ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น โดย ครูภรเลิศ เนตรสว่าง โรงเรียนเทพศิรินทร์

เนื้อหาของทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น 1. การหารลงตัว (Exact Division) 2. ขั้นตอนวิธีหาร (Division Algorithm) 3. ตัวหารร่วมมาก (The Greatest Common Divisor) 4. จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ 5. ผลรวมเชิงเส้น (linear combination)

1. การหารลงตัว (Exact Division) บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ a = bc เรียก b ว่าเป็นตัวหาร (divisor) ของ a และเรียก a ว่า พหุคูณ (multiple) ของ b ใช้สัญลักษณ์ b|a แทน “b หาร a ลงตัว” และ b | a แทน “b หาร a ไม่ลงตัว” เช่น 3 |15 เพราะ 3x5 = 15 -4 |12 เพราะ (-4)(-3) = 12 5 | 21 เพราะ ไม่มีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ 5c = 21

ทฤษฎีบทที่ 1 ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a 0 และ b 0 ถ้า a | b และ b | c แล้ว a | c ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง a | b แล้ว a b ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนเต็มโดยที่ a | b และ a | c แล้ว a | (bx+cy) เมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็มใดๆ bx+cy เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของ b และ c บทนิยาม จำนวนเต็มบวก p เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p 1 และถ้าจำนวนเต็ม x หาร p ลงตัว แล้ว x { , -1 , p ,-p} ทฤษฎีบทที่ 4 จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของ จำนวนเฉพาะได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ทั้งนี้ไม่รวมการสลับที่ตัวคูณหรือการคูณด้วย 1

2. ขั้นตอนวิธีหาร (Division Algorithm) ทฤษฎีบทที่ 5 ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b 0 แล้ว จะมีจำนวนเต็ม q และ r ชุดเดียวซึ่ง a = bq + r โดย 0 r < | b | เรียก q ว่า ผลหาร (quotient) และเรียก r ว่า เศษเหลือ (remainder) ตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษเหลือจาก (-24) 5 วิธีทำ เพราะว่า -24 = 5(-5) + 1 ดังนั้น ผลหาร คือ -5 เศษ คือ 1 บทนิยาม จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ a = 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ a = 2k+1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม จากบทนิยาม จะได้ว่า 0 เป็นจำนวนคู่ เพราะว่า 0 = 2(0) และเมื่อ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a = 2k และ a2 = 2(2k2) ดังนั้น a2 เป็นจำนวนคู่ด้วย

ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า “ผลคูณของจำนวนคู่กับจำนวนคี่เป็นจำนวนคู่” พิสูจน์ ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a = 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม และ b เป็นจำนวนคี่ จะได้ b = 2k+1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม จะได้ ab = 2k(2k+1) = 4k2+2k = 2(2k2+k) ดังนั้น 2(2k2+k) เป็นจำนวนคู่ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ ผลคูณของจำนวนคู่กับจำนวนคี่เป็นจำนวนคู่ ทฤษฎีบทที่ 6 ให้ b เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 จำนวนเต็มบวก n ใดๆ สามารถเขียนใน รูปการกระจายฐาน b ได้เป็น n = akbk+ak-1bk-1+…..+a1b+a0 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม และ a0,a1,a2,…,ak เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า b และ ak 0

ตัวอย่าง จงเขียน 52 ในรูปการกระจายฐาน 3 วิธีทำ 52 = 3(17) + 1 17 = 3(5) + 2 5 = 3(1) + 2 1 = 3(0) + 1 เมื่อแทนค่าย้อนกลับ 52 = 3 (17) + 1 = 3[3(5) + 2] + 1 = 32(5) + 3(2) + 1 = 32[3(1) + 2] + 3(2) + 1 = 33(1) + 32(2) + 3(2) +1 ดังนั้น 52 = (1x33) + (2x32) + (2x3) + 1 = 12213

ตัวอย่าง จงเขียน 1324 ในรูปตัวเลขฐาน 5 และฐาน 12 วิธีทำ 1324 = 5(264) + 4 264 = 5(52) + 4 52 = 5(10) + 2 10 = 5(2) + 0 2 = 5(0) + 2 ดังนั้น 1324 = 202445  1324 = 12(110) + 4 110 = 12(9) + 2 9 = 12(0) + 9 ดังนั้น 1324 = 92412 

3. ตัวหารร่วมมาก (The Greatest Common Divisor) บทนิยาม กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็ม เรียกจำนวนเต็ม c ที่สามารถหารทั้ง a และ b ลงตัวว่าเป็น ตัวหารร่วม ของ a และ b เช่น ตัวหารร่วมของ 8 และ 12 คือ บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a และ b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จำนวนเต็ม บวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d|a และ d|b เรียกว่า เป็นตัวหารร่วมมาก ของ a และ b แทน ด้วย (a,b) ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 48 และ 72 วิธีทำ 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 ดังนั้น (48 , 72) คือ 2 x 2 x 2 x 3 = 24 *

ทฤษฎีบทที่ 7 ( ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ) กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ b < a โดยใช้ขั้นตอนวิธีหาร a = bq1 + r1 ; 0 < r1 < b b = r1q2 + r2 ; 0 < r2 < r1 r1 = r2q3 + r3 ; 0 < r3 < r2 : rk-2 = rk-1qk + rk ; 0 < rk < rk-1 rk-1 = rkqk+1 + 0 ดังนั้น rk ซึ่งเป็นเศษตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์ จะเป็น ห.ร.ม. ของ a และ b

ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 48 และ 72 วิธีทำ 72 = 48(1) + 24 48 = 24(2) + 0 ดังนั้น ( 48 , 72 ) = 24  ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 132 และ 424 วิธีทำ 424 = 132(3) + 28 132 = 28(4) + 20 28 = 20(1) + 8 20 = 8(2) + 4 8 = 4(2) + 0 ดังนั้น ( 132 , 424 ) = 4  บทนิยาม ให้ a1, a2 , … , an เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จำนวนเต็มบวก D ที่มีค่ามากที่สุดซึ่ง D|a1, D|a2, … , D|an เรียกว่า ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของ a1, a2 , … , an แทนด้วย (a1, a2 , … , an)

ตัวอย่าง จงหาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 420 , 356 และ 244 แล้วมีเศษเท่ากัน วิธีทำ ให้ x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 420 , 356 และ 244 แล้วมีเศษ r เท่ากัน ดังนั้น 420 = ax + r …………. (1) 356 = bx + r …………..(2) 244 = cx + r …………..(3) (1) – (2) 64 = (a-b)x …………..(4) (2) – (3) 112 = (b-c)x …………..(5) (1) – (3) 176 = (a-c)x …………..(6) จาก (4) , (5) , (6) แสดงว่า x|64 , x|112 และ x|176 ดังนั้น x = ( 64 , 112 , 176 ) = 16 นั่นคือ 16 เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 420 , 356 และ 244 แล้วมีเศษเท่ากัน

4.จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ บทนิยาม จำนวนเต็ม a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ ( a , b ) = 1 เช่น 9 และ 10 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะ ( 9 , 10 ) = 1 9 และ 12 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพระ ( 9 , 12 ) = 3 ทฤษฎีบทที่ 8 a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้ ax + by = 1 ทฤษฎีบทที่ 9 กำหนดจำนวนเต็ม a , b และจำนวนเฉพาะ p ถ้า p|ab จะได้ p|a หรือ p|b

5. ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) d = ax + by เมื่อ d = ( a , b )