ตรรกศาสตร์เบื้องต้น บทนิยาม ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ตัวอย่างประพจน์ ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์ 3 + 4 = 10 เซตว่างเป็นสับเซตทุกเซต ตัวอย่างที่ไม่เป็นประพจน์ ประโยคไม่อยู่ในรูปบอกเล่า หรือปฏิเสธไม่ทราบค่าความจริง ไม่เป็นประพจน์ ฝนตกหรือเปล่า (คำถาม) อย่าคุยกัน (ห้าม) ออกไปให้พ้น (คำสั่ง) ขอให้โชคดี (อวยพร) ยุงร้ายกว่าเสือ (สุภาษิต)

เท็จกรณีเดียว คือ ( F ทั้งคู่ ) ตารางค่าความจริงประพจน์ที่เชื่อมด้วย “ หรือ (V) ” q p p V q T T T T F T เท็จกรณีเดียว คือ ( F ทั้งคู่ ) T T F F F F

ตัวอย่าง ให้ p แทน 2 + 3 = 9 , q แทน 6 - 5 = 1 จะได้ประพจน์ (มีค่าความจริงเป็น เท็จ) (มีค่าความจริงเป็นจริง) จะได้ประพจน์ แทน 2 + 3 = 9 หรือ 6 -5 = 1 (เป็นจริง) F T T โดยตารางค่าความจริง จะได้ประพจน์ 0 เป็นจำนวนนับ หรือ 4 + 6 = 6 - 4 (เป็นเท็จ) F F F

จริงกรณีเดียว คือ ( T ทั้งคู่ ) ตารางค่าความจริงประพจน์ที่เชื่อมด้วย “ และ ” จริงกรณีเดียว คือ ( T ทั้งคู่ ) q p p q T T T T F F T F F F F F

ตัวอย่าง ให้ p แทน 2 + 3 = 9 , q แทน 6 - 5 = 1 จะได้ประพจน์ (มีค่าความจริงเป็น เท็จ) (มีค่าความจริงเป็นจริง) จะได้ประพจน์ แทน 2 + 3 = 9 และ 6 -5 = 1 (เป็นเท็จ) F T F โดยตารางค่าความจริง จะได้ประพจน์ 0 เป็นจำนวนคู่ และ 4 + 6 = 6 + 4 (เป็นจริง) T T T

เท็จกรณีเดียว คือ ( T แล้ว F ) ตารางค่าความจริงประพจน์ที่เชื่อมด้วย “ถ้า…แล้ว” p q p q เท็จกรณีเดียว คือ ( T แล้ว F ) T T T T F F F T T F F T

ถ้า 0 เป็นจำนวนคู่ แล้ว 4 + 6 = 5 F ตัวอย่าง q แทน 6 + 5 = 1 ให้ p แทน 2 + 3 = 9 , (มีค่าความจริงเป็น เท็จ) (มีค่าความจริงเป็นเท็จ ) จะได้ประพจน์ แทน ถ้า 2 + 3 = 9 แล้ว 6 + 5 = 1 F F (เป็นจริง) T โดยตารางค่าความจริง จะได้ประพจน์ ถ้า 0 เป็นจำนวนคู่ แล้ว 4 + 6 = 5 (เป็นเท็จ) F T F

ตารางค่าความจริงประพจน์ที่เชื่อมด้วย “…ก็ต่อเมื่อ...” p q p q T T T T F F เหมือนกัน เป็น จริง F T F F F T

0 เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ 4 + 6 = 5 F ตัวอย่าง ให้ p แทน 2 + 3 = 9 , q แทน 6 + 5 = 1 (มีค่าความจริงเป็น เท็จ) (มีค่าความจริงเป็นเท็จ) จะได้ประพจน์ แทน 2 + 3 = 9 ก็ต่อเมื่อ 6 + 5 = 1 F F (เป็นจริง) T โดยตารางค่าความจริง จะได้ประพจน์ 0 เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ 4 + 6 = 5 (เป็นเท็จ) F T F

นิเสธของประพจน์ นิเสธ ของประพจน์ 2 + 3 = 5 คือ 2 + 3 5 นิเสธ ของประพจน์ 2 + 3 = 5 คือ 2 + 3 5 นิเสธ ของประพจน์ 2 < 3 คือ 2 3 ( 2 ไม่น้อยกว่า 3 ) นิเสธ ของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ดังตารางค่าความจริง p ~ p T F F T

F T การหาค่าความจริงของประพจน์ ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของ เมื่อ A , B เป็นประพจน์ ที่มีค่าความจริงเป็นจริง วิธีทำ ~ ( A ~ B ) T T F F T ดังนั้นประพจน์ มีค่าความจริงเป็นจริง

ตัวอย่าง กำหนด p เป็นจริง q เป็นเท็จ r เป็นเท็จ และ s เป็นจริง จงหาค่าความจริงของ วิธีทำ T T T F F F T F T ดังนั้น ประพจน์ มีค่าความจริงเป็นจริง

ตัวอย่าง ถ้า มีค่าความจริงเป็นจริงแล้ว จงหา ค่าความจริงของ r , s และ t วิธีทำ F F F F F T T T ดังนั้น r มีค่าความจริงเป็น เท็จ s มีค่าความจริงเป็น เท็จ t มีค่าความจริงเป็น เท็จ

r p q p q r การสร้างตารางค่าความจริง T T T T T T T F F ถ้ามี n ประพจน์ จะมีจำนวนกรณี ทั้งหมด 2n กรณี T T F T T F T F F F F T T T T F F T F F F F F T T F F F F

ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงของ วิธีทำ T T T F F F T T F F T F F F ตัวเชื่อมหลัก วิธีทำ T T T F F F T T F F T F F F F T T T T T T F T F F T F F ค่าความจริงของประพจน์ ทั้ง 4 กรณี

ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ วิธีทำ T F F F T F T F F T T F F F F F T F F F T T T T T F T T T T T F T F F F T T F F ค่าความจริงของประพจน์ ทั้ง 8 กรณี

ประพจน์ที่สมมูลกัน ประพจน์ที่สมมูลกัน คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี ตัวอย่าง T T T F T T F F F F F T T T T F F T T T จะเห็นว่าประพจน์ และ มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ดังนั้น สมมูลกับ

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า สมมูลกับ หรือไม่ วิธีทำ F T T T F F F F T T F F จงตรวจสอบว่า สมมูลกับ หรือไม่ วิธีทำ F T T T F F F F T T F F F T F F T T T F F T F F F T T T จะเห็นว่าค่าความจริง และ เหมือนกันทุกกรณี ดังนั้น (สมมูล)

รูปแบบประพจน์สมมูล ที่สำคัญ สำญมาก

ประพจน์ที่นิเสธกัน ประพจน์ที่นิเสธกัน คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงต่างกันกรณีต่อกรณี ตัวอย่าง T T T F F T F F T T F T T F F F F T T F จะเห็นว่าประพจน์ และ มีค่าความจริงต่างกันทุกกรณี ดังนั้น เป็นนิเสธกับ

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า เป็นนิเสธกับ หรือไม่ วิธีทำ F T T T F T T F T T จงตรวจสอบว่า เป็นนิเสธกับ หรือไม่ วิธีทำ F T T T F T T F T T F T T T F F T T F T F T F F F T F F จะเห็นว่าค่าความจริง และ ต่างกันทุกกรณี ดังนั้น เป็นนิเสธกับ

สัจนิรันดร์ บทนิยาม สัจนิรันดร์(tautology) คือ รูปแบบประพจน์ ที่มีค่าความจริง เป็นจริงทุกกรณี ตัวอย่าง T T T T T T T T T F F T F T T F T F F F จะเห็นว่าประพจน์ มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์

F ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า วิธีทำ F F F เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทำ พิจารณาว่ามีกรณีเท็จหรือไม่ F F F F ให้ประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้วขัดแย้ง ดังนั้นไม่มีกรณีเป็นเท็จ จึงเป็นสัจนิรันดร์

ประโยคเปิด บทนิยาม ประโยคเปิด คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปรไม่เป็น ประพจน์แต่เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภาสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ เช่น 2x + 1 = 3 เพราะว่า ถ้า แทน x = 1 ได้ 2 + 1 = 3 ได้ประพจน์ที่เป็น จริง เพราะว่า ถ้า แทน x = 0 ได้ 0 + 1 = 3 ได้ประพจน์ที่เป็น เท็จ เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ เพราะว่า ถ้าแทน เขา ด้วย ยุคลิด ได้ประพจน์ที่เป็นจริง

ใช้สัญลักษณ์ แทน สำหรับ … ทุกตัว ตัวบ่งปริมาณ ใช้สัญลักษณ์ แทน สำหรับ … ทุกตัว ใช้สัญลักษณ์ แทน สำหรับ … บางตัว เช่น แทน สำหรับ x ทุกตัว แทน สำหรับ x บางตัว ตัวอย่าง สำหรับ x ทุกตัว x + x = 2x เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ [ x + x = 2x ] , U = R มีจำนวนจริง x ซึ่ง x + 0 = 2x [ x + 0 = 2x ] , U = R เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้

สำหรับจำนวนจริง y ทุกตัว จะมีจำนวนจริง x บางตัว ซึ่ง x2 + y2 = 8 ตัวอย่าง จงเขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ สำหรับจำนวนจริง y ทุกตัว จะมีจำนวนจริง x บางตัว ซึ่ง x2 + y2 = 8 จะเขียนได้ จงเขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ จะเขียนได้ มีจำนวนจริง y บางจำนวน ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ทุกจำนวน x2 + y2 = 8 จงเขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ จะเขียนได้ จำนวนจริง x , y ทุกจำนวนบวกกันได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

บทนิยาม ประโยค มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่า ความจริงเป็นจริงทั้งหมด ประโยค มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่า ความจริงเป็นเท็จ

บทนิยาม ประโยค มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ประโยค มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่า ความจริงเป็นเท็จทั้งหมด

ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ , U = { 1 , 2 ,3 } วิธีทำ ให้ P(x) แทน x < 5 จะได้ P (1) แทน 1 < 5 ซึ่งเป็นจริง P (2) แทน 2 < 5 ซึ่งเป็นจริง P (3) แทน 3 < 5 ซึ่งเป็นจริง จะเห็นว่า เมื่อแทน x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U ในประโยค x < 5 แล้วได้ประพจน์เป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น ประโยคนี้มีค่าความจริงเป็นจริง

ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ , U = I วิธีทำ ให้ P(x) แทน x < 5 จะได้ P (6) แทน 6 < 5 ซึ่งเป็นเท็จ จะเห็นว่า มีสมาชิกใน I อย่างน้อยหนึ่งตัวคือ 6 เมื่อนำไปแทน x ใน P(x) แล้วได้ประพจน์ที่ เป็นเท็จ ดังนั้น ประโยคนี้มีค่าความจริงเป็น เท็จ

ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ , U = I วิธีทำ ให้ P(x) แทน x < 5 จะได้ P (4) แทน 4 < 5 ซึ่งเป็นจริง จะเห็นว่า มีสมาชิกใน I บางตัวเช่น 4 เมื่อนำไปแทน x ใน P(x) แล้วได้ประพจน์ที่ เป็นจริง ดังนั้น ประโยคนี้มีค่าความจริงเป็น จริง

ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ , U = { 6, 7, 8 } วิธีทำ ให้ P(x) แทน x < 5 จะเห็นว่า ไม่ว่าจะแทน x ด้วย 6 หรือ 7 หรือ 8 ใน x < 5 จะได้ประพจน์ที่ เป็นเท็จทั้งหมด ดังนั้น ประโยคนี้มีค่าความจริงเป็น เท็จ

จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ , U = { -1 , 0 , 1 } ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ , U = { -1 , 0 , 1 } วิธีทำ พิจารณา ประโยคเปิด -1 < 0 แทนค่า x = -1 จะได้ (-1) 2 > 0 ซึ่งเป็นจริง 0 < 0 ซึ่งเป็นจริง แทนค่า x = 0 จะได้ (0) 2 > 0 1 < 0 แทนค่า x = 1 จะได้ (1) 2 > 0 ซึ่งเป็นจริง ดังนั้น เป็นจริง

จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ , U = { -1 , 0 ,1 } ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ , U = { -1 , 0 ,1 } วิธีทำ พิจารณาประโยค แทนค่า x = -1 จะได้ - 1 < 0 เป็นจริง ดังนั้น มีค่าความจริงเป็น จริง พิจารณาประโยค เท็จ แทนค่า x = 0 จะได้ 02 > 0 ดังนั้น มีค่าความจริงเป็น เท็จ ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นเท็จ

สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ รูปแบบที่ 1 สมมูลกับ หรือ นิเสธของ คือ รูปแบบที่ 2 สมมูลกับ หรือ นิเสธของ คือ

จำนวนจริงทุก จำนวนเป็น จำนวนคี่ ตอบ ตัวอย่าง จงหานิเสธของข้อความ ตอบ หรือ ตัวอย่าง จงหานิเสธของข้อความ จำนวนจริงทุก จำนวนเป็น จำนวนคี่ ตอบ มี จำนวนจริงบางจำนวนไม่เป็นจำนวนคี่ ตัวอย่าง จงหานิเสธของข้อความ จำนวนจริงบาง จำนวนเป็น จำนวนคู่ ตอบ จำนวนจริงทุก จำนวนไม่เป็นจำนวนคู่

ตัวอย่าง จงหานิเสธของข้อความ เขียนแทนด้วย ~ ( ) ดังนั้น นิเสธของ คือ

ตัวอย่าง จงหานิเสธของข้อความ เขียนแทนด้วย ~ ดังนั้น นิเสธของ คือ

ตัวอย่าง จงหานิเสธของข้อความ นิเสธคือ ดังนั้น นิเสธของ คือ

การอ้างเหตุผล เป็นเหตุ C เป็นผล แล้ว ถ้า และ เป็นสัจนิรันดร์ จะกล่าวว่า การอ้างเหตุผล สมเหตุสมผล (valid) ไม่เป็นสัจนิรันดร์ จะกล่าวว่า การอ้างเหตุผล ไม่สมเหตุสมผล (invalid)

F F F F T F T ดังนั้น สมเหตุสมผล ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ ผล วิธีทำ ตรวจสอบรูปแบบประพจน์ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ F F F F เป็นสัจนิรันดร์ T F T ดังนั้น สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง ผล เหตุ ผล จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ 1. ถ้าฝนตก แล้ว หลังคาบ้านเปียก 2. หลังคาบ้านไม่เปียก ผล ฝนไม่ตก วิธีทำ ให้ p แทน ฝนตก q แทน หลังคาบ้านเปียก เหตุ จะได้ประโยคสัญลักษณ์ ผล พิจารณารูปแบบประพจน์ จะได้ เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้นสมเหตุสมผล

รูปแบบประพจน์ที่สมเหตุสมผล รูปแบบที่ 1 เหตุ รูปแบบที่ 2 เหตุ ผล ผล รูปแบบที่ 4 เหตุ รูปแบบที่ 3 เหตุ ผล หรือ ผล ผล

รูปแบบประพจน์ที่สมเหตุสมผล รูปแบบที่ 5 เหตุ รูปแบบที่ 6 เหตุ ผล ผล รูปแบบที่ 7 เหตุ รูปแบบที่ 8 เหตุ ผล ผล หรือ ผล

ผล ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ ผล เขียนเส้นโยงเหตุและผลสัมพันธ์ต่อเนื่องกันได้ดังนี้ ผล ดังนั้น สมเหตุสมผล