คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ตรรกศาสตร์เบื้องต้น คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ที่มาและความสำคัญ ตรรกศาสตร์ (logic) คือวิชาที่ว่าด้วยการให้เหตุผลซึ่งเกี่ยวข้องกับข้อความเป็นชุดที่เรียงตามลำดับก่อนหลัง (a series of statements) ตรรกศาสตร์มีบทบาทมากไม่เพียงแต่ในชีวิตประจำวันเท่านั้นแต่เป็นศาสตร์ที่จำเป็นมากสำหรับนักกฎหมายและนักรัฐศาสตร์ ตรรกศาสตร์จึงเป็นศาสตร์ที่สำคัญและจำเป็นต่อมนุษย์ผู้เจริญทั้งในทางโลกปัจจุบันนี้และโลกาภิวัตน์ นำไปประยุกต์ปฏิบัติในชีวิตประจำวันต่อไป คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ความหมายของประพจน์ ประพจน์ คือประโยคที่เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ประโยคที่มีลักษณะดังกล่าวจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธก็ได้ คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์ ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์ เป็น จังหวัดเชียงใหม่ไม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย เป็น น้ำนิ่งไหลลึก ไม่เป็น 17 + 8 = 25 เป็น 5 เป็นจำนวนตรรกยะ ใช่ไหม ไม่เป็น เซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต เป็น คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ในตรรกศาสตร์การเป็น จริง หรือ เท็จ ของแต่ละประพจน์ เรียกว่า ค่าความจริง (truth value) ของประพจน์ เช่น 3 = 1 + 2 เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง หรือกล่าวสั้นๆ ได้ว่า 3 = 1 + 2 เป็นประพจน์ที่เป็นจริง คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ประโยคที่ไม่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ¤ ข้อควรจำ ¤ ประโยคที่ไม่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ไม่เป็นประพจน์ เช่น ประโยคคำถาม ประโยคคำสั่ง ห้าม ขอร้อง อ้อนวอน ประโยคแสดงความปรารถนา หรือประโยคอุทาน คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ 1. ประโยคคำถาม เช่น ใครกันนะ 2 ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์            1.  ประโยคคำถาม  เช่น  ใครกันนะ          2.  ประโยคคำสั่ง  เช่น  จงนั่งลง          3.  ประโยคขอร้อง  เช่น ช่วยปิดหน้าต่างให้หน่อย          4.  ประโยคอ้อนวอน  เช่น  โปรดเมตตาด้วยเถิด          5.  ประโยคแสดงความปรารถนา เช่น  ฉันอยากเป็นนก          6.  ประโยคอุทาน  เช่น  อุ๊ย .... เจ็บ          7.  สุภาษิตคำพังเพย  เช่น  น้ำลดตอพุด          8.  ประโยคเปิด    เช่น   เขาเป็นดารานักร้อง คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ -ฝนตกหรือเปล่า = คำถาม -อย่าเดินลัดสนาม = ห้าม -กรุณาเปิดหน้าต่างด้วย = ขอร้อง - ได้โปรดเถิด = อ้อนวอน -ช่วยด้วย = ขอร้อง -พระเจ้าช่วย = อุทาน -ออกไปให้พ้น = คำสั่ง - โปรดให้อภัยในความไม่สะดวก = ขอร้อง คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

การเชื่อมประพจน์ ในวิชาคณิตศาสตร์หรือในชีวิตประจำวัน จะพบประโยคที่ได้จากการ เชื่อมประโยคที่ได้จากการเชื่อมประโยคอื่นด้วยคำว่า “ และ” “ หรือ” “ ถ้า...แล้ว...” “ ก็ต่อเมื่อ” หรือพบประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลงมาจากประโยคเดิมโดยเติมคำว่า “ ไม่” คำเหล่านี้เรียกว่า ตัวเชื่อม ( Connectives ) คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

(1) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ และ” พิจารณาประพจน์ 1 + 2 = 2 + 1 3×2 = 2×3 ประพจน์ใหม่คือ 1 + 2 = 2 + 1 และ 3×2 = 2×3 คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “ และ” มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงทั้งคู่ กรณีอื่นๆเป็นเท็จทุกกรณี คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

“p และ q” เขียนแทนด้วย p q คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ตารางค่าความจริง ( truth table ) ของ p q F T F F F คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

(2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม หรือ (2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม หรือ พิจารณาประพจน์ 1 + 5 = 5 + 1 4(2 + 3) = (4×2) + (4×3) เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย “ หรือ” จะได้ประพจน์ใหม่คือ 1 + 5 = 5 + 1 หรือ 4(2 + 3) = (4×2) + (4×3) คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “หรือ” มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันเป็นเท็จทั้งคู่ กรณีอื่นๆเป็นจริงทุกกรณี คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมด้วย “ หรือ” คือ “p หรือ q” เขียนแทนด้วย p q คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ตารางค่าความจริงของ p q T F T T T F คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

หมายเหตุ ความหมายของคำว่า “หรือ” ที่ใช้กันทั่วไปมีสองกรณี กรณีที่ 1 หมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น ในการโยนเหรียญครั้งละ 1 เหรียญ แต่ละครั้งเหรียญจะขึ้นหัวหรือก้อยเพียงอย่างเดียว กรณีที่ 2 หมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง เช่น ครูให้รางวัลแก่นักเรียนที่เรียนดีหรือช่วยกิจกรรมของโรงเรียน นักเรียนที่ได้รับรางวัลบางคนอาจเรียนดีเพียงอย่างเดียว บางคนอาจช่วยกิจกรรมของโรงเรียนเพียงอย่างเดียว แต่บางคนอาจมีสมบัติทั้งสองประการก็ได้

ในตรรกศาสตร์มีข้อตกลงว่า ตัวเชื่อม “หรือ” หมายถึงกรณีที่2 เว้นแต่จะระบุไว้อย่างชัดเจนให้หมายถึงกรณีที่1 คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ประพจน์ซึ่งตามหลังคำว่า แล้ว เรียกว่า ผล (3) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม ถ้า...แล้ว พิจารณาประพจน์ 2 + 3 = 3 + 2 6(2 + 3) = 6(3 + 2) เมื่อเชื่อมด้วย “ถ้า...แล้ว” ประพจน์ใหม่ที่เกิดขึ้น คือ ถ้า 2 + 3 = 3 + 2 แล้ว 6(2 + 3) = 6(3 + 2) ประพจน์ซึ่งตามหลังคำว่า แล้ว เรียกว่า ผล คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้ จากการเชื่อมด้วย “ถ้า ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้ จากการเชื่อมด้วย “ถ้า...แล้ว” คือ “ถ้า p แล้ว q” เขียนแทนด้วย p q คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “ถ้า ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “ถ้า...แล้ว” มีข้อตกลง ว่าประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่ และ เท่านั้น กรณีอื่นๆเป็นจริงทุกกรณี เหตุเป็นจริง ผลเป็นเท็จ คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ตารางค่าความจริงของ p q T F T F T T คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

(4) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อ พิจารณาประพจน์ 2(3 + 2) = 2×5 3 + 2 = 5 เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย “ ก็ต่อเมื่อ” ประพจน์ที่ได้ใหม่คือ 2(3 + 2) = 2×5 ก็ต่อเมื่อ 3 + 2 = 5 คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ซึ่งมีความหมายเป็น ถ้า 2(3 + 2) = 2×5 แล้ว 3 + 2 = 5 และ ถ้า 2(3 + 2) = 2×5 แล้ว 3 + 2 = 5 และ ถ้า 3 + 2 = 5 แล้ว 2(3 + 2) = 2×5 คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ ก็ต่อเมื่อ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้น เป็นจริงด้วยกันทั้งคู่หรือเป็นเท็จด้วยกันทั้งคู่เท่านั้น กรณีอื่นๆเป็นเท็จเสมอ คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ที่ได้จากการเชื่อมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” คือ “p ก็ต่อเมื่อ q” คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ตารางค่าความจริงของ p q เขียนได้ดังนี้ T F T F F T คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

นิเสธของประพจน์ 2 + 3 = 5 คือ 2 + 3 ≠ 5 (5) นิเสธของประพจน์ นิเสธของประพจน์ 2 + 3 = 5 คือ 2 + 3 ≠ 5 นิเสธของประพจน์ 2 < 3 คือ 2  3 นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ~p คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

ตารางค่าความจริงของ ~p เขียนได้ดังนี้ T F F T คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ

T  T = T และ F  F = T นอกนั้น F สรุปวิธีจำ T  T = T นอกนั้น F F  F = F นอกนั้น T T  F = F นอกนั้น T T  T = T และ F  F = T นอกนั้น F

1.3 การหาค่าความจริงของประพจน์ ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมแบบต่างๆ ที่กล่าวมาแล้วมีไว้เพื่อช่วยในการหาว่าประพจน์ใดเป็นจริงหรือเท็จ ดังตัวอย่างในต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ “เชียงใหม่และธนบุรีเคยเป็นเมืองหลวงของเมืองไทย” วิธีทำ ให้ p แทน เชียงใหม่เคยเป็นเมืองหลวงของไทย ให้ q แทน ธนบุรีเคยเป็นเมืองหลวงของไทย ประโยคที่กำหนดให้อยู่ในรูป p q เนื่องจาก p เป็นเท็จ และ q เป็นจริง จะได้ p q เป็นเท็จ ดังนั้น ประโยค “เชียงใหม่และธนบุรีเคยเป็นเมืองหลวงของไทย” มีค่าความจริงเป็นเท็จ

1.4 การสร้างตารางค่าความจริง ถ้ามีประพจน์เดียวคือ p มีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่จะพิจารณา 2 กรณี ถ้ามีสองประพจน์คือ p และ q มีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริง ที่จะพิจารณา 4 กรณี ในทำนองเดียวกัน ถ้ามีสามประพจน์คือ p , q และ r มีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่จะพิจารณา ทั้งหมด 8 กรณี

ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  (~p ~q) วิธีทำ รูปแบบของประพจน์ p q p  q ~p ~q ~p  ~q (p  q)  (~p  ~q) T F T F F F F T F T F F F T T F F T T T T T

1.5 รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ในวิชาตรรกศาสตร์ ถ้ารูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใดมีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี แล้วจะสามารถนำไปใช้แทนกันได้ เรียกสองรูปแบบของประพจน์ดังกล่าวว่าเป็น รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน เช่น p q กับ ~p  q เป็นรูปแบบที่สมมูลกัน ซึ่งแสดงการตรวจสอบความสมมูลได้ดังนี้

ค่าความจริงของ p  q กับ ~p \/ q ตรงกันกรณีต่อกรณี T F T T F F T T T T

จะเห็นว่าค่าความจริงของ p  q กับ ~p /\ q ตรงกันกรณีต่อกรณี T F T F F F T T T F

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ที่ควรทราบ รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ที่ควรทราบ 4.จัดหมู่ p Ù (q Ù r) º (p Ù q) Ù r p Ú (q Ú r) º (p Ú q) Ú r p « (q « r) º (p « q) « r 5.กระจาย p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r) p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r) 6.แปลงรูป p ® q º ~p Ú q p ® q º ~q ® ~p ~(p ® q) º p Ù ~q 1.กระทำตนเอง p Ù p º p p Ú p º p 2.เดอร์มอร์แกน ~(p Ù q) º ~p Ú ~q ~(p Ú q) º ~p Ù ~q 3.สลับ p Ù q º q Ù p p Ú q º q Ú p p «q º q « p

7. ลดทอน p Ù (p Ú r) º p p Ú (p Ù r) º p 8. กระจายพิเศษ p ® (q Ù r) º (p ® q) Ù (p ® r) p ® (q Ú r) º (p ® q) Ú (p ® r) (q Ù r) ® p º (q ® p) Ú (r ® p) (q Ú r) ® p º (q ® p) Ù (r ® p) 9.ก็ต่อเมื่อ p « q º (p ® q) Ù (q ® p) p « q º ~p « ~q ~(p « q) º ~p « q º p « ~q p Ú (q « r) º (p Ú q) « (p Ú r)

การสมมูลเชิงตรรกศาสตร์ (Logical Equivalence) เทคนิคการยุบประพจน์ย่อยๆเพื่อหารประพจน์ผสม กำหนดให้ P และ q เป็นประพจน์ และ T,F เป็นค่าความจริงของประพจน์ที่ตำแหน่งนั้น 1. (p  p)  p 9. (p  p)  T 2. (p  F)  p  (F  p) 10. (p  T)  T 3. (p  T)  T  (T  p) 11. (T  p)  p 4. (p  p)  T  (p  p) 12. (p F)  p 5. (p  p)  p 13. (F  p)  T 6. (p  T)  p  (T  p) 14. (p   p)   p 7. (p  F)  F  (F  p) 15. (p  q)  (q  p) 8. (p p)  F  (p  p) 16. (p  q)  ( p  q)

1.6 สัจนิรันดร์ (Tautology) บทนิยาม รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกว่า สัจนิรันดร์ คอนทราดิชั่น (contradiction) คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณี พิจารณาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ [(p  q) p]  q p q p  q (p  q) p [(p q) p]  q T F T T T F F T T T F T F T

ตัวอย่างสัจนิรันดร์ที่สำคัญ 1. p  [ p  q ] (law of addition) กฎการเติมเต็ม 2. [ p  q ]  p (law of implication) กฎของการทำให้ง่าย 3. [ p  ( p  q) ]  q (modus ponens) การแจงผลตามเหตุ 4. [ ~ q  (p  q )]  ~ p (modus tollens) การแจงผลค้านเหตุ

(law of syllogism) กฎของตรรกบท 6. [ ~ p  (q  ~ q) ] p 5. [ ( p  q)  (q  r) ]  (p  r) (law of syllogism) กฎของตรรกบท 6. [ ~ p  (q  ~ q) ] p 7. [(p  r)  ( q  r )] ( p  q  r) (inference by case) การอนุมานโดยกรณี 8. [ ~ p  (p  q ) ]  q (disjunctive syllogism) ตรรกบทแบบคัดออก 9. [ (p  q )  ~ q ]  ~ p (law of absurdity) กฎของการเป็นไปได้ 10. (p  q)  (p  r  q  r)

บ.ฝ.

1.7 การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผลคือ การอ้างว่า เมื่อมีข้อความ P1,P2,...,Pn ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุปข้อความ C ข้อความหนึ่งได้ การอ้างเหตุผลประกอบด้วยส่วนสำคัญสองส่วนคือ เหตุหรือสิ่งที่กำหนดให้ ได้แก่ ข้อความ P1,P2,...,Pn และผลหรือข้อสรุปได้แก่ข้อความ C การอ้างเหตุผลอาจจะสมเหตุสมผลหรือไม่สมเหตุสมผลก็ได้ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตัวเชื่อม ^ เชื่อมเหตุทั้งหมดเข้าด้วยกัน และใช้ตัวเชื่อม เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุ

การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผล คือการอ้างว่าเมื่อมีข้อความ P , P , P , การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผล คือการอ้างว่าเมื่อมีข้อความ P , P , P , ... , P เชื่อหนึ่ง แล้วสรุป ข้อความ c อันหนึ่งใด ดังนั้น การอ้างเหตุผลจะประกอบด้วย 2ส่วน 1. ส่วนที่เรียกว่าเหตุ คือส่วนที่กำหนดให้ซึ่งเป็นจริงเสมอ ได้แก่ข้อความ P , P , ... , P 2.ส่วนที่เรียกว่าผล คือผลสรุปที่เกิดจากเหตุ ได้แก่ข้อความ c 1 2 3 n 1 2 n

กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจำนวนเต็ม 1.8 ประโยคเปิด บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปรและเมื่อแทนค่าของตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจำนวนเต็ม พิจารณา 2x + 1 = 3 จะเห็นว่าเป็นประโยคเปิด เพราะมีตัวแปร x และเมื่อแทน x ด้วยจำนวนจริงใดๆ แล้วได้ประพจน์เช่น

แทน x ด้วย 0 ได้ 0 + 1 = 3 เป็นเท็จ พิจารณา 2x + 1 = 3 จะเห็นว่าเป็นประโยคเปิด เพราะเมื่อแทน x ด้วยจำนวนจริงใดๆแล้วเป็นไปได้ทั้ง 2 อย่าง

1.9 ตัวบ่งปริมาณ ในวิชาคณิตศาสตร์จะพบว่ามีการใช้ข้อความ สำหรับ x ทุกตัว และ สำหรับ x บางตัว เสมอ เช่น สำหรับ x ทุกตัว x + 0 = x เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง สำหรับ x บางตัว x + x = xเมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง หมายเหตุ การเขียนสัญลักษณ์แทนประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ เราจะต้องเขียนเอกภพสัมพัทธ์กำกับไว้เสมอเพื่อจะได้ทราบขอบเขตของตัวแปรว่าแทนสิ่งใด แต่ในกรณีที่เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง มักนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์ นอกจากนี้ในการศึกษาเกี่ยวกับเซตนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์เช่นเดียวกัน

ตัวบ่งปริมาณ(Quantifiers) ตังบ่งปริมาณมี 2 ชนิด 1. Universal Quantifiers คือ “สำหรับ...ทุกตัว", “ แต่ละค่าของ..." อ่านว่า "for all" เขียนแทนด้วย " " 2. Existential Quantifiers คือ “ สำหรับ... บางตัว", " มีอย่างน้อยหนึ่ง " อ่านว่า "for some“เขียนแทน " "

1.10 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว การพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น โดยทั่วไปจะพิจารณาแต่ละส่วนของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ดังนี้ ส่วนที่ 1 ตัวบ่งปริมาณ ส่วนที่ 2 ประโยคเปิด ส่วนที่ 3 เอกภพสัมพัทธ์

ค่าความจริงของประโยคมีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียวพิจารณาประโยคเปิด > 0 เมื่อ กำหนดตัวบ่งปริมาณและเอกภพสัมพัทธ์ให้แตกต่างกัน ดังนี้ x[ > 0], = {0,1,2,3} หมายถึง สมาชิกทุกตัวใน ยกกำลังสองแล้มากกว่า 0 x[ > 0], = {0,1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า0 x[ > 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกทุกตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0 x[ > 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0 x[ < 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วน้อยกว่า 0

1.11 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ประโยคบางรูปแบบอาจจะต้องใช้พิจารณาจากบทนิยามของสมมูลหรือนิเสธ ดังนี้ “ประพจน์สองประพจน์จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี” “ประพจน์สองประพจน์จะเป็นนิเสธกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงตรงกันข้ามกรณีต่อกรณี”

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน และเป็นนิเสธกันที่ใช้วิธีพิจารณาดังกล่าว รูปแบบที่ 1~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)] กล่าวคือ นิเสธของ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)] พิสูจน์ กรณีที่ 1 ถ้า ~ x[P(x)] เป็นจริง จะได้ว่า x[P(x)] เป็นเท็จ ดังนั้น มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ จะได้ว่า มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน ~P(x)แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจริง นั่นคือ x[~P(x)] เป็นจริง

รูปแบบที่ 2 ~ x[P(x)] สมมูลกับ   x[~P(x)] กล่าวคือ นิเสธของ   x[P(x)] สมมูลกับ   x[~P(x)] พิสูจน์ กรณีที่ 1 สมมุติว่า ~   x[P(x)] เป็นจริง จะได้ว่า   x[P(x)] เป็นเท็จ ดังนั้น เมื่อแทนค่า x ใน p(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ประพจน์ที่เป็นเท็จทั้งหมด นั่นคือ เมื่อแทนค่า x ใน ~p(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ประพจน์ที่เป็นจริงทั้งหมด

บ.ฝ.

บ.ฝ.

1.12 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว สามารถเขียนได้ 8 รูปแบบ ได้แก่ xy[P(x,y)] x y[P(x,y)] xy[P(x,y)] xy[P(x,y)] yx[P(x,y)] yx[P(x,y)] yx[P(x,y)] yx[P(x,y)] ซึ่งจะหาค่าความจริงของประโยคเหล่านี้

ตัวอย่าง กำหนดให้ u = {-1,0,1] จงหาค่าความจริงของ บทนิยาม ประโยค xy[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และy ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทำให้ P(a,b) เป็ฯจริงเสมอ ประโยค xy[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทำให้ P(a,b)เป็นเท็จ ตัวอย่าง กำหนดให้ u = {-1,0,1] จงหาค่าความจริงของ (1) xy[xy < 2] (2) xy[x + y < 2] วิธีทำ (1) เมื่อแทนค่า x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอาภพสัมพัทธ์ จะเห็นได้ว่า P(-1,-1), P(-1,0), P(-1,1), P(0,-1), P(0,0), P(0,1), P(1,-1), P(1,0) และP(1,1)เป็นจริง ดังนั้น ประโยค xy[ xy < 2] มีค่าความจริงเป็นจริง (2) จะเห็นว่า เมื่อเลือก x=1 และ y=1 จะได้ว่า x+y = 1+1 = 2 ดังนั้น ประโยค xy[ x+y < 2] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตัวอย่าง กำหนดให้ u = {-1,0,1] จงหาค่าความจริง (1) xy[2x+y = 2] บทนิยาม ประโยค xy[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอาภพสัมพัทธ์ แล้ว P(a,b) เป็นจริง ประโยค xy[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอาภพสัมพัทธ์ แล้ว P(a,b) เป็นเท็จ ตัวอย่าง กำหนดให้ u = {-1,0,1] จงหาค่าความจริง (1) xy[2x+y = 2] (2) xy[x + y > 2] วิธีทำ (1) เมื่อเลือก x=1 และ y=0 จะได้ 2x + y 2(1) + 0 = 2 ดังนั้น ประโยค xy[2x + y = 2] มีค่าความจริงเป็ฯจริง (2) เมื่อแทนค่า x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอาภพสัมพัทธ์ จะเห็นได้ว่า P(-1,-1), P(-1,0), P(-1,1), P(0,-1), P(0,0), P(0,1), P(1,-1), P(1,0) และP(1,1)เป็นจริง ดังนั้น ประโยค xy[x + y > 2] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตัวอย่าง กำหนดให้ u = {-1,0,1} จงหาค่าความจริงของ บทนิยาม ประโยค )] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทำให้ประโยค y[P(a,y)] เป็นจริง ประโยค )] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทำให้ประโยค y[P(a,y)] เป็นเท็จ ตัวอย่าง กำหนดให้ u = {-1,0,1} จงหาค่าความจริงของ (1) xy[x +y = 0] (2) xy[x < y] วิธีทำ (1) เมื่อ x = 0 จะเห็นว่า ประโยค y[0 + y = 0] มีค่าความจริงเป็นจริงเพราะ สามารถเลือก y = 0 แล้วทำให้ 0+y = 0+0 = 0 เป็นจริงเมื่อ x = -1 จะเห็นว่า ประโยค y[-1+y = 0] มีค่า ความจริง เป็นจริง เพราะ สามารถเลือก y=1 แล้วทำให้ -1+y= -1+1=0เป็นจริง สรุปได้ว่า xy[x + y = 0] มีค่าความจริงเป็นจริง (2) เมื่อเลือก x = 1 จะได้เห็นว่า ประโยค y[1 < y] มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น ประโยค xy[x < y] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

บทนิยาม ประโยค xy[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประโยค y[P(a,y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ประโยค xy[P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประโยค y[P(a,y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ (นั้นคือไม่สามารถหาค่าของ a ซึ่งทำให้ ประโยค y[P(a,y)] เป็นจริงได้เลย ) สำหรับค่าความจริงของประโยคyx[P(x,y)], yx[P(x,y)], yx[P(x,y)] และ yx[P(x,y)] สามารถหาได้ในทำนองเดียวกันกับรูปแบบข้างต้น จะเห็นได้ชัดเจนว่าประโยค xy[P(x,y)] และ yx[P(x,y)] มีค่า ความจริงตรงกันเสมอ และประโยค xy[P(x,y)] และ yx[P(x,y)] มีค่าความจริงตรงกันเสมอเช่นเดียวกัน

The End Good Bye