การดำเนินการของลำดับ

กำหนด , เป็นลำดับจำนวนจริง ต่างก็เป็นฟังก์ชัน จากเซตจำนวนเต็มบวกไปยังเซตจำนวนจริง ทำให้การดำเนินการ ทางพีชคณิต บวก, ลบ, คูณ, หารของลำดับย่อมทำได้ตาม บทนิยาม 1.2.11 เช่น + ย่อมได้ลำดับใหม่ แทนด้วย 

ทฤษฎีบท 3.4.1 ให้ และ เป็นลำดับ จำนวนจริง ถ้า = L และ = M แล้วลิมิตของผลบวกลำดับย่อมเท่ากับผลบวกของลิมิต นั่นคือ = L+M

การพิสูจน์ ให้  > 0 (จะหาจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | ( sn + tn ) – ( L + M ) | <  , n  k) เนื่องจาก = L ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้ | sn – L | < , n  k1 และ = M ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ | tn – M | < , n  k2

ให้ k = max { k1, k2 } พิจารณา | ( sn + tn ) – ( L + M ) | = | ( sn – L ) + ( tn – M ) |  | sn – L | + | tn – M | ดังนั้น | ( sn + tn ) – ( L + M ) | < + =  , n  k นั้นคือ = L + M 

ทฤษฎีบท 3.4.2 ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง ถ้า c และ = L แล้ว = cL การพิสูจน์ ถ้า c = 0 เห็นได้ชัดว่า = cL ถ้า c  0 ให้  > 0 เนื่องจาก = L ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | sn – L | < , n  k

| c || sn – L | <  , n  k ดังนั้น | csn – cL | <  , n  k นั้นคือ = cL 

ทฤษฎีบท 3.4.3 ให้ และ เป็นลำดับจำนวนจริง ถ้า = L และ = M แล้ว = L - M การพิสูจน์ จาก = M โดยทฤษฎีบท 3.4.2 = - M โดยทฤษฎีบท 3.4.1, = = L – M 

บทแทรก 3.4.4 ให้ และ เป็นลำดับจำนวนจริง ถ้า sn  tn สำหรับ n และ = L , = M แล้ว L  M การพิสูจน์ เนื่องจาก tn  sn , n ดังนั้น tn – sn  0 จากทฤษฎีบท 3.1.3 ทำให้ ลู่เข้าสู่ค่าที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0

และ = M – L  0 นั่นคือ L  M 

ทฤษฎีบท 3.4.5 ให้ และ เป็นลำดับจำนวนจริง ถ้า = L และ = M แล้ว = LM การพิสูจน์ ให้  > 0 (จะหาจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | ( sn tn ) – ( LM ) | <  , n  k) พิจารณา ( sn tn ) – ( LM ) = ( sn tn ) – ( L tn ) + ( L tn ) – ( LM ) = tn( sn – L ) + L( tn – M ) ดังนั้น | ( sn tn ) – ( LM ) |  | tn|| sn – L | + | L || tn – M |

เป็นลำดับลู่เข้าจึงเป็นลำดับมีขอบเขต จะมี P1 > 0 ที่ทำให้ | tn |  P1 , n ให้ P = max { P1, | L | } ดังนั้น P > 0 | ( sn tn ) – ( LM ) |  P | sn – L | + P | tn – M | จาก  > 0, P > 0 ดังนั้น เป็นจำนวนจริงบวก

เนื่องจาก tn = M จะมีจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้ | tn – M | < , n  k1 เนื่องจาก sn = L จะมีจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ | sn – L | < , n  k2 ให้ k = max { k1, k2 } ดังนั้น | ( sn tn ) – ( LM ) | < P + P =  , n  k นั้นคือ = LM 

บทตั้ง 3.4.6 ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง ถ้า = M และ M  0 แล้ว = การพิสูจน์ ให้  > 0 (จะหาจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | - | <  , n  k) เนื่องจาก = M และ > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้ | tn – M | < , n  k1 แต่ | | tn | – | M | | < | tn – M |

ทำให้ | | tn | – | M | | < , n  k1 และจะมีจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ | tn – M | <  , n  k2 เลือก k = max { k1, k2 } | - | = = | tn – M | <  =  , n  k นั้นคือ = 

ทฤษฎีบท 3.4.7 ให้ และ เป็นลำดับจำนวนจริง ถ้า = L และ = M โดยที่ M  0 แล้ว = การพิสูจน์ เนื่องจาก = M และ M  0 โดยทฤษฎีบท 3.4.6 จะได้ว่า =

พิจารณา = โดยทฤษฎีบท 3.4.5 จะได้ = L = 

การดำเนินการของลำดับลู่ออก

ให้ = เป็นลำดับลู่ออก = เป็นลำดับลู่ออก ผลบวกของลำดับทั้งสอง = เป็นลำดับลู่เข้า หรือ

ให้ = เป็นลำดับลู่ออก = เป็นลำดับลู่ออก ผลบวกของลำดับทั้งสอง = เป็นลำดับลู่ออก

ทฤษฎีบท 3.4.8 ให้ และ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่ลู่ออกสู่บวกอนันต์ แล้วผลบวก และผลคูณของลำดับทั้งสองจะเป็นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์ การพิสูจน์ ให้ M > 0 เนื่องจาก ลู่ออกสู่บวกอนันต์ เลือกจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้ sn > M , n  k1 จาก ลู่ออกสู่บวกอนันต์ เลือกจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ tn > 1 , n  k2

ให้ k = max { k1 , k2 } ดังนั้น sn + tn > M + 1 > M , n  k และ sn  tn > M , n  k นั้นคือ ลู่ออกสู่บวกอนันต์ และ ลู่ออกสู่บวกอนันต์ 

ทฤษฎีบท 3.4.9 ให้ และ เป็นลำดับ จำนวนจริง ที่ เป็นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์ และ เป็นลำดับที่มีขอบเขต แล้ว เป็นลำดับที่ลู่ออกสู่บวกอนันต์

การพิสูจน์ ให้ M > 0 เนื่องจาก เป็นลำดับที่มีขอบเขต จะมี Q > 0 ที่ทำให้ | tn |  Q , n และจาก เป็นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์ จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ sn > M + Q , n  k เนื่องจาก sn + tn  sn – | tn | ดังนั้น sn + tn > ( M + Q ) – Q = M , n  k นั่นคือ เป็นลำดับที่ลู่ออกสู่บวกอนันต์ 

1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, … เป็นลำดับแกว่งกวัด 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, … เป็นลำดับแกว่งกวัด ผลบวกของลำดับทั้งสองคือ 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, … ผลบวกของลำดับแกว่งกวัดอาจเป็นลำดับลู่ออกสู่ลบอนันต์ เช่น 1, –2, 1, –4, 1, –6, 1, … เป็นลำดับแกว่งกวัด –2, 0, –4, 0, –6, 0, –8, … เป็นลำดับแกว่งกวัด ผลบวกของลำดับทั้งสองคือ –1, –2, –3, –4, –5, –6, –7, …