บทที่ 4 การจำลองแบบทางคณิตศาสตร์ 4.1 การจำลองแบบทางคณิตศาสตร์ 4.2 การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ 4.3 สมการเชิงเส้น 4.4 อสมการเชิงเส้น 4.5 กำหนดการเชิงเส้น 4.6 แบบจำลองไม่เชิงเส้น

4.1 สมการเส้นตรง (Linear Equation) 1. สมการเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด Y = X Y X สมการเส้นตรงผ่านจุดกำเนิดทำมุม 45 องศา ทั้งแกน x และแกน y

Y = x เส้นตรงอยู่ระหว่างแกน x และแกน y y = mx(m > 1) y = mx(m = 1) y = mx(m < 1) Y = mx เมื่อ m = 1 Y = x เส้นตรงอยู่ระหว่างแกน x และแกน y ถ้า m > 1เส้นตรงชันมากกว่า y = x ถ้า m < 1 เส้นตรงชันน้อยกว่า y = x

สมการเส้นตรงที่มีความชัน a และจุดตัดแกน y ที่ b 4.2 สมการเส้นตรงตัดแกน y = ax + b Y X m = a 0 , b สมการเส้นตรงที่มีความชัน a และจุดตัดแกน y ที่ b

สมการเส้นตรงที่มีความชัน -a และจุดตัดแกน y ที่ b y = -ax + b Y X m = -a (0 , b) สมการเส้นตรงที่มีความชัน -a และจุดตัดแกน y ที่ b

4.3 สมการเส้นตรงตัดแกน Y หรือ (0 , b) (a , 0) X สมการนี้มีจุดตัดที่ (a , 0) บนแกน x มีจุดตัดบนแกน y ที่ (0 , b) มีความชัน –b/a

Y X (0 , b) (-a , 0) สมการนี้มีความชัน

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันอสมการ 4.4 อสมการเชิงเส้น กราฟของ x  c/a เส้นประ เส้นทึบ กราฟของ x c/a กราฟของ x  c/a กราฟของ x  c/a ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันอสมการ

ผลต่างของอสมการ (0,k) (k/m,0)

ผลจากการรวมกันของสองอสมการ ผลของอสมการ y  (3/4)x + 3 ผลจากการรวมกันของสองอสมการ

4.5 กำหนดการเชิงเส้น (LINEAR PROGRAM) 1. เป้าหมายของปัญหา (objective) maximum or minimum 2. หนทางปฏิบัติที่เลือกได้ เลือกทางปฏิบัติที่เหมาะสม 3. เงื่อนไข เลือกตัวแปรที่เหมาะสม 4. ตัวแปร มีความสัมพันธ์แบบเชิงเส้น

Minimum Cost Problem Productivity (tons/day) Mine Tin Copper Zinc x1 A 6 2 4 x2 B 2 2 12 Condition of Production (order) Tin 12 tons/week Copper 8 tons/week Zinc 24 tons/week

Target Cost of mine A 40,000 บาท/วัน Cost of mine B 40,000 บาท/วัน Minimum Cost Equation Min Cost = 40,000 x1 + 32,000 x2 = min

P1 P2 P3 P4 X1 6 3 1 0 X2 0 1 3 6 Cost min 24,000 152,000 136,000 192,000 Minimum Cost = 40,000 × 1 + 32,000 × 3 = 136,000 บาท/สัปดาห์ Mine A (x1 = 1 days/week) Mine B (x2 = 3 days/week)

แสดงการเขียนกราฟและเลือกพื้นที่ที่สมจริงกับ อสมการ แสดงการเขียนกราฟและเลือกพื้นที่สมจริง

Maximim Profit Problem Raw Form Quality Type Mat(hrs) Prep(hrs) Test(hrs) X1 1 6 3 4 X2 2 6 6 2 Condition Raw Mat 420 hrs/week Form Prep 300 hrs/week Quality 240 hrs/week

Target Profit of Type 1 300 บาท/ชิ้น Profit of Type 2 200 บาท/ชิ้น Target Equation Profit = 300x1 + 200x2 = max P1 P2 P3 P4 X1 60 50 40 0 X2 0 20 30 50 Profit 18,000 19,000 18,000 10,000 Maximum Profit = 300 × 50 + 200 × 2 = 19,000 บาทต่อสัปดาห์

แบบจำลอง (Model) ของความสัมพันธ์ในข้อมูล โมเดลเชิงเส้น (เส้นตรง) Y X (0 , –b) (0 , b) y = ax + b y = ax y = ax - b y = ax + b X = ตัวแปรอิสระ Y = ตัวแปรตาม เส้นตรงกำหนดโดยจุดตัดและความชัน

4.6 โมเดลไม่เชิงเส้น (เส้นโค้ง) 4.6 โมเดลไม่เชิงเส้น (เส้นโค้ง) 4.6.1 ความสัมพันธ์แบบยกกำลัง (Power Model) Y X a มาก n มาก a น้อย n น้อย โค้งแบบนี้ n > 1 y = axn A คือค่าคงที่ N คือเลขยกกำลัง ข้อมูลต่อไปนี้มีความสัมพันธ์แบบเส้นโค้งยกกำลัง X 1 4 9 16 25 36 Y 2 6 8 10 12

ได้เส้นโค้ง Scale ธรรมดา แต่ได้เส้นตรงใน Scale log × log

เส้นโค้งแบบยกกำลังเมื่อลงจุดใน log × log จะได้เส้นตรง

K = ค่าคงที่ของการเพิ่มค่า 4.6.2 ความสัมพันธ์แบบเอ็กซ์โพแนนเชียล (เพิ่มค่า) K = ค่าคงที่ของการเพิ่มค่า 1. k ของทุกจุดบนเส้นโค้งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากัน 2. k มีค่าเท่ากับความชันต่อจำนวนหรือปริมาณ ณ จุดนั้น

4.6.3 ทุกช่วงของ ที่เท่ากัน y มีค่าเป็น 2 เท่า (กรณีเพิ่มค่า) , x มีค่าเป็นครึ่งหนึ่ง (กรณีลดค่า)

X มาก y น้อย X ปานกลาง y ปานกลาง X น้อย y มาก ผลคูณของ x และ y จะต้องได้ค่าคงที่