ตรรกศาสตร์ (Logics) Chanon Chuntra

ประพจน์ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง หมายเหตุ 1. ใช้สัญลักษณ์ p, q, r, m, … แทน ประพจน์ 2. จริงและเท็จ เรียกว่า ค่าความจริง (Truth value) ของ ประพจน์ โดย T แทนคำว่า “ จริง ” และ F แทนคำว่า “ เท็จ ”

ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ และ ” (Conjunction) ประพจน์ p และ q จะมีค่าความจริงเป็นจริงได้เพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือ เมื่อทั้ง p และ q เป็นจริง เราอาจใช้คำว่า “ แต่ ” “ แม้ ” “ เมื่อ ” แทนคำว่า “ และ ”

ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม“ หรือ ” (Disjunction) คำว่า “ หรือ ” ในทางตรรกศาสตร์จะตรงกับคำว่า “ และ/หรือ ” นั่นคือ หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้ง 2 อย่าง ก็ได้ เราจะใช้สัญลักษณ์ “ v ” แทนคำว่า “ หรือ ” ประพจน์ p v q จะเรียกว่า ประพจน์เลือก (Disjunction) ของ p และ q ประพจน์นี้จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p หรือ q เป็นจริงอย่างน้อย 1 ประพจน์ ดังนั้น ประพจน์ p v q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จเพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือ เมื่อทั้ง p และ q เป็น เท็จ

ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ ถ้า ... แล้ว ... ” (Conditional, Implication) ประพจน์ซึ่งเกิดจากการเชื่อมประพจน์เดี่ยวด้วยตัวเชื่อม “ ถ้า ... แล้ว ... ” เรียกว่า ประพจน์เงื่อนไข หรือ ประพจน์แจงเหตุสู่ผล โดยใช้สัญลักษณ์ “ --> ” แทน คำว่า “ ถ้า ... แล้ว ... ” เช่น ถ้าฝนตก แล้ว ถนนจะเปียก

ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ ก็ต่อเมื่อ ” (Bicondition, Equivalence proposition) ประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์เดี่ยวด้วยตัวเชื่อม “ ... ก็ต่อเมื่อ ... ” เรียกว่า ประพจน์ผันกลับได้ (Bicondition, Equivalence proposition) โดยใช้สัญลักษณ์ “ <--> ” แทนคำว่า “ ก็ต่อเมื่อ ” ประพจน์ p <--> q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p และ q เป็นจริงหรือเป็นเท็จทั้งคู่ และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จเมื่อ p และ q มีค่าความจริงต่างกัน

ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง นิเสธ (Negation, Not) คือ การปฏิเสธประพจน์ใดประพจน์หนึ่ง โดยใช้สัญลักษณ์ “ ~p ” แทน “ นิเสธของ p ”

การสร้างตารางค่าความจริง ในการพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมหรือประพจน์เชิงประกอบนั้นจะพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ย่อย ๆ ก่อน ถ้ามี 1 ประพจน์ย่อย ค่าความจริงมี 2 กรณี ถ้ามี 2 ประพจน์ย่อย ค่าความจริงมี 22 = 4 กรณี ถ้ามี 3 ประพจน์ย่อย ค่าความจริงมี 23 = 8 กรณี : ถ้ามี n ประพจน์ย่อย ค่าความจริงมี 2n กรณี

สัจนิรันดร์และข้อขัดแย้ง สัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์เดี่ยวที่ประกอบกันเป็นประพจน์นั้นจะมีค่าความจริงเป็นเช่นไร ข้อขัดแย้ง คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณี ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์เดี่ยวที่ประกอบกันเป็นประพจน์นั้นจะมีค่าความจริงเป็นเช่นไร

ประโยคเปิด ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปรและไม่เป็นประพจน์แต่เมื่อแทนค่าตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์หรือเติมตัวบ่งปริมาณให้ครบทุกตัวแปรแล้วจะเป็นประพจน์ เช่น 1) เขาเคยเป็นนายกรัฐมนตรี มี คำว่า ” เขา ” เป็นตัวแปร 2) x + 1 = 7 มี x เป็นตัวแปร 3) x2 + y2 = 4 มี x และ y เป็นตัวแปร

การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผล คือ การยืนยัน (Assertion) ว่า ชุดของประพจน์ p1, p2,..., pn ชุดหนึ่งที่กำหนดให้ ซึ่งเรียกว่า เหตุหรือข้อตั้ง (Premise) จะทำให้ได้ประพจน์ q ขึ้นมาประพจน์หนึ่ง เรียกว่า ข้อสรุปหรือข้อยุติหรือผล (Conclusion)

การอ้างเหตุผล บทนิยาม เราจะเรียกการอ้างเหตุผลว่า สมเหตุสมผล (Valid) ถ้าเหตุ (แต่ละ p1, p2,… ,pn) เป็นจริง และข้อสรุป (q) เป็นจริงด้วย นอกนั้นเรียกว่า ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) ทฤษฎีบท การอ้างเหตุผล p1, p2, ... , pn |- q สมเหตุสมผล ก็ต่อเมื่อ (p1 ^ p2 ^ … ^ pn) --> q เป็นสัจนิรันดร์