Power Series 2301520 Fundamentals of AMCS.

Slides:



Advertisements
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
สาระที่ 1 จานวนและการดาเนินการ
Advertisements

อสมการ 1.1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์
งานนำเสนอวิชาคณิตศาสตร์ บทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบทลิมิต (Limit Theorem).
ลิมิตและความต่อเนื่อง
ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก
บทที่ 3 ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series)
(Some Extension of Limit Concept)
ความต่อเนื่อง (Continuity)
บทที่ 2 ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์
การดำเนินการของลำดับ
ลำดับทางเดียว (Monotonic Sequences)
ลำดับโคชี (Cauchy Sequences).
ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (Continuous Function on Intervals)
คณิตศาสตร์เพิ่มเติ่ม ค เรื่อง วงกลม โดย ครูนาตยา บุญเรือง
ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา
เอกนาม เอกนามคล้าย การบวกลบเอกนาม การคูณและหารเอกนาม
รู ป ว ง ก ล ม พัฒนาโดย นายวรวุธ อัครกตัญญู
ทบทวน 1กลศาสตร์ Newton 1.1 Introduction “ระยะทาง” และ “เวลา”
Chapter 1 โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริธึมส์
ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น โดย ครูภรเลิศ เนตรสว่าง โรงเรียนเทพศิรินทร์
Probability & Statistics
Review of Ordinary Differential Equations
Simulation Fundamentals of AMCS.
Power Series (2) Fundamentals of AMCS.
การประยุกต์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์
ฟังก์ชัน ฟังก์ชันเป็นรูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ แต่มีกฎเกณฑ์มากกว่านั่นคือ ถ้า f เป็นความสัมพันธ์ หรือเราสามารถเขียนฟังก์ชัน f ในอีกรูปแบบหนึ่งคือ.
อนุกรมกำลัง (power series)
Chapter 4 อินทิกรัล Integrals
บทที่ 8 เมตริกซ์และตัวกำหนด.
อนุพันธ์อันดับหนึ่ง ( First Derivative )
หน่วยที่ 11 อินทิกรัลสามชั้น
หน่วยที่ 8 อนุพันธ์ย่อย (partial derivative).
มิสกมลฉัตร อู่ศริกุลพานิชย์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
คำศัพท์ที่น่าสนใจใน A5
โรงเรียนบรรหารแจ่มใสวิทยา ๖
ระบบจำนวนเต็ม โดย นางสาวบุณฑริกา สูนานนท์
ข้อมูลพื้นฐานและตัวดำเนินการ
คำสั่งควบคุมการทำงาน
ฟังก์ชัน ง30212 การเขียนโปรแกรมด้วยภาษาคอมพิวเตอร์ ศูนย์คอมพิวเตอร์
นิยาม, ทฤษฎี สับเซตและพาวเวอร์เซต
ค33211 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 5
ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ
ง30212 พื้นฐานการเขียนโปรแกรม ศูนย์คอมพิวเตอร์ โรงเรียนปลวกแดงพิทยาคม
ค33211 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 5
ค31211 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 1
ง30212 การเขียนโปรแกรมด้วยภาษาคอมพิวเตอร์ โรงเรียนปลวกแดงพิทยาคม
Asst.Prof.Wipavan Narksarp Siam University
สัปดาห์ที่ 13 ผลตอบสนองต่อความถี่ Frequency Response (Part I)
Asst.Prof.Wipavan Narksarp Siam University
บทเรียนสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โดยใช้โปรแกรม Microsoft Multipoint
ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem)
การประมวลผลสายอักขระ
สวัสดี...ครับ.
นางสาวอารมณ์ อินทร์ภูเมศร์
โรงเรียนนวมินทราชินูทิศ เตรียมอุดมศึกษาพัฒนาการ
ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย เชียงราย
ค32213 คณิตศาสตร์สำหรับคอมพิวเตอร์ อ.วีระ คงกระจ่าง
โครงสร้างข้อมูลแบบลิงก์ลิสต์
ฟังก์ชันเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์. เนื้อหา คำสั่งรับข้อมูลเข้าจากผู้ใช้ คำสั่งรับข้อมูลเข้าจากผู้ใช้ การเปลี่ยนชนิดข้อมูล การเปลี่ยนชนิดข้อมูล การเรียกใช้งานเมท็อดทาง.
สื่อการสอนด้วยโปรมแกรม “Microsoft Multipoint”
สาระการเรียนรู้ที่ ๙ ประโยคเปิด
-การสะท้อน -การเลื่อนขนาน -การหมุน
ตัวแปร และชนิดข้อมูล.
ทรงกลม.
Summations and Mathematical Induction Benchaporn Jantarakongkul
การคูณและการหารเอกนาม
ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ใบสำเนางานนำเสนอ:

Power Series 2301520 Fundamentals of AMCS

อนุกรมกำลัง (Power Series) อนุกรมกำลังเป็นอนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูปของ โดยที่ เป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ n c เป็นค่าคงที่ x เป็นตัวแปร เราเรียกอนุกรมนี้ว่าเป็นอนุกรมกำลังมีศูนย์กลางที่ c (power series centered at c )

อนุกรมกำลัง (Power Series) อนุกรมดังกล่าวอาจลู่เข้าสำหรับค่า x บางค่าและลู่ออกสำหรับค่า x ค่าอื่นๆ ยกตัวอย่างเช่นอนุกรม หากใช้ Ratio Test จะพบว่าอนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้าเมื่อ และลู่ออกเมื่อ หรือ (example 1)

อนุกรมกำลัง (Power Series) ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนดให้ เป็นอนุกรมกำลัง จะได้ว่าหนึ่งในสามข้อต่อไปนี้เป็น จริง อนุกรมดังกล่าวลู่เข้าเมื่อ x=c เท่านั้น (R=0) อนุกรมดังกล่าวลู่เข้าสำหรับ x ทุกๆค่า (R=∞) มีจำนวนเต็มบวก R ที่ทำให้อนุกรมดังกล่าวลู่เข้าเมื่อ |x-c|<R และ ลู่ออก เมื่อ |x-c|>R เราเรียกค่า R ว่าเป็นรัศมีของการลู่เข้า (radius of convergence)

อนุกรมกำลัง (Power Series) นอกจากนี้ยังมีช่วงของการลู่เข้า (interval of convergence) ของอนุกรมกำลัง ซึ่งเป็นช่วงของค่า x ที่ทำให้อนุกรมลู่เข้า ถ้าอนุกรม มีรัศมีของการลู่เข้า R ช่วงของการลู่เข้าเป็นไปได้สี่แบบคือ (c-R,c+R) (c-R,c+R] [c-R,c+R) [c-R, c+R]

เขียนฟังก์ชันในรูปของอนุกรมกำลัง บางฟังก์ชันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปอนุกรมกำลังได้ โดยอาศัยอนุกรมเรขาคณิต ทบทวน อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series) ซึ่งจะลู่เข้าสู่ เมื่อ |x|<1 ยกตัวอย่างเช่น สามารถเขียนในรูปของอนุกรมกำลังได้เป็น ซึ่งลู่เข้าในช่วง (-2,2) (example 2)

เขียนฟังก์ชันในรูปของอนุกรมกำลัง ผลบวกในอนุกรมกำลังดังกล่าวเป็นผลบวกอนันต์ ลองมาดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรา เอามาเฉพาะผลบวกของพจน์แรกๆ กล่าวคือ สมมุติให้ (ซึ่งหมายความว่า ) โดยใช้ตัวอย่าง และ (example 3)

Taylor and Maclaurin Series ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้าฟังก์ชัน f(x) สามารถเขียนอยู่ในรูปอนุกรมกำลังที่มีศูนย์กลางที่ c ได้ หรือ ถ้า จะได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์จะเป็น

Taylor and Maclaurin Series อนุกรมกำลังดังกล่าวเรียกว่าอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series) ถ้าค่า c=0 อนุกรมดังกล่าวยังมีชื่อพิเศษขึ้นมาอีกว่า เป็น Maclaurin Series (example 4)