Green’s Theorem ทฤษฎีบทของกรีน
George Green (No, he was not French) July 14, 1793 - May 31, 1841 British mathematician and physicist First person to try to explain a mathematical theory of electricity and magnetism Almost entirely self-taught! Published “An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism” in 1828. Entered Cambridge University as an undergraduate in 1833 at age 40. (No, he was not French)
ทฤษฎี พิจารณาเส้นโค้งปิดอย่างง่าย C และมี D เป็นบริเวณที่อยู่ภายในของเส้นโค้ง จะได้ว่า
พิสูจน์ กำหนดให้ P(x,y) และ Q(x,y) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อย่างต่อเนื่องบน R โดยที่ โดยมี C เป็นเส้นรอบรูปของ R จะได้ว่า
ให้ C = C1 + C2 + C3 + C4 เมื่อ C1 : y = c และ a x b จากจุด (a,c) ไปยังจุด (b,c) C2 : x = b และ c x d จากจุด (b,c) ไปยังจุด (b,d) C3 : y = d และ a x b จากจุด (b,d) ไปยังจุด (a,d) C4 : x = a และ c x d จากจุด (a,d) ไปยังจุด (a,c)
จะได้ว่า
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า
นั่นคือ ดังนั้น
ตัวอย่าง จงหาค่าของ เมื่อ C คือเส้นโค้งปิดดังรูป
วิธีทำ จากทฤษฎีบทของกรีน เนื่องจาก และ จะได้ว่า
ตัวอย่าง จงหาค่าของ เมื่อ C คือเส้นโค้งปิดดังรูป
วิธีทำ จากทฤษฎีบทของกรีน จะได้ว่า
ตัวอย่าง จงหาค่าของ เมื่อ C คือเส้นโค้งปิดที่เกิดจากจุดยอด (0,0), (2,0) และ (0,3) ตอบ 12
ตัวอย่าง จงหาค่าของ เมื่อ C คือเส้นโค้งปิดระหว่าง และ ตอบ 1/3
การบ้าน 1. จงหาค่าของ เมื่อ C คือเส้นโค้งปิดของวงกลม 2. จงหาค่าของ เมื่อ C คือเส้นโค้งปิดของ และ y = 4