เวกเตอร์ (Vectors) 1.1 สเกลาร์และเวกเตอร์ สเกลาร์ คือ ปริมาณที่กำหนดได้สมบูรณ์ โดยบอกขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มวล อุณหภูมิ ปริมาตร เวลา เป็นต้น เวกเตอร์ คือ ปริมาณที่กำหนดได้สมบูรณ์ โดยบอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรง ความเร่ง ความเร็ว เป็นต้น สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเวกเตอร์

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย เช่น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย เมื่อแทนขนาดของเวกเตอร์ด้วย ดังนั้นเวกเตอร์ เขียนได้เป็น ในระบบพิกัดฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางบวกของแกน x, y, และ z แทนด้วย และ

1.2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 1.2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก การแยกเวกเตอร์องค์ประกอบของเวกเตอร์ ใน 2 มิติ y เขียนเป็นสมการได้ว่า หรือ และ เป็นเวกเตอร์องค์ประกอบ ของ ในแนวแกน x และ y  x

การแยกเวกเตอร์องค์ประกอบของเวกเตอร์ ใน 3 มิติ z เขียนเป็นสมการได้ว่า การแยกเวกเตอร์องค์ประกอบของเวกเตอร์ ใน 3 มิติ z เขียนเป็นสมการได้ว่า หรือ  y  x , และ เป็นเวกเตอร์องค์ประกอบของ ในแนวแกน x, y และ z

ตัวอย่าง 1 จงเขียนเวกเตอร์ A ในรูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วย z 3 หน่วย 300 y 450 x Ax = 3sin30 cos45 หน่วย = 3(1/2)(0.707) หน่วย Ay = 3sin30 sin45 หน่วย = 3(1/2)(0.707) หน่วย Az = 3cos30 หน่วย = 3(0.866) หน่วย ^ ^ ^  = 1.06 i + 1.06 j + 2.6 k หน่วย ANS

1.3 การบวกและการลบเวกเตอร์ 1.3 การบวกและการลบเวกเตอร์ 1.3.1 การบวกและการลบเวกเตอร์โดยวิธีเรขาคณิต 1. วิธีโพลิกอน หรือ วิธีหางต่อหัว วิธีการหา

2. วิธีสี่เหลี่ยมด้านขนาน วิธีการหา

1.3.2 การบวกและการลบเวกเตอร์โดยวิธีตรีโกณมิติ 1.3.2 การบวกและการลบเวกเตอร์โดยวิธีตรีโกณมิติ เวกเตอร์ และ ทำมุมกัน เมื่อรวมกันได้เวกเตอร์ โดยเวกเตอร์ลัพธ์ ทำมุมกับ เป็นมุม ดังรูป  

1.3.3 การบวกและการลบเวกเตอร์โดยวิธีแยกองค์ประกอบ 1.3.3 การบวกและการลบเวกเตอร์โดยวิธีแยกองค์ประกอบ แตกเวกเตอร์ที่ต้องการรวมกันออกในแต่ละแนวแกน จากนั้นรวมเวกเตอร์ประกอบในแต่ละแนวแกนเข้าด้วยกัน ตัวอย่าง 2 การรวมเวกเตอร์ และ จะได้ แยกองค์ประกอบของแต่ละเวกเตอร์ 1 2

ผลลัพธ์ในแต่ละแกน จะได้ y y  1 2 x x ผลลัพธ์ในแต่ละแกน จะได้ ทิศของ คือ

สมบัติการบวกและลบเวกเตอร์ ให้ , และ เป็นปริมาณเวกเตอร์ และ m และ n เป็นปริมาณสเกลาร์

1.4 การคูณเวกเตอร์ 1.4.1 dot product (scalar product) เป็นการคูณกันของเวกเตอร์กับเวกเตอร์ ถ้า และ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ และ  เป็นมุมระหว่าง และ ซึ่งอยู่ระหว่าง 0 ถึง  ผลคูณแบบ dot product สามารถเขียนได้เป็น

ผลคูณแบบ cross product สามารถเขียนได้เป็น 1.4.2 cross product (vector product) เป็นการคูณกันของเวกเตอร์ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเป็นไปตาม “กฎมือขวา” ถ้า และ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ และ  เป็นมุมระหว่าง และ ซึ่งอยู่ระหว่าง 0 ถึง  ผลคูณแบบ cross product สามารถเขียนได้เป็น เมื่อ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตั้งฉากกับระนาบ AB ผลคูณเวกเตอร์แบบ cross product เขียนในรูปผลคูณขององค์ประกอบ คือ 

หรืออาจเขียนในรูปดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) คือ สมบัติพื้นฐานของการคูณแบบ cross product

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ตัวอย่าง ให้ A = 2 i + 3 j + 5 k และ B = 3 i – 2 j + k จงคำนวณหา ก. A+B ข. A-B ค. A.B ง. A x B ก. A+B ^ ^ ^ ^ ^ ^ A+B = (2+3) i + (3+(-2)) j + (5+1) k = 5 i + j + 6 k ANS ^ ^ ^ ^ ^ ^ ข. A-B ^ ^ ^ ^ ^ ^ A-B = (2-3) i + (3-(-2)) j + (5-1) k = -i + 5 j + 4 k ANS ^ ^ ^ ^ ^ ^

A x B = (3x1 – 5(-2)) i + (5x3 – 2x1) j + (2x(-2) – 3x3) k ค. A.B A+B = (2x3) + (3x(-2)) + (5x1) = 5 ANS ง. A x B ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ A = 2 i + 3 j + 5 k B = 3 i – 2 j + k ^ ^ ^ ^ ^ ^ A x B = (3x1 – 5(-2)) i + (5x3 – 2x1) j + (2x(-2) – 3x3) k = (3+10) i + (15-2) j + (-4-9) k = 13 i + 13 j – 13 k ANS ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^