หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและมุมแย้ง คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและมุมแย้ง สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

เรียกมุม x และมุม y ว่ามุมแย้ง เรียกมุม u และมุม v ว่ามุมแย้ง จากรูป เรียกมุม x และมุม y ว่ามุมแย้ง เรียกมุม u และมุม v ว่ามุมแย้ง

สำรวจมุมแย้ง

1) A E B D F C F E A ˆ D กับ F E B ˆ C กับ

2) C A E F B D F E A ˆ D กับ F E B ˆ C กับ

P 3) A Q M B N B A P ˆ N กับ B A Q ˆ M กับ

M S N 4) O T R T S M ˆ R กับ T S N ˆ O กับ

5) P Q A R B S B A P ˆ S กับ B A Q ˆ R กับ

C 6) A F E D B E F C ˆ B กับ F E A ˆ D กับ

ทฤษฎีบท กันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง จะมีขนาดเท่ากัน ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนาน กันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง จะมีขนาดเท่ากัน

1. = 2. = F E A ˆ D F E B ˆ C กำหนดให้ AB // CD มี เป็นเส้นตัด EF AB มี เป็นเส้นตัด EF AB ตัด ที่จุด E และตัด ที่จุด F CD F E A ˆ D = 1. ต้องการพิสูจน์ว่า F E B ˆ C = 2.

F E B ˆ D พิสูจน์ AB // CD (กำหนดให้) + = 180 (ขนาดมุมภายในบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ180 )

F E B ˆ A F E B ˆ A D + = 180 (ขนาดของมุมตรง) + = C E F F E B ˆ A + = 180 (ขนาดของมุมตรง) F E B ˆ A + = D (สมบัติของการเท่ากัน)

F E A ˆ D F E B ˆ F E A ˆ C = จะได้ (นำ มาลบทั้งสองข้าง) + = 180 (นำ มาลบทั้งสองข้าง) F E B ˆ F E A ˆ C + = 180 (ขนาดมุมภายในบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ180 )

F E A ˆ B F E A ˆ B C + = 180 (ขนาดของมุมตรง) + = D C E F F E A ˆ B + = 180 (ขนาดของมุมตรง) F E A ˆ B + = C (สมบัติของการเท่ากัน)

A B D C E F F E B ˆ = C จะได้ (นำ มาลบทั้งสองข้าง) F E A ˆ

= และ = Q P A ˆ D Q P B ˆ C จากรูป AB // CD PQ เป็นเส้นตัด , จะได้ว่า

และมี เป็นเส้นตัด ดังรูปจงอธิบาย XY ว่ามุมคู่ใดมีขนาดเท่ากันบ้าง ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ AB // CD และมี เป็นเส้นตัด ดังรูปจงอธิบาย XY ว่ามุมคู่ใดมีขนาดเท่ากันบ้าง X A B 1 2 3 4 5 6 C D 7 8 Y

= = 3 ˆ 6 4 ˆ 5 เนื่องจาก AB // CD มี เป็นเส้นตัด XY 1 2 3 4 6 5 7 8 เนื่องจาก AB // CD มี เป็นเส้นตัด XY จะได้มุมแย้งมีขนาดเท่ากันคือ 3 ˆ 6 = 4 ˆ 5 = และ

= = = = 1 ˆ 4 2 ˆ 3 5 ˆ 8 6 ˆ 7 เนื่องจาก XY ตัดกับ และ AB CD ตัดกับ และ AB CD จะได้มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากันคือ 1 ˆ 4 = , 2 ˆ 3 = , 5 ˆ 8 = และ 6 ˆ 7 =

= = 1 ˆ 4 5 8 2 ˆ 3 6 7 โดยสมบัติการเท่ากัน สรุปได้ว่ามีมุม X A B 1 2 3 4 5 6 C D 7 8 Y โดยสมบัติการเท่ากัน สรุปได้ว่ามีมุม ที่มีขนาดเท่ากันอยู่ 2 ชุด 1) 1 ˆ 4 = 5 8 2) 2 ˆ 3 = 6 7

C B A ˆ C A B ˆ E C A ˆ 4) จากรูป กำหนดให้ BA // DE และ ถ้า = 55 = 76 = 76 E C A ˆ จงหาขนาดของ A D 76 55 B C E

C B A ˆ C A B ˆ E C A ˆ กำหนดให้ BA // DE = 55 และ = 76 76 กำหนดให้ BA // DE = 55 C B A ˆ และ = 76 C A B ˆ ต้องการพิสูจน์ ขนาดของ E C A ˆ พิสูจน์ BE BA//DE มี เป็นเส้นตัด

A B C E D 55 76 C B A ˆ D + = 180 125 (ขนาดมุมภายในบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ180 ) 55 + D C B ˆ = 180 D C B ˆ = 180 - 55 D C B ˆ = 125

C A B ˆ D C A B ˆ D C A ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนานกันและมี E D 55 76 76 C A B ˆ = D (ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้ง มีขนาดเท่ากัน ) C A B ˆ = 76 (กำหนดให้) ดังนั้น D C A ˆ = 76 (สมบัติการเท่ากัน)

D C B ˆ E E C D ˆ E C D ˆ E C D ˆ D C A ˆ E E C A ˆ E C A ˆ + = 180 55 76 D C B ˆ E + = 180 (ขนาดของมุมตรง) 125 + E C D ˆ = 180 76 55 125 E C D ˆ = 180 - E C D ˆ = 55 D C A ˆ E + = = E C A ˆ + 76 55 = E C A ˆ 131

5) จากรูป กำหนดให้ ถ้ามุม BA // DE ABC = 115 องศา และมุมBCD= 105 5) จากรูป กำหนดให้ ถ้ามุม BA // DE ABC = 115 องศา และมุมBCD= 105 องศา จงหาขนาดของมุมCDE A B 115 C F 105 D E

ต้องการพิสูจน์ ขนาดของมุมCDE สร้างเพื่อการพิสูจน์ ลาก CF // BA 115 105 F BA // DE กำหนดให้ มุมABC =115 องศา มุมBCD= 105 องศา ต้องการพิสูจน์ ขนาดของมุมCDE สร้างเพื่อการพิสูจน์ ลาก CF // BA

C B A ˆ F พิสูจน์ (กำหนดให้) BA // CF + = 180 D E 115 105 F พิสูจน์ (กำหนดให้) BA // CF C B A ˆ F + = 180 (ขนาดมุมภายในบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ180 )

F C B ˆ 115 F C B ˆ 115 F C B ˆ 65 D C B ˆ 105 + = 180 = 180 - = = A B C D E 115 105 F F C B ˆ + = 180 115 F C B ˆ = 180 115 - F C B ˆ = 65 D C B ˆ = 105 (กำหนดให้)

A B C D E 115 105 F D C F ˆ = B - 65 105 = - D C F ˆ = 40

D C F ˆ E E D C ˆ CF // ED (กำหนดให้) = (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี A B C D E 115 105 F CF // ED (กำหนดให้) D C F ˆ = E (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น E D C ˆ = 40 (สมบัติการเท่ากัน)

การบ้าน แบบฝึกหัด 4.2 ก หน้าที่ 136 ข้อที่ 1, 2, 3