ผศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ DSP 5 The Discrete Fourier Transform (DFT) การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง ผศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เป้าหมาย นศ รู้จักความหมายของ อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Series :DFS) และผลการแปลงจากสัญญาณในโดเมนเวลา นศ เข้าใจความสัมพันธ์ของ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Transform: DFT) และ DFS นศ สามารถทำการแปลง DFT กับสัญญาณเชิงเวลาใดๆได้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทำไมต้อง DFT ? หากต้องการใช้คอมพิวเตอร์หรือตัวประมวลผลมาช่วยคำนวณผลเราต้องการจำนวนลำดับที่จำกัด แต่จากเรื่องของ DTFT สังเกตว่า n มีค่าไม่จำกัด แต่ หากจะคำนวณ DTFT ด้วย โปรเซสเซอร์ หรือ คอมพิวเตอร์ จะต้องจัดการให้ลำดับ n มีค่าที่จำกัด ดังนั้นจึงต้องใช้ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง Discrete Fourier Transform (DFT) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง The Discrete Fourier Series (DFS) ให้สัญญาณที่เป็นรายคาบ ความถี่มูลฐาน เป็น เรเดียน แสดง ได้เป็น ความถี่ฮาร์มอนิก เป็น คือ ค่าสัมประสิทธิ์ ฟูริเยร์ไม่ต่อเนื่อง โดยที่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ก็เป็นสัญญาณรายคาบ เราแทน Analysis (DFS) equation: Synthesis (IDFS) equation: CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา DFS ของสัญญาณรายคาบ ตัวอย่าง หา DFS ของสัญญาณรายคาบ วิธีทำ ดูจากลักษณะสัญญาณ จะได้ คาบเวลา = 4 (N=4 ) k=0 k=1 k=2 k=3 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

มีสัญญาณพัลส์ (pulse) เป็น รายคาบดังรูป จงหาอนุกรม DFS ตัวอย่าง มีสัญญาณพัลส์ (pulse) เป็น รายคาบดังรูป จงหาอนุกรม DFS วิธีทำ L N dsp_5_1.eps CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เราจะนั่งคำนวณด้วยมือก็ได้… แปลง DFT เราจะนั่งคำนวณด้วยมือก็ได้… หรือใช้ตัวช่วยจาก ผลรวมเรขาคณิตแบบจำกัด จะดีกว่าไหม? ทำให้ได้ แต่เฉพาะที่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ช่วงพัลส์บวก L=5 และคาบเป็น N=20 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ช่วงพัลส์บวก L=5 และคาบเป็น N=40 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ช่วงพัลส์บวก L=5 และคาบเป็น N=60 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ช่วงพัลส์บวก L=7 และคาบเป็น N=60 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ข้อสังเกตุ ช่วงระยะพัลส์บวก สัมพันธ์กับ คาบเวลาและขนาดของผลการแปลง DFS ดังนี้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

DFS กับ z-transform และ DTFT สำหรับสัญญาณจำนวนจำกัดใดๆ N=6 5 จัดให้เป็น สัญญาณที่เป็นคาบได้โดยใช้สัญญาณเฉพาะ n = 0 ถึง N-1 … และบวกรวม 5 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

DFS กับ z-transform และ DTFT (ต่อ) ความสัมพันธ์ DFS และ DTFT CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

DFT กับ DFS DFT เป็นการแปลงที่ ใช้การหา DFS ของสัญญาณเพียงหนึ่งคาบ แต่สัญญาณบางอย่างทั่วๆไป อาจจะไม่เป็นคาบก็ได้ ในการวิเคราะห์จึงต้องตัดสัญญาณนั้นมาหนึ่งช่วงและหา DFS ของช่วงสัญญาณนั้น ซึ่งเราสมมติให้เป็นช่วงหนึ่งคาบ และเราเรียกการแปลง DFS กับสัญญาณเพียงหนึ่งคาบนั้นว่าการแปลง DFT DFT เป็นการแปลงที่ ใช้การหา DFS ของสัญญาณเพียงหนึ่งคาบ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CTFT DTFT DFS DFT 1 คาบ k N-1 N-1 k N-1 N-1 CESdSP N-1 N-1 DFT k N-1 N-1 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การเพิ่มจำนวนศูนย์ (zero padding) ตัวอย่าง เป็นสัญญาณที่มีค่าเป็นหนึ่งเฉพาะย่าน นั่นคือ ตัวอย่างเมื่อเพิ่มศูนย์ 4 ตัว CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลการแปลง DTFT ของ x(n) dsp_5_6.eps CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา DFT ของ x(n) k=0 k=1 k=2 k=3 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

N=4 dsp_5_7.eps CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

N=8 dsp_5_8.eps CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

N=16 dsp_5_9.eps CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

N=32 dsp_5_10.eps CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ความละเอียด (Resolution) ของการคำนวณสเปคตรัม การเพิ่มศูนย์ Zero padding เป็นการเติมจุดคำนวณให้มากขึ้น เพื่อช่วยในการเพิ่ม ความหนาแน่น (density) ของการแสดงสเปคตรัม แต่ไม่ได้เป็นการเพิ่มความละเอียด (resolution) ในการวิเคราะห์สเปคตรัม ต้องเพิ่มจำนวนจุด (point) ในการคำนวณ DFT ตัวอย่าง ลำดับ x(n) มีองค์ประกอบความถี่ อยู่สองความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สำหรับสัญญาณ x(n) n=0 ถึง 9 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เพิ่มศูนย์อีก 40 ตัว CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แม้เพิ่มศูนย์อีก 90 ตัว ก็ไม่เพิ่มความละเอียด CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ใช้สัญญาณ x(n) จำนวน 100 ลำดับ จะเห็นรายละเอียดของสองความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ขนาด และ เฟสของ x(n)=[ … 0 1 0 … ] CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สรุป DFT ใช้ในการคำนวณการแปลงฟูริเยร์ ด้วยตัวประมวลผล (คอมพิวเตอร์ หรือ โปรเซสเซอร์) DFT ก็คือ DFS สำหรับสัญญาณเพียงหนึ่งคาบ DFT (DFS) มีความเชื่อมโยงกับการแปลงแซด และ DTFT การเพิ่มศูนย์ Zero padding เป็นการเติมจุดคำนวณให้หนาแน่นมากขึ้นแต่ไม่ช่วยเรื่องความละเอียดของสเปคตรัม CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon