ความสัมพันธ์และความสัมพันธ์ทวิภาค ค31212 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 2
นิยาม 3.3 ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ r เป็นความสัมพันธ์ จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r A B ถ้า (a,b) r จะกล่าวว่า a มีความสัมพันธ์ r กับ b เขียนแทนด้วย a r b ถ้า (a,b) r จะกล่าวว่า a ไม่มีความสัมพันธ์ r กับ b เขียนแทนด้วย a r b ถ้า A = B จะกล่าวว่า r เป็นความสัมพันธ์บน A ก็ต่อเมื่อ r A A
ความสัมพันธ์ทวิภาค ความสัมพันธ์ทวิภาคจาก เซต A ไป B คือสับเซต ของผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเซต A กับเซต B นั่นคือ ถ้า R เป็นความสัมพันธ์จาก A ไปเซต B แล้วจะได้ว่า R A B เราเรียก A ว่าโดเมน (domain) และเรียก B ว่าเรนจ์ (range) ของ ความสัมพันธ์ R
ตัวอย่าง 1 ถ้า A เป็นเซตของจังหวัดและ B เป็นเซตของภาคใน ประเทศไทย โดยกำหนดให้ A = {กรุงเทพ, ขอนแก่น, เชียงใหม่, สงขลา} B = {กลาง, เหนือ, อีสาน, ใต้} และ R = {(กรุงเทพ,กลาง),(ขอนแก่น,อีสาน), (เชียงใหม่,เหนือ), (สงขลา,ใต้)} จะได้ R เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไป B โดยกำหนด (a,b) R ถ้าจังหวัด a อยู่ในภาค b
ความสัมพันธ์แบบทวิภาค (ต่อ) ถ้า (a,b) R ใช้สัญลักษณ์ a R b แทน a มี ความสัมพันธ์ R กับ b ซึ่งเป็นการเขียนความสัมพันธ์ แบบ ตามลำดับ (infix notation) และถ้า a ไม่มีความสัมพันธ์ R กับ b แล้ว จะเขียน แทนด้วย a R b
ตัวอย่าง 2 ถ้า A = {2,4,6} และ B = {x,y} และ R = {(2,x), (2,y), (4,x), (6,y)} ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ จากเซต A ไปยังเซต B แล้วจะได้ 2Rx, 2Ry, 4Rx, 6Ry แต่ 4Ry และ 6Rx
ตัวอย่าง 3 ให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม เราสามารถกำหนด ความสัมพันธ์ < (น้อยกว่า) ระหว่างจำนวนเต็มได้ดังนี้ R = {(a,b) | (a,b) I I และ a น้อยกว่า b } ในที่นี้ ใช้สัญลักษณ์ R แทนความสัมพันธ์น้อยกว่า นั่นคือ a < b จะหมายถึง (a,b) R หรือ (a,b) เป็นสมาชิกของ ความสัมพันธ์ R
นิยาม ความสัมพันธ์บนเซต A คือความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต A
ตัวอย่าง 4 ให้ S = {1,3,5} และให้ R เป็นความสัมพันธ์ บน เซต S จะได้