NETWORK GRAPH การวิเคราะห์วงจรข่ายโดยกราฟ ปิยดนัย ภาชนะพรรณ์

วงจรข่าย (Network) วงจรไฟฟ้า ที่มีความยุ่งยากซับซ้อนกว่าวงจรไฟฟ้าทั่วไป วงจรไฟฟ้า ที่ประกอบด้วยอุปกรณ์ไฟฟ้าหลายตัวในวงจร วงจรไฟฟ้า ที่ประกอบด้วยวงจรไฟฟ้าย่อยต่อเชื่อมกันเป็น วงจรเดียว

การวิเคราะห์วงจรข่าย (Network Analysis) สามารถหาค่า กระแส ที่ไหลผ่านในกิ่ง (สาขา, branch) ที่ต้องการหา หรือทุกๆกิ่งในวงจรข่ายได้ สามารถหาค่า แรงดัน ที่คร่อมในกิ่ง (สาขา, branch) ที่ต้องการหา หรือทุกๆกิ่งในวงจรข่ายได้

นิยามของกราฟ (Concept of a Graph) วงจรข่าย (Network, ) - ลักษณะการต่อวงจร ซึ่งแสดงด้วยการต่อของโนดและกิ่งต่างๆ กราฟ (Graph, ) - การแทนการต่อของวงจรด้วยกราฟ ซึ่งเป็นการเขียนความสัมพันธ์ของจุดและเส้น ให้มีลักษณะเหมือนวงจร

วงจรข่ายและกราฟ Network Graph

กราฟย่อย (Sub graph, ) กราฟที่เกิดจากการลบส่วนของ กิ่ง (branch) และ โนด (node) บางส่วนของกราฟออก

ลูกศรอ้างอิง (Reference Direction) ทิศทางของแรงดัน (VK) และ กระแส (jK) ในแต่ละกิ่งของกราฟ อุปกรณ์ (element) อาจเป็น R, L, C หรือ แหล่งจ่าย (source)

ขั้นตอนการกำหนดทิศของลูกศรอ้างอิง 1. ลูกศรชี้จากความต่างศักย์ สูง ไป ต่ำ 2. กิ่งที่เป็นแหล่งจ่ายแรงดัน (Voltage Source) - ลูกศรชี้จากขั้ว บวก ไป ลบ 3. กิ่งที่เป็นแหล่งจ่ายกระแส (Current Source) - ลูกศรชี้ตามทิศของแหล่งจ่ายกระแส

กราฟขององค์ประกอบวงจร (R, L, C) ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ

กราฟของแหล่งจ่ายแรงดัน (Voltage Source) แหล่งจ่ายแรงดันอิสระ (Independent Voltage Source) แหล่งจ่ายแรงดันไม่อิสระ (Dependent Voltage Source)

กราฟของแหล่งจ่ายกระแส (Current Source) แหล่งจ่ายกระแสอิสระ (Independent Current Source) แหล่งจ่ายกระแสไม่อิสระ (Dependent Current Source)

กราฟโอเรียนท์ (Oriented Graph) กราฟซึ่งมีการกำหนดทิศทางลูกศรอ้างอิงในแต่ละกิ่งไว้ Network Oriented Graph

เมตริกความสัมพันธ์ระหว่างโนดและกิ่ง (Aa) (Node – to – Branch Incidence Matrix) กำหนดให้เมตริก Aa เป็นเมตริกสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมี จำนวนแถว (Row, i) = จำนวนโนด (node) ทั้งหมดในวงจร จำนวนคอลัมน์ (Column, k) = จำนวนกิ่ง (branch)ทั้งหมดในวงจร

aik = กำหนดให้ aik เป็นสมาชิกของเมตริก Aa โดยที่ 1 ถ้า ลูกศรอ้างอิงในกิ่ง k มีทิศออกจากโนด i aik = -1 ถ้า ลูกศรอ้างอิงในกิ่ง k มีทิศเข้าหาโนด i 0 ถ้า กิ่ง k ไม่ได้เชื่อมต่อกับโนด i

เมตริกซ์ Aa มีลักษณะเป็น

ตัวอย่างที่ 1 จากวงจรข่ายที่ให้มา จงเขียนเมตริกแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง โนด และ กิ่ง ในวงจร

วิธีทำ เขียนกราฟโอเรียนท์

เขียนเมตริก Aa ได้เป็น

เซตตัด (Cut Set) กลุ่มของกิ่ง ที่ถูกตัดโดยเส้นบรรจบ (เส้นปิด หรือ พื้นผิวเกาส์เซียน) ที่ผ่านกิ่งต่างๆ เพียงครั้งเดียว กลุ่มของกิ่ง ซึ่งเมื่อเอาออกจากกราฟ จะทำให้กราฟถูกแยกออกเป็น 2 ส่วน (ส่วนที่อยู่ข้างนอก และ ข้างใน พิ้นผิวเกาส์เซียน)

Gaussian Surface จะได้ Cut Set คือ {1, 2, 3}

ตัวอย่างที่ 2 จากกราฟรูปที่ให้มา จงหาเซตตัด (Cut Set)

Cut set คือ กลุ่มของกิ่ง ที่ถูกตัดโดยเส้นบรรจบ (เส้นปิด หรือ พื้นผิวเกาส์เซียน) ที่ผ่านกิ่งต่างๆ เพียงครั้งเดียว และแบ่งกราฟเป็น 2 ส่วน Cut Set คือ {1, 2, 3}

กฎกระแสของเคิร์ชฮอฟฟ์ (Kirchhoff’s Current Law, KCL) ผลรวมของกระแส (j) ทั้งหมด ที่ตัดผ่านพื้นผิวเกาส์เซียน (Gaussian Surface) จะมีค่าเท่ากับ ศูนย์ ผลรวมของกระแส j1, j2, j3 เท่ากับ 0

การกำหนดเครื่องหมายกระแสของ KCL 1. กำหนดทิศทางอ้างอิงของ Cut Set (ทิศทางอ้างอิงของพื้นผิวเกาส์เซียน) ปกติจะกำหนดทิศทางออกจากพื้นผิวเกาส์เซียนเป็นทิศอ้างอิง 2. เครื่องหมาย บวก (+)  ทิศทางของกิ่งกระแส มีทิศทางเดียวกับ ทิศทางอ้างอิงของ Cut Set 3. เครื่องหมาย ลบ (-)  ทิศทางของกิ่งกระแส มีทิศทางตรงข้าม กับทิศทางอ้างอิงของ Cut Set

j1 - j2 + j3 = 0 จากรูปวงจร จะได้สมการกระแสตามกฎ KCL ดังนี้ ทิศทางอ้างอิง Cut Set จะได้ j1 - j2 + j3 = 0

พิสูจน์ ผลรวม +j1 -j2 +j3

ตัวอย่างที่ 3 จากรูปวงจร จงหาสมการกระแสตามกฎ KCL -j15 -j16 = 0 จะได้

ลูป (Loop, ) ลูป คือ กราฟย่อย (Sub Graph, ) ของ กราฟ ที่ 1. เป็นกราฟย่อย ที่แต่ละกิ่ง เชื่อมต่อกันหมด เป็นวงรอบ 2. แต่ละโนดในกราฟย่อย จะเชื่อมต่อกับกิ่ง 2 กิ่งเท่านั้น

เป็นลูป ไม่เป็นลูป ไม่เป็นลูป

กฎแรงดันของเคิร์ชฮอฟฟ์ (Kirchhoff’s Voltage Law, KVL) ผลรวมของแรงดัน v1, v2, v3, v4, v5 เท่ากับ 0

การกำหนดเครื่องหมายแรงดันของ KVL 1. กำหนดทิศทางอ้างอิงของ ลูป 2. เครื่องหมาย บวก (+)  ทิศทางของแรงดันกิ่ง มีทิศทางเดียวกับ ทิศทางอ้างอิงของลูป 3. เครื่องหมาย ลบ (-)  ทิศทางของแรงดันกิ่ง มีทิศทางตรงข้าม กับทิศทางอ้างอิงของลูป

v1 - v2 - v3 + v4 – v5= 0 จากรูปวงจร จะได้สมการแรงดันตามกฎ KVL ดังนี้ ทิศทางอ้างอิง ลูป จะได้ v1 - v2 - v3 + v4 – v5= 0

ตัวอย่างที่ 4 V2 - V5 - V7 + V8 + V4 = 0 จากรูปวงจร จงหาสมการแรงดันตามกฎ KVL ทิศทางอ้างอิงลูป V2 - V5 - V7 + V8 + V4 = 0 จะได้

ทฤษฎีบทเทลเลเจน (Tellegen’s Theorem) ผลรวมของกำลังไฟฟ้าในแต่ละกิ่งของกราฟ มีค่าเท่ากับ ศูนย์ กำลังไฟฟ้า (power) = แรงดัน x กระแส = VI จะได้ Tellegen’s Theorem เป็น b – จำนวนกิ่งทั้งหมด k – กิ่งที่ 1, 2, … b

ตัวอย่างที่ 5 จากรูปวงจร จงหากระแสที่ไหลผ่านกิ่ง 1 (j1)เมื่อกำหนดค่าต่างๆ ดังนี้ V1 = 5 V2 = -1 V3 = 1 V4 = 4 V5 = -3 j1 = ? j2 = 1 j3 = -3 j4 = 2 j5 = 2

เขียนโอเรียนท์กราฟ ได้เป็น

หา กระแส j1 โดยใช้ทฤษฎีบทเทลเลเจน v1j1 + v2j2 + v3j3 + v4j4 + v5j5 = 0 (2)(j1) + (-1)(1) + (1)(-3) + (4)(2) + (-3)(2) = 0 (2)(j1) + (-1) + (-3) + (8) + (-6) = 0 จะได้ j1 = 1

เปรียบเทียบโดยวิธี KCL 0 = j1 – j2 j1 = j2 j1 = 1 เพราะฉะนั้น Tellegen’s Theorem เป็นจริง

การประยุกต์ใช้งานทฤษฎีบทเทลเลเจน 1) หาขนาดกำลังการผลิตให้กับวงจรข่าย จาก

2) หากำลังไฟฟ้าสูญเสียในวงจรข่าย จาก

3) หาประสิทธิภาพ (Efficiency)