3 The Discrete-Time Fourier Analysis and Transform การวิเคราะห์และการแปลงฟูริเยร์ แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา รศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เป้าหมาย นศ เรียนรู้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (The Discrete-Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกต่างกับ Discrete Fourier Transform (DFT) ในบทที่ 5) นศ เรียนรู้ทฤษฎีการสุ่มสัญญาณ นศ รู้จักความหมายของผลตอบสนองความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ความสัมพันธ์ของ สัญญาณแอนะลอกและดิจิตอล xa(t) คือ สัญญาณแอนะลอก x(n) คือ สัญญาณดิจิตอล CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ความสัมพันธ์ของความถี่เชิงมุมแอนะลอกและความถี่เชิงมุมดิจิตอล จึงได้ว่า ช่วงเวลาชักตัวอย่าง ความถี่เชิงมุมดิจิตอล ความถี่เชิงมุมแอนะลอก CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สัญญาณไซน์ไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-Time Sinusoidal Signals) ความถี่เชิงมุมดิจิตอล (Digital Angular frequency) หรือ เรียกง่ายๆ ว่า ความถี่ดิจิตอล (Digital frequency) หน่วยเป็นเรเดียนต่อแซมเปิ้ล (Radians per sample) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สมมติให้ ดังนั้นจาก f เรียกว่า ความถี่นอร์มัลไลซ์ (Normalised frequency) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

1 คาบ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

X(n) ของค่า T= ½, ¼ และ 1/8 ของ fs CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สัญญาณรายคาบ เมื่อ N=6 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

1 สัญญาณรายคาบ สัญญาณจะเป็นรายคาบที่ N แซมเปิ้ล หมายถึง ค่าถัดไป N แซมเปิ้ล มีค่าเท่ากับค่าปัจจุบัน เงื่อนไขคือ ความถี่ (f)*คาบ (N) เป็นค่าจำนวนเต็ม (k) หรือ fN=k หรือ f= k/N CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่าง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่าง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

พิสูจน์ หากเราให้ x(n) และ x(N+n) เป็น CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

กรณี f *N เป็นเลขจำนวนเต็ม CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

กรณี f *N เป็นเลขจำนวนเต็ม = k ดังนั้น k จึงเป็นจำนวนเท่าของ 2pi หรือ จะได้ว่า x(n+N) = x(n) ก็ต่อเมื่อ ความถี่ f ซึ่งเป็นอัตราส่วนของ k และ N เป็นเศษส่วนของเลขจำนวนเต็ม (Rational number) เท่านั้น หรือ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ดังนั้น แต่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

2 สัญญาณจะมีความถี่ได้มากสุด=Pi สำหรับ จะได้ว่าสัญญาณฟังก์ชันโคไซน์ ที่ให้ค่าเป็นบวก เขียนได้ 2 แบบ โดยที่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ความถี่ ค่าของฟังก์ชันโคไชน์จะเขียนแทนได้ด้วยค่าที่อยู่ในช่วง หรือได้ว่า CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ความถี่ f ค่าของฟังก์ชันโคไชน์จะเขียนแทนได้ด้วยค่าที่อยู่ในช่วง หรือ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เราได้ว่าที่ความถี่มากกว่า pi เรเดียน จะได้ เช่น ตัวอย่างเช่น เราได้ว่าที่ความถี่มากกว่า pi เรเดียน จะได้ เช่น CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

3 สัญญาณไซน์ที่มีความถี่ต่างกัน 2Pi จะเป็นสัญญาณเดียวกัน จาก ให้ จะได้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-Time Fourier Series) เราวิเคราะห์สัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องทางเวลาที่เป็น รายคาบ (Periodic) ได้ด้วยอนุกรมฟูริเยร์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-Time Fourier Series) สมการการสังเคราะห์ (Synthesis Equation) สมการการวิเคราะห์ (Analysis Equation) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-Time Fourier Transform) เราวิเคราะห์สัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องทางเวลาที่ไม่เป็นรายคาบ (Non-Periodic) ได้ด้วยการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (DTFT) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

โดเมนเวลา โดเมนความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลจากการประสาน h(n)*e^jwn CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

The Discrete-Time Fourier Transform ผลการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (DTFT) ของ h(n) คือ ความถี่ดิจิตอลเชิงมุม หมด ความหมายของการเป็น ความถี่ ทำนองเดียวกับ n ที่ หมดความหมาย ในการเป็น “เวลา”. = ความถี่ดิจิตอลหน่วยเป็น เรเดียน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

กรณีผลตอบสนองอิมพัลส์ เป็นเดลต้าฟังก์ชัน กรณีผลตอบสนองอิมพัลส์ เป็นเดลต้าฟังก์ชัน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

กรณีผลตอบสนองอิมพัลส์ เป็นเดลต้าฟังก์ชันได้ผลลัพท์ y(n) =x(n) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การแปลง DTFT กรณีผลตอบสนองอิมพัลส์เป็นเดลต้าฟังก์ชัน เนื่องจาก เดลต้าฟังก์ชัน มีค่าเป็น 1 ณ ตำแหน่งเดียวคือที่ n=0 ดังนั้น หรือ เป็นค่าคงที่ =1 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่าง LabVIEW กรณีผลตอบสนองอิมพัลส์ เป็นเดลต้าฟังก์ชัน 1 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

กรณีอิมพัลส์เรสปอนส์เป็น เดลต้าฟังก์ชัน+ค่าหน่วงเวลาของมัน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

กรณีอิมพัลส์เรสปอนส์เป็น เดลต้าฟังก์ชัน+ค่าหน่วงเวลาของมัน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

LabVIEW กรณีอิมพัลส์เรสปอนส์เป็น เดลต้าฟังก์ชัน+ค่าหน่วงเวลาของมัน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลรวมเรขาคณิตมีประโยชน์ในการคำนวณ DTFT ผลรวมเรขาคณิตแบบไม่จำกัด (Infinite geometric sum): ผลรวมเรขาคณิตแบบจำกัด (Finite geometric sum): CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่างการแปลง DTFT I จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n) วิธีทำ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่างการแปลง DTFT II จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมื่อ และเป็น 0 เมื่อ n เป็นค่าอื่นๆ วิธีทำ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่างการแปลง DTFT III วิธีทำ สังเกต เครื่องหมาย ว่า n=0 อยู่ ณ ตำแหน่งของค่า 2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลตอบสนองความถี่ของระบบ เมื่อทำการประสานจะได้ การแปลงฟูริเยร์ที่ความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เป็นผลตอบสนองความถี่ของระบบ h(n) ใช้หาค่าของเอาท์พุท y(n) หรือเขียนในรูปโดเมนความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Frequency Response from Poles and Zeros ขนาดผลตอบสนองความถี่เป็น ขนาดจากซีโร่ ไปยังวงกลมหนึ่งหน่วย หารด้วย ขนาดจากโพลไปยังวงกลมหนึ่งหน่วย ณ ความถี่หนึ่ง B A ขนาดที่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Example for Frequency Response สมมติว่า โพล = .8 ซีโร่ =0 ความถี่ต่ำ ความถี่กลางๆ ความถี่สูง B B A A A B B > A B = A B < A = มาก = กลางๆ = น้อย CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Plot of Magnitude สูง ต่ำ กลาง B A CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่าง Example 4.4.1 หาผลลัพท์ของระบบ โดยมีอินพุทเป็น ลำดับ ที่ ได้ ที่ ได้ ดังนั้น CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หาผลตอบสนองของ h(n) แสดงว่า zero มีตัวเดียว คือ z1=0 Pole มี p1=1/2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การหาผลตอบสนองความถี่จากสมการผลต่าง (Frequency Response from Difference Equations) ให้ ดังนั้น ตัด CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

มีระบบ LSI ที่อธิบายได้ด้วย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พุท ตัวอย่าง มีระบบ LSI ที่อธิบายได้ด้วย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พุท จงหา ผลตอบสนองและสัญญาณ y(n) เมื่อ อินพุทเป็น วิธีทำ ผลตอบสนองความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

จึงได้จากการแปลง “เฟสเซอร์” ที่ ดังนั้น จึงได้จากการแปลง “เฟสเซอร์” ขนาด เฟส CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทดสอบ ค่า y(n) ที่คำนวณ 4.092 ต่างเฟส =3.42 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การชักตัวอย่างสัญญาณ (Sampling) ทฤษฎีการชักตัวอย่างสัญญาณ กล่าวว่า “ความถี่ของสัญญาณชักตัวอย่าง จะต้องมากกว่า 2 เท่าของ ความถี่สูงสุดของสัญญาณ ( fmax)” หากความถี่สุ่ม = fs ดังนั้น ... สัญญาณชักตัวอย่าง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สเปคตรัม (Spectrum) และ ผลของการ ชักตัวอย่างสัญญาณ สเปคตรัมเป็นการแสดงค่าการกระจายของสัญญาณในเชิงความถี่ ผลของการสุ่มทำให้เกิด สเปคตรัมแบบเป็นคาบ (periodic) ความถี่ fmax หรือ f0 เรียกว่า ความถี่ไนควิสต์ (Nyquist Frequency) ความถี่ชักตัวอย่างสัญญาณ ต่ำสุดที่จะไม่เกิด aliasing จะเรียกว่า อัตราไนควิสต์ (Nyquist rate) สเปคตรัม ความถี่ = Nyquist rate CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

อะไรคือแอลิแอส (Aliasing) ? การเกิดแอลิแอส ในทาง dsp คือ “การเกิดการซ้อนทับของสเปคตรัม” สาเหตุคือ การที่ความถี่ชักตัวอย่างสัญญาณ น้อยกว่าสองเท่าของความถี่ไนควิสต์ หรือ ทางแก้: 1 ใช้ Anti-aliasing filter ซึ่งเป็น วงจรกรองต่ำผ่าน (Low pass filter) 2 ทำ Oversampling แอลิแอส CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทฤษฎีการชักตัวอย่างสัญญาณและคืนรูปสัญญาณ (Sampling and Reconstruction) ผลตอบสนองของสัญญาณต่อเนื่องทางเวลา xa(t) คือ = ความถี่แอนาลอก เป็น เรเดียนต่อวินาที หาได้จากการแปลงฟูริเยร์ของ แปลงฟูริเยร์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ความถี่แอนาลอกกับ ความถี่ดิจิตอล สัมพันธ์กันดังนี้ ผลของการชักตัวอย่างสัญญาณ ทำให้การแปลงฟูริเยร์เป็น รายคาบ (periodic) แปลงฟูเรียร์ สัญญาณสุ่ม มีความถี่= 1/T CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทฤษฎีการสุ่ม สัญญาณชักตัวอย่าง: สัญญาณแอนะลอกที่ถูกชัก แปลง อิมพัลส์ เป็น สัญญาณ DT สัญญาณชักตัวอย่าง: สัญญาณแอนะลอกที่ถูกชัก ตัวอย่างสัญญาณ : สัญญาณไม่ต่อเนื่อง (DT): CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทฤษฎีการชักตัวอย่างสัญญาณ (ต่อ) การแปลงฟูริเยร์สำหรับสัญญาณแอนาลอก xa(t) เมื่อ คือ ความถี่แอนาลอก หน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/sec) ทำการชักตัวอย่างสัญญาณแอนาลอก ด้วย ความถี่ T วินาที และแปลงฟูริเยร์ ก็ได้เป็น สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สมการแอลิแอส (Aliasing formula) การแปลง DTFT ของ x(n) ได้เป็น เป็น ผลรวมของ ที่ต่างความถี่ สมการแอลิแอส (aliasing formula) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เมื่อช่วงเวลาในการสุ่ม เกิด แอลิแอสและไม่สามารถคืนรูปสัญญาณได้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แบนด์วิทของสัญญาณที่ใช้ได้ (คือไม่เกิดแอลิแอส) ความถี่ในการสุ่มสัญญาณ Hertz แบนด์วิทมากสุดของสัญญาณ (ความถี่ไนควิสต์) Hertz สัญญาณสุ่มต้อง มีค่ามากกว่า แบนด์วิท 2 เท่า CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การคืนรูปสัญญาณ (Reconstruction) ใช้วงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติ กรองต่ำผ่าน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

จากเรื่องการสุ่มเราได้ แปลงกลับเป็น อิมพัลส์ กรองต่ำผ่าน อุดมคติ ตัวแปลง D/C อุดมคติ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลตอบสนองของวงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติ แปลงผกผันฟูเรียร์ การคืนรูปสัญญาณ สูตรการทำ Interpolation CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย sinc function ที่มีการเลื่อน ตำแหน่ง dsp_3_1.jpg แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย sinc function ที่มีการเลื่อน ตำแหน่ง dsp_3_2.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลการคูณของแต่ละตำแหน่ง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลรวมของการทำ interpolation คือสัญญาณคืนรูป dsp_3_9.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สรุป DFS ใช้วิเคราะห์ สัญญาณรายคาบ DTFT ใช้วิเคราะห์สัญญาณทั้งเป็นรายคาบและไม่เป็นรายคาบ การชักตัวอย่างสัญญาณทำให้เกิดผลตอบสนองความถี่ที่เป็นรายคาบ โดยความถี่การชักตัวอย่างจะต้องมากกว่า 2 เท่า ของ ความถี่แอนาลอกสูงสุด การคืนรูปสัญญาณได้โดยการใช้วงจรกรองต่ำผ่านกับสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon