = 10 17 8 289 - 64 BD2 = = 225 AC2 - CD2 AD2 = AC2 + BC2 AB2 = 102 - 82 AD2 = 102 + 172 (15+6) 2 = 100 - 64 AD2 = 100 + 289 441 = = 36 ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ AC2 + BC2 AB2 =

8 ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ
2) AC = 3 , BC = 4 และ CD = 2.4 D C B A BC2 - CD2 BD2 = 42 - 2.42 BD2 = 3 4 2.4 BD2 = 16 - 5.76 = AC2 - CD2 AD2 = AC2 + BC2 AB2 = 32 - 2.42 AD2 = 32 + 42 ( ) 2 = 9 - 5.76 AD2 = 9 + 16 25 = = 3.24 ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ AC2 + BC2 AB2 =

9 บทกลับทฤษฎีบทพีทาโกรัส 60 63
ข้อ 4 ABC มี AB = เซนติเมตร AC = 60 เซนติเมตร และ BC = 87 เซนติเมตร จงหาความสูง AD (ตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง A C B D บทกลับทฤษฎีบทพีทาโกรัส 60 63 87 BC2 = AB2 + AC2 872 = 7569 = = 7569 ดังนั้น ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 1 2 x ฐาน สูง พื้นที่สามเหลี่ยม = 1 2 x 60 63 พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = = 1890 2 1 x 87 AD แต่ = 1890 x 2 87 AD = = เซนติเมตร

10 ข้อ 5 จากรูปกำหนดให้ AB = 21 หน่วย , BC = 28 หน่วย , CD = 7.2 หน่วย DE = 9.6 หน่วย AE = 37 หน่วย จงหาพื้นที่ของ ACE B E D C A 28 9.6 37 21 7.2 ใน CDE CE2 = CD DE2 CE2 = CE2 = = 144 ใน ABC ใน ACE AC2 = AB BC2 AE2 = AC2 + CE2 AC2 = = AC2 = 441 + 784 = 1225 = 1225 + 144 1369 = 1369 ดังนั้น ACE เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

11 ดังนั้น พื้นที่สามเหลี่ยม ACE = 210 ตารางหน่วย
B E D C A 37 35 12 1 2 x ฐาน สูง พื้นที่สามเหลี่ยม = พื้นที่สามเหลี่ยม ACE = 1 2 x 12 35 ดังนั้น พื้นที่สามเหลี่ยม ACE = ตารางหน่วย

12 ชายคนหนึ่งต้องการตรวจสอบว่า ผนังของบ้านตั้งฉากกับพื้นดินหรือไม่ เขาจึงทำเครื่องหมายที่ผนังสูงจากพื้นขึ้นไป 8 ฟุต แล้ว ใช้ปลายข้างหนึ่งของเชือกยาว 10 ฟุต ผูกที่จุดที่ทำเครื่องหมาย ไว้นั้น ปลายเชือกข้างหนึ่งผูกไว้ที่หลัก ซึ่งปักอยู่บนพื้นดิน ระยะระหว่างหลักและผนังต้องเป็นเท่าไร จึงจะบอกได้ว่าผนัง ตั้งฉากกับพื้นดิน ข้อ 6 ถ้าผนังตึกตั้งฉากกับพื้นดิน เชือกจะต้องเป็นด้านที่ตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น a เป็นระยะห่างจากผนังตึกกับหลักที่ปักบนดิน จะได้ a2 = a2 = = 36 10 8 a ระยะห่างจากผนังตึกกับหลักที่ปักบนดิน = 6 ฟุต

13 ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า
ข้อ 7 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่งมีด้านยาว 7 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร มีเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งยาว 15 เซนติเมตร รูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ถ้าไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปนี้จะยาวกว่าหรือสั้นกว่า 15 เซนติเมตร ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า A B C D 7 12 15 152 = = 193 225 แต่ ดังนั้น ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เส้นทแยงมุม BD จะสั้นกว่า เส้นทแยงมุม AC เพราะ AC เป็นด้านปิดมุมป้าน แต่ BD เป็นด้านปิดมุมแหลม