อินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบแน่นอน (Certain Trigonometric Integrals) 1 2 หรือ 3 และ

กรณี1 m หรือ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ 1. sin m x cosn x dx จะหาค่าของอินทิกรัลได้โดยแยกพิจารณา เป็น3 กรณี กรณี1 m หรือ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ จะใช้วิธีการเปลี่ยนตัวแปร โดยกำหนดให้ u = cos x , du = - sin x dx ถ้า nเป็นจำนวนเต็มบวกคี่ ในทำนองเดียวกันจะใช้การปลี่ยนตัวแปรกำหนดให้ u = sin x, du = cos x dx และใช้เอกลักษณ์ sin 2x + cos2x = 1

ตัวอย่าง 12

(หรือบางทีอาจใช้ sin 2x = 2 sin x cos x) กรณี 2. ทั้ง m และ nเป็นจำนวนเต็มบวกคู่จะใช้วิธีลด กำลังของพจน์ cos x และ sin x ลงโดยใช้เอกลักษณ์ (หรือบางทีอาจใช้ sin 2x = 2 sin x cos x)

ตัวอย่างที่ 13

กรณี 3. m + n เป็นจำนวนเต็มลบคู่ หรือทั้ง m และ n เป็นจำนวน เต็มคู่ จำนวนหนึ่งจำนวนใดต้องเป็นจำนวนเต็มลบ แล้วจะใช้วิธีการเปลี่ยนตัวแปรโดยให้ tan x = t หรือ cot x = t ตัวอย่างที่ 14

ตัวอย่างที่ 15 กรณี n เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ 2. tanm x secn x dx หรือ cotm x cscn x dx กรณี n เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ จะให้ u = tan x , du = sec2 x dx และ sec2 x = 1 + tan2 x ตัวอย่างที่ 15

กรณี m เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ แทนค่า u = sec x , du = sec x tan x dx ตัวอย่างที่ 16

กรณี m เป็นจำนวนเต็มบวกคู่และ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ จะหาค่า tanm x secn x dx ได้โดยการอินทิเกรตทีละส่วน (Integration by parts) ซึ่งจะได้เรียนต่อไป กรณี n = 0 และ m Z+ จะเป็นการหา tanm x dx และ cotm x dx จะหาค่าอินทิกรัลได้มากกว่า 1 วิธี

วิธีที่ 1 โดยการสร้างสูตรลดทอน (Reduction formula) ได้ดังนี้

วิธีที่ 2 อาจหาค่า tanm x dx โดย คูณด้วย ดังนี้ เมื่อให้ u = tan x แล้วหารยาวตัวถูกอินทิเกรต เพื่อแปลงตัวถูกอินทิเกรตให้อยู่ในรูปที่ง่ายต่อการหาค่าต่อไป

แล้วหาค่าอินทิกรัลต่อไปในรูปของ sinm x cosn x dx ในกรณีต่างๆ วิธีที่ 3 เปลี่ยนค่า แล้วหาค่าอินทิกรัลต่อไปในรูปของ sinm x cosn x dx ในกรณีต่างๆ แล้วแต่ค่าของ m และ n ตัวอย่างที่ 17

3. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx และ cos mx cos nx dx จะหาค่าอินทิกรัลทั้ง 3 ได้ โดยใช้เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 18

การอินทิเกรตโดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือ ไฮเพอร์โบลิก (Trigonometric or Hyperbolic Substitutions) ถ้าตัวถูกอินทิเกรต มีตัวประกอบเป็นพจน์ ในรูปแบบต่อไปนี้ หรือ

หรือ พจน์ การแทนค่า ผลลัพธ์ การหาค่าของอินทิกรัลโดยแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือฟังก์ชัน ไฮเพอร์โบลิก ดังในตารางต่อไปนี้ พจน์ การแทนค่า ผลลัพธ์ หรือ

ตัวอย่างที่ 19

ถ้าตัวถูกอินทิเกรตมีตัวประกอบเป็น หรือ ax2 + bx + c จะต้องแปลงรูปของ ax2+bx+c ให้เป็นรูปกำลังสองสัมบูรณ์แล้วหาค่า อินทิกรัลต่อไปโดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือไฮเพอร์ โบลิก ตัวอย่างที่ 20