(Tiling Deficient Boards with Trominoes) โดย นายสุธี ทวีวัฒนานนท์ 42040733 วิชา สัมมนา (417497)

สมมติว่าเราตัดช่องใดช่องหนึ่งออกจากboard ขนาด 7x7 เราจะสามารถวาง คำถามก็คือ สมมติว่าเราตัดช่องใดช่องหนึ่งออกจากboard ขนาด 7x7 เราจะสามารถวาง trominoes Board ขนาด 7 x 7

แทนช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 รูปซึ่งประกอบเข้าด้วยกัน Trominoes แทนช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 รูปซึ่งประกอบเข้าด้วยกัน และ “ การวางได้พอดี ” คือ การวาง trominoes ให้เต็มพอดีในช่องที่เหลือ โดยไม่มีการซ้อนทับกันหรือเกินออกมานอก board ที่กำหนด

board ขนาด 7 x 7 สามารถวาง trominoes ลงในช่องที่เหลือได้พอดี

Board ขนาด 7 x 7 Deficient 7 x 7 Board

เราต้องการศึกษาเกี่ยวกับ 1. การหาเงื่อนไขในการเลือกช่องที่จะตัดออกจาก board ขนาดต่าง ๆ ซึ่งมีผลทำให้สามารถวาง “trominoes” ได้พอดี 2. การหาเงื่อนไขว่า “deficient board” ขนาดใดบ้างที่จะสามารถวาง “trominoes” ได้พอดี

เช่น ในกรณี deficient 7x7 board หากเราทำการศึกษาต่อไปจะพบว่า เงื่อนไขในการเลือกช่องที่ตัดออกจะไม่มีผลต่อการวางได้พอดี เพราะทุก ๆ deficient 7 x 7 board เราจะสามารถวางได้พอดี แต่ในกรณี deficient 5 x 5 board จะมีเพียงแบบที่ตัดช่องตรงมุมออกเท่านั้น จึงจะสามารถวางได้พอดี

เราจะได้ deficient 2 x 2 board ซึ่งสามารถวางได้พอดี Proposition 1 : ทุก ๆ deficient 2k x 2k board ; k > 1 จะสามารถวางได้พอดี Proof : จะแสดงการพิสูจน์โดย induction กรณีที่ k=1 ; เราจะได้ deficient 2 x 2 board ซึ่งสามารถวางได้พอดี

พิจารณา deficient 2k+1 x 2k+1 board

จากข้อสมมติจะได้ว่า deficient boardย่อย นี้จะสามารถวางได้พอดี 2 k+1

วาง trominoes T ลงใน board 2 k+1 2 k x2 k จากข้อสมมติจะได้ว่า deficient board ย่อย ทั้ง 3 นี้ สามารถวางได้พอดี กรณีที่ deficient 2k+1 x 2k+1 board เป็นจริง ดังนั้น ทุกๆ deficient 2k x 2k board ; k >1 สามารถวางได้พอดี

board ขนาด 5 x 5 ที่ตัดช่องตรงมุมออกสามารถวางได้พอดี Proposition 2 : board ขนาด 5 x 5 ที่ตัดช่องตรงมุมออกสามารถวางได้พอดี Proof : หากเราตัด 2 แถวบนสุดและสองแถวซ้ายสุด ออกไปจาก deficient 7 x 7 board ข้างต้น

Proposition 3 : board ขนาด (2i) x (3j) ; i , j > 1 สามารถวางได้พอดี Proof : 3 2 ซึ่งสี่เหลี่ยมนี้สามารถวางลงใน board ขนาด (2i) x (3j) ได้เต็มพอดี ดังนั้น board ขนาด (2i) x (3j) ; สามารถวางได้พอดี

Proposition 4 : ทุก ๆ deficient 7x7 board สามารถวางได้พอดี Proof : เราจะพิจารณา 7x7 board ซึ่งตัดช่องที่ ( i,j ) ; i < j < 4 เท่านั้น ซึ่งช่องที่ตัดออก ได้แก่ (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,2) , (2,3) , (2,3) , (2,4) , (3,3) , (1,3) , (4,4)

พิจารณาการตัดออกแต่ละช่องดังนี้ ในกรณีที่ตัดช่อง (1,1) ออกจาก board เราจะสามารถวางได้พอดี Deficient 5 x 5 3 x 2 2 x 3 โดย board ย่อยขนาด 3x2 และ 2x3 สามารถวางได้พอดีจาก proposition 3 และ board ย่อยขนาด 5x5 ซึ่งตัดช่องตรงมุมออกสามารถวางได้พอดีจาก proposition2

ในกรณีที่ตัดช่อง (1,2) หรือ (2,2) ออกจาก board Deficient 5 x 5 Deficient 5 x 5 3 x 2 3 x 2 2 x 3 2 x 3

ในกรณีที่ตัดช่อง (1,3) ออก เราจะสามารถวางได้พอดี ในกรณีที่ตัดช่อง (1,3) ออก เราจะสามารถวางได้พอดี 3 x 2 4 x 3 4 x 3 3 x 4 โดย board ย่อยขนาด 3 x 4 และ 4 x 3 สามารถวางได้พอดี จาก proposition 3

ในกรณีที่ตัดช่อง (1,4) หรือ (2,3) หรือ (2,4) ช่องใดช่องหนึ่งออก ในกรณีที่ตัดช่อง (1,4) หรือ (2,3) หรือ (2,4) ช่องใดช่องหนึ่งออก 3x2 3x2 4x3 3x2 4x3 3x4 4x3 4x3 3x4 4x3 3x4

ในกรณีที่ตัดช่อง (3,3) ออกจะสามารถวางได้พอดี ในกรณีที่ตัดช่อง (3,3) ออกจะสามารถวางได้พอดี

ในกรณีที่ตัดช่อง (3,4) ออกจะสามารถวางได้พอดี ในกรณีที่ตัดช่อง (3,4) ออกจะสามารถวางได้พอดี 2 x 3 3 x 2 3 x 2 2 x 3

3 x 2 4 x 3 4 x 3 3 x 4 ในกรณีตัดช่อง (4,4) ออกจะสามารถวางได้พอดี จากในทุกๆกรณีข้างต้นทำให้ board ขนาด 7 x 7 สามารถวางได้พอดี เมื่อตัดช่องที่ (i,j) ; i < j < 4 ดังนั้น จากคุณสมบัติ สมมาตร จะได้ว่า ทุก ๆ deficient 7 x 7 board สามารถวางได้พอดี

พิจารณาในกรณีทั่วๆไป Theorem 1 : เราสามารถวาง trominoes ลงใน deficient n x n board ใดๆ ได้พอดีถ้า n เป็นเลขคี่ , n > 5 และ 3 n

11 7 x 7 6 x 4 11 5 x 5 4 x 6 จาก Proposition 4 จะได้ว่า deficient 7 x 7 board ย่อย นี้สามารถวางได้พอดี จาก Proposition 3 จะได้ว่า board ย่อย ขนาด 6 x 4 และ 4 x 6 สามารถวางได้พอดี จาก Proposition 2 จะได้ว่า board ย่อย ขนาด 5 x 5 ซึ่งตัดตรงมุมออก สามารถวางได้พอดี

ต่อไปจะแสดงการพิสูจน์โดยใช้ induction ให้ n เป็นเลขคี่ , n > 11 และ 3 n และสมมติให้ deficient k x k board โดยที่ k เป็นเลขคี่ , k > 5 , 3 k สามารถวางได้พอดี โดยจะแสดงให้ได้ว่า deficient (k+1) x (k+1) board สามารถวางได้พอดีด้วย จาก n > 11 ดังนั้น n – 6 > 5 จาก n เป็นเลขคี่ ดังนั้น n – 6 เป็นเลขคี่ จาก 3 n ดังนั้น 3 (n-6) เลือก k เป็น (n-6) ซึ่งจากข้อสมมติจะได้ว่า deficient (n-6) x (n-6) board

จะพิสูจน์ว่า deficient (k+1)x(k+1) board สามารถวางได้พอดี (n-6) x (n-6) (n-6) x 7 7 x 7 n 7 x (n-6)

เราสามารถวาง trominoes ลงใน deficient n x n board ใด ๆ Theorem 2 : เราสามารถวาง trominoes ลงใน deficient n x n board ใด ๆ ได้พอดี ถ้า n เป็นเลข คู่ , n > 1 และ 3 n Proof : ในกรณีที่ n = 2,4,8 ; ได้แสดงแล้วใน Proposition 1

พิจารณาในกรณีที่ n เป็นเลขคู่ , n > 8 และ 3 ł n ดังนั้น จาก Theorem 1 ; deficient (n-3) x (n-3) board สามารถวางได้พอดี

n (n-3) x (n-3) (n-4) x 3 n 4 x 4 3 x (n-4)

board ย่อย ขนาด (n-3) x(n-3) ซึ่ง deficient board ย่อยนี้ สามารถวางได้พอดี จาก n เป็นเลขคู่ ดังนั้น (n-4) เป็นเลขคู่ ซึ่งเขียนให้อยู่ในรูป (2i) ; i >1 ได้ ดังนั้น จาก Proposition 3 ; board ย่อยขนาด (n-4) x 3 และ 3 x (n-4) จาก Proposition 1 ; deficient board ย่อยขนาด 4 x 4 ดังนั้น deficient n x n board โดยที่ n เป็นเลขคู่ , n > 1 และ 3 n สามารถวาง trominoes ได้พอดี

Theorem 3 : ถ้า n 5 จะได้ว่า deficient n x n board ใด ๆ สามารถวาง tromioes ได้พอดี ก็ต่อเมื่อ 3 n Proof : กำหนดให้ n 5 () สมมติให้ deficient n x n board ใด ๆ สามารถวางได้พอดี จาก deficient n x n board มีพื้นที่ n2-1 ช่อง และ tromioes มีพื้นที่ 3 ช่อง จะได้ว่า 3( n2-1 ) แต่จาก 3 1 นั่นคือ 3 n2 ดังนั้น 3 n ด้วย

() สมมติให้ 3 n จะแสดงว่า deficient n x n board ใดๆ สามารถวางได้พอดี จาก Theorem 1 และ Theorem 2 จะได้ว่า deficient n x n board ใดๆ สามารถวางได้พอดี ยกเว้นในกรณีที่ n เป็นเลขคี่ , n 5 และ 3 n ซึ่งจะทำให้เหลือในกรณีที่ n = 1,3,5 กรณีที่ n = 1 ; จะได้ 1 x 1 board ซึ่งมีพื้นที่ 1 ช่อง ดังนั้นไม่พิจารณาในกรณีนี้ กรณีที่ n = 3 ; จากที่ 3 n ดังนั้นไม่พิจารณาในกรณีนี้ กรณีที่ n = 5 ; จากเงื่อนไขข้างต้นที่ว่า n 5 ดังนั้นไม่พิจารณาในกรณีนี้ ดังนั้น deficient n x n board ใด ๆ สามารถวางได้พอดี

board ขนาด n x n ใดๆ โดยที่ 3 n และ n 5 จากการศึกษาจะพบว่า board ขนาด n x n ใดๆ โดยที่ 3 n และ n 5 จะสามารถวางได้พอดี ไม่ว่าเราจะเลือกตัดช่องใดออกก็ตาม และถ้า n = 5 จะต้องเลือกตัดเฉพาะช่องตรงมุมออกเท่านั้น จึงจะสามารถวางได้พอดี